張榮芳

【摘要】概率論是高等數(shù)學的一個分支，概率論思想可以廣泛地應用于數(shù)學解題過程中.概率論思想能夠有效地指導學生解題，幫助學生更快速地破題、更準確地解題.同時，在高等數(shù)學教學過程中，教師應該將概率論的思想逐步運用到高等數(shù)學中，幫助學生掌握解題技巧，提升解題能力.我們通過對高等數(shù)學中概率研究的計量可視化分析發(fā)現(xiàn)，高等數(shù)學中概率思想的研究起步較早，但早期的研究更多的是將兩者并列分析，相關聯(lián)系研究較少.近幾年各研究者開始注重概率思想在高等數(shù)學中的應用，相關論文數(shù)量不斷增加，這也體現(xiàn)出人們對于兩者相關性的重視.

【關鍵詞】高等數(shù)學;概率思想;計量可視化分析

概率論是對隨機現(xiàn)象在數(shù)量上的統(tǒng)計規(guī)律展開研究的一門學科，很多概率論的思想、方法很適用于高等數(shù)學問題，并且概率思想可以為學生解題提供更便捷的思路和更廣闊的思路.比如概率思想在高等數(shù)學證明中的應用，高等數(shù)學證明問題，如果單純利用高數(shù)的證明方法有時候很難得到正確的解答且多數(shù)步驟繁雜、過程冗長，但若應用概率思想便會使得復雜的問題變得相對簡單.高等數(shù)學教師也應該在教學中注重概率思想的灌輸和概率論方法的應用，引導學生簡化解題方法，提升數(shù)學思維能力，提高學習效率.

一、主題檢索可視化分析

（一）發(fā)表年度趨勢分析

在知網中運用高級檢索，在第一檢索欄中輸入主題詞：高等數(shù)學，第二檢索欄中輸入主題詞：概率，兩欄檢索關系設為并且，發(fā)表時間、文獻來源、支持基金均不限.經檢索共得到知網文獻庫文獻108篇，隨后點擊知網自帶計量可視化按鈕進行分析.由分析可知，最早進行高等數(shù)學與概率相關研究的文獻出現(xiàn)在1959年，朱恒璧（1959）發(fā)表題為《高等數(shù)學在醫(yī)學應用上的我見（續(xù)）》的文章.隨后一直未出現(xiàn)該領域相關論文，直到1991年出現(xiàn)第二篇，之后在1992—2002年間零散出現(xiàn)過幾篇文章.賀振富（1991）發(fā)表題為《化工類專業(yè)化工計算教學淺談》的文章，文章中指出化學計算這門課必須要求學生學好高等數(shù)學、概率統(tǒng)計等相關數(shù)學知識;曹大英（1994）發(fā)表題為《概率方法在初等數(shù)學中的應用》的文章，文章中通過許多實例探討概率方法在初等數(shù)學中的應用.自2003年開始，相關領域文章數(shù)量逐漸增多，2003年發(fā)表論文6篇，2014年達到發(fā)表論文數(shù)量的頂峰，一年中共計發(fā)表論文13篇.

總體分析論文數(shù)量可以得出，對高等數(shù)學中概率研究主題的相關分析大致可以分為3個時期，第一階段為1956—1999年，該階段為萌芽期，在該階段主題中同時含有兩個關鍵詞的文章數(shù)量較少，一般為各自領域的研究，相關性方面研究未得到關注;第二階段為2000—2013年，該階段為增長期，在該階段主題中同時含有高等數(shù)學和概率的文章數(shù)量不斷增加，但每年的發(fā)文數(shù)量出現(xiàn)波動，說明在該階段，兩者間相關性研究開始得到關注，但關注程度仍然不高，研究還處于平緩階段;第三階段為2014—2017年，該階段為爆發(fā)期，在該階段高等數(shù)學中概率研究相關論文數(shù)量快速增長，且在2014年出現(xiàn)幾十年的巔峰狀態(tài);第四階段為2018年至今，該階段為平緩期，論文數(shù)量又開始減少，但值得注意的是，由于該階段時間比較短，所以會存在一定誤差.

（二）領域分布占比分析

運用上述分析中的同樣方法進行主題分布占比分析，我們發(fā)現(xiàn)以高等數(shù)學、概率為主題詞進行檢索后得到的文獻分布領域范圍很廣，共包含30個不同的方面，其中占比最多的是高等數(shù)學，共發(fā)表論文48篇，占所有檢索文章的23.08%;其次為概率統(tǒng)計，發(fā)表論文24篇，占所有檢索文章的11.54%;另外兩個占比達5%以上的領域分別為概率論、隨機變量，分別發(fā)表文章17篇、14篇，占比分別為8.17%，6.73%;其余領域的占比均小于5%，其中教學內容、概率密度、古典概率、統(tǒng)計分析、離散型隨機變量、無窮級數(shù)占比最小，均小于1%.

（三）高等數(shù)學與概率思想主題分析

將其中一個主題檢索詞更換為概率思想進行檢索，共得到論文9篇.其中最早出現(xiàn)概率思想的文章是楊緒仁（2003）發(fā)表的《中學物理教學中的高等數(shù)學思維》[1]，文章提出中學物理中很多地方都存在某些高等數(shù)學的思想，如：微積分思想、無窮思想、概率思想等，這些常見的數(shù)學思想不是從抽象的、思辨的、廣泛的數(shù)學模型出發(fā)，而是在具有清晰的物理概念、圖象等的基礎上，確定合適的研究對象，以便為學生提供一種創(chuàng)新的解決物理問題的方法.2010年，卓澤強、魏文玲等人發(fā)表《概率思想在高等數(shù)學計算中的應用研究》[3]《概率思想在高等數(shù)學證明中的應用研究》[2]，之后不同研究者就概率思想在高等數(shù)學中的應用問題展開相關研究，概率思想的應用逐漸得到重視.

二、全文檢索可視化分析

（一）發(fā)表年度趨勢分析

在知網中運用高級檢索，設置檢索條件為全文，在第一檢索欄中輸入主題詞：高等數(shù)學，第二檢索欄中輸入主題詞：概率，兩欄檢索關系設為并且，發(fā)表時間、文獻來源、支持基金均不限.經檢索，共得到知網文獻庫文獻18680篇，隨后，點擊知網自帶計量可視化按鈕進行分析.由分析可知，全文中最早含有高等數(shù)學與概率兩個詞的文獻出現(xiàn)在1980年，且發(fā)表論文數(shù)量呈現(xiàn)逐年增長的趨勢，我們總體分析論文數(shù)量可以得出，高等數(shù)學中概率研究相關分析大致可以分為3個時期，第一階段為1980—1998年，該階段為萌芽期，在該階段每年的發(fā)文數(shù)量均比較少，呈現(xiàn)出平緩的趨勢;第二階段為1999—2013年，該階段為增長期，在該階段發(fā)表文章數(shù)量不斷增加，呈現(xiàn)出增長的趨勢;第三階段為2014—2019年，該階段為平緩期，發(fā)表論文數(shù)量又呈現(xiàn)出平緩的趨勢，但相較于前面幾年，每年發(fā)表論文的數(shù)量仍然可以保持在較高的水平.1980—2019年，年發(fā)表論文數(shù)量最多的為2013年，共發(fā)表論文1289篇.

（二）領域分布占比分析

運用上述分析中的同樣方法進行主題分布占比分析，我們發(fā)現(xiàn)，檢索條件設置為全文后，以高等數(shù)學、概率進行檢索，各領域發(fā)表論文數(shù)量占比相差不大，均小于10%，其中以高等數(shù)學占比最大，發(fā)表論文數(shù)量為852篇，占比約6.99%，其次占比較大的領域依次為數(shù)學教學，發(fā)表論文數(shù)量為813篇，占比6.67%，分科教學法，發(fā)表論文數(shù)量為749篇，占比6.15%，數(shù)學建模，發(fā)表論文數(shù)量為733篇，占比6.02%，概率論與數(shù)理統(tǒng)計，發(fā)表論文561篇，占比為4.61%;占比最小的為數(shù)據(jù)挖掘領域，發(fā)表論文228篇，占比僅為1.87%.

（三）高等數(shù)學與概率思想全文分析

將其中一個主題檢索詞更換為概率思想進行檢索，共得到論文207篇.其中最早出現(xiàn)概率思想的文章出現(xiàn)于1985年，1985—2002年，發(fā)表論文數(shù)量一直呈現(xiàn)平緩的趨勢，每年發(fā)文數(shù)量基本是1篇，2002年后，發(fā)文數(shù)量出現(xiàn)增長趨勢，但波動明顯.其中，發(fā)文數(shù)量最多的是2011年，共發(fā)表論文20篇，關注程度最高，該結果與第一部分中主題可視化分析不同，可能是因為將檢索條件進行計量可視化分析后，只要文章中出現(xiàn)概率思想一次便會被標記導出，所以可能存在不足，比如某些文章的研究主題并非二者關系.

三、概率思想在高等數(shù)學中應用策略分析

（一）運用概率思想巧證復雜過程

《概率論》中一個基礎的概念為概率分布，在解答高等數(shù)學中的證明問題時便可以利用概率分布的特殊性質求解證明.如在進行函數(shù)的4個重要性質證明時，如果先對第四個性質中的積分變量做變換，然后再證明第三個性質的結論，得到相應結果，過程會十分冗長，但如果利用概率密度函數(shù)的歸一性，可以很容易證得結論.此外，概率思想也可以在求解一些廣義定積分時發(fā)揮關鍵作用，可以減少證明難度，簡化證明過程，提高準確性.即我們可以利用需要證明的廣義定積分式子本身的特性，將其進行適當?shù)淖冃危贡环e函數(shù)成為某個隨機變量的概率密度函數(shù)[4].最后，概率論中的數(shù)學期望、數(shù)學方差均是隨機變量的數(shù)字特征，利用隨機變量的數(shù)字特征可以解決高等數(shù)學中有關等式、不等式的證明問題，還可以證明以前只能利用排列組合相關知識解決的古典概型恒等式的問題[5].

（二）運用概率思想巧解高數(shù)計算

除了可以證明一些復雜的高數(shù)問題外，利用某些概率分布的特殊性質來求解一些高等數(shù)學中的化簡問題，即把某些大于0小于1的數(shù)字構造成某一特定事件發(fā)生的概率，根據(jù)概率分布的特殊性質計算此類復雜問題.如利用泊松分布的一些性質、中心極限定理、級數(shù)的收斂性來計算復雜的極限問題;還可以利用概率思想求解某些廣義定積分，通過該種方法可以達到減少計算難度，提高計算的正確率的目的，即通過變形使被積函數(shù)成為某個隨機變量的概率密度函數(shù)，利用概率密度函數(shù)歸一性求解;用隨機變量的數(shù)學期望與方差之間的關系，不僅可以解決高等數(shù)學中的求級數(shù)問題， 而且還可以求廣義定積分的值;高等數(shù)學中還會出現(xiàn)一些比較難的有關二重積分的計算題，遇到此類問題可以通過建立概率模型，將正態(tài)分布的性質和卡方分布的相關數(shù)學性質相結合，這樣便可以把題目中繁雜的二重積分問題轉化為簡單的某點在某特殊區(qū)域的概率問題，再結合概率的一些知識進行計算即可.

四、小結

在解決高等數(shù)學相關證明、計算等問題時，運用傳統(tǒng)的機械運算、證明方法必然是相對繁雜的且不能保證計算過程、計算結果的正確性，而概率思想在高等數(shù)學中的運用可以在很大的程度上彌補這一不足.通過對相關文獻的計量可視化分析，我們發(fā)現(xiàn)近幾年概率思想在高等數(shù)學中的應用研究不斷增加，這也體現(xiàn)出我們對于概率思想應用的重視，今后我們應該不斷完善這一思想在高等數(shù)學中的運用，學生應通過題型練習和思維培養(yǎng)不斷掌握該種方法，以達到提升學習能力的目的.

【參考文獻】

[1]楊緒仁. 中學物理教學中的高等數(shù)學思維[J]. 合肥教育學院學報， 2003（4）： 110-112.

[2]卓澤強， 魏文玲， 李小龍. 概率思想在高等數(shù)學證明中的應用研究[J]. 科技資訊， 2010（30）： 177.

[3]卓澤強， 魏文玲， 李小龍. 概率思想在高等數(shù)學計算中的應用研究[J].科技資訊，2010（20）： 196-197.

[4]王雙. 淺談概率思想在高等數(shù)學中的應用[J]. 讀與寫 （教育教學刊）， 2017（11）： 4+21.

[5]卓澤強. 概率思想在數(shù)學證明和計算中的應用[J]. 數(shù)學的實踐與認識， 2007（13）： 189-192.