兌紅娜，劉小冬，王凡，董江

中航工業(yè)成都飛機設計研究所 強度部，成都 610091

為了有效地開展外場飛機的單機壽命監(jiān)控和結構健康管理，準確的疲勞壽命預測模型是必需的。大量試驗和研究表明，基于線彈性斷裂力學(LEFM)的經(jīng)典裂紋擴展模型無法對隨機載荷譜下(需考慮載荷順序效應)復雜金屬結構的裂紋擴展進行準確描述[1-2]。這類LEFM模型通?；跇藴试嚰７V疲勞試驗獲取材料參數(shù)，不能反映真實結構幾何構型和表面處理等因素，并且很難準確模擬變幅譜載引起的載荷遲滯/加速效應。因此，在實際工程應用中，為了提高模型對真實結構疲勞壽命的預測精度，通常需要用真實或類似結構模擬件疲勞試驗對經(jīng)典LEFM模型進行參數(shù)標定或修正，然而，實踐表明，很難找到通用的標定或修正方法對所有類型的載荷譜均有效[3]。

對于可產(chǎn)生穩(wěn)定裂紋擴展速率的隨機載荷譜，如包含重復“飛-續(xù)-飛”載荷譜塊，基于平均擴展速率的裂紋擴展模型(下文統(tǒng)稱為平均擴展速率模型)為隨機譜下疲勞壽命評估提供了另一種有效途徑[4-6]，該類模型將隨機譜塊當作“當量常幅譜”處理，通過形式簡單的經(jīng)驗公式來描述單位飛行小時(FH)的平均裂紋擴展，用da/dt表示。這與經(jīng)典LEFM模型計算每個載荷循環(huán)(da/dN)的裂紋擴展是不同的。

平均擴展速率模型雖然形式簡單，但是可以對經(jīng)典LEFM模型無法準確描述的隨機譜下裂紋擴展趨勢進行較為準確的預測。與經(jīng)典LEFM模型不同的是，對于沒有進行疲勞試驗的隨機載荷譜，如外場飛機單機使用載荷譜，平均擴展速率模型無法直接使用，需要采用擴展速率類比法則(下文統(tǒng)稱為速率類比法則)，借助于經(jīng)典LEFM模型，對未試驗載荷譜下的平均擴展速率模型參數(shù)進行合理預測。

本文對平均擴展速率模型和速率類比法則展開詳細研究，首先介紹基于Frost&Dugdale公式和基于Paris公式的平均擴展速率模型的內(nèi)涵及參數(shù)推導方法，然后通過典型機身框關鍵部位模擬件在多種隨機譜下的疲勞試驗數(shù)據(jù)對平均擴展速率模型和速率類比法則的可行性和準確性進行深入的試驗驗證，最終給出建議和結論。

1 平均擴展速率模型及速率類比法則

1.1 平均擴展速率模型

平均擴展速率模型通?；贔rost&Dugdale公式[7]和Paris公式[8]，模型中僅有2個特征參數(shù)，反映了所有復雜的載荷順序效應及其他影響，如殘余應力、表面處理等影響。

基于Frost&Dugdale公式的平均擴展速率模型(下文統(tǒng)稱為Frost&Dugdale平均擴展速率模型)，認為裂紋擴展速率與裂紋尺寸和應力有關，見式(1)，該模型常用于飛機結構概率耐久性分析，對較短裂紋段的擬合效果較好。

(1)

基于Paris公式的平均擴展速率模型(下文統(tǒng)稱為Paris平均擴展速率模型)，認為裂紋擴展速率與裂紋尺寸和應力強度因子有關，見式(2)，該模型沒有解析式，只能采用數(shù)值積分法求解。相比Frost&Dugdale公式，該模型不限于較短裂紋段，可模擬更為復雜的裂紋擴展情況。

(2)

式中：β為幾何修正因子，是裂紋尺寸的函數(shù)β(a)，無量綱，與裂紋形狀、結構幾何構型和邊界條件有關；C和m為Paris模型參數(shù);Kref為參考應力強度因子。

模型參數(shù)值需通過結構模擬件/部件/全機疲勞試驗來確定(推導方法詳見第2節(jié))，其中，結構模擬件應盡量模擬真實結構部位的材料、構型、應力梯度、表面處理、加工工藝等。

1.2 速率類比法則

對于未進行疲勞試驗的隨機載荷譜，如外場飛機單機使用載荷譜，無法直接使用平均擴展速率模型進行壽命預測，因為模型參數(shù)是未知的。這點與經(jīng)典LEFM模型不同。

因此，為了對未試驗載荷譜下平均擴展速率模型參數(shù)進行合理預測，提出了速率類比法則，認為不同載荷譜下真實擴展速率比值與理論擴展速率比值近似相等:

(3)

式中：下標1表示試驗載荷譜；下標2表示未試驗載荷譜(如單機使用載荷譜)；下標e表示基于疲勞試驗數(shù)據(jù)推導的速率，下標p表示基于由經(jīng)典LEFM模型獲取的理論擴展數(shù)據(jù)推導的速率。

大量研究表明，雖然經(jīng)典LEFM模型無法對隨機譜下復雜裂紋擴展進行準確描述，但是對于不同譜載下裂紋擴展的相對嚴重程度有較可靠的預測，這是速率類比法則成立的前提。

將Frost&Dugdale平均擴展速率模型代入速率類比法則，有：

(4)

顯然，當模型參數(shù)滿足式(5)時式(4)必然成立。

(5)

將Paris平均擴展速率模型代入速率類比法則，有：

(6)

顯然，當模型參數(shù)滿足式(7)時式(6)必然成立。

(7)

對于外場飛機，基于試驗譜下平均擴展速率模型參數(shù)，采用上述速率類比法則，結合經(jīng)典LEFM模型，可對單機使用載荷譜下平均擴展速率模型參數(shù)進行預測。然后，以當量初始裂紋尺寸(EIFS)作為初始裂紋(推導方法詳見第2節(jié))，采用數(shù)值積分算法，可對外場飛機關鍵結構在任意裂紋長度下的裂紋擴展壽命進行預測。

2 平均擴展速率模型參數(shù)推導

對于Frost&Dugdale平均擴展速率模型，由于有解析式a=a0exp(Qt)，其中a0為初始裂紋尺寸，可根據(jù)關注裂紋段(如較短裂紋段)的擴展數(shù)據(jù)(a,t)，采用最小二乘法直接推導出參數(shù)Q和a0。

對于Paris平均擴展速率模型，由于沒有解析式，推導過程比較復雜。下面從疲勞試驗數(shù)據(jù)處理、模型參數(shù)擬合、當量初始裂紋尺寸(EIFS)計算等幾個方面，對Paris模型參數(shù)的推導步驟展開說明。

2.1 疲勞試驗數(shù)據(jù)處理

結構疲勞試驗通常采用斷口反推方法獲取可靠的裂紋擴展數(shù)據(jù)(a,t)，為了擬合Paris模型參數(shù)，需進一步獲取速率數(shù)據(jù)(da/dt,Kref)。

為了獲取較為穩(wěn)定的速率值，da/dt建議按式(8)進行計算，假設小范圍的裂紋擴展?jié)M足指數(shù)關系，如圖1所示，斜率dln(a)/dt由計算點(ai)和前/后點(ai-1/ai+1)采用最小二乘法獲取。前/后點的選取應滿足與計算點的時間間隔不小于1個譜塊。

(8)

圖1 da/dt計算方法示意Fig.1 Calculation method of da/dt

計算點(ai)的應力強度因子(Kref)i按式(9)進行計算，其中幾何修正因子β(a)與裂紋形狀、結構幾何構型和邊界條件有關，σref通常選取最大載荷狀態(tài)下的應力。

(9)

2.2 模型參數(shù)擬合

基于速率數(shù)據(jù)(da/dt,Kref)，采用最小二乘法對Paris模型參數(shù)C和m進行擬合，如式(10)。普通最小二乘法中每個樣本點的權重相同，而對于裂紋擴展壽命中低速率階段占比大的情況，加權最小二乘法更為合適，可加大低速率階段的樣本權重。

(10)

2.3 當量初始裂紋尺寸計算

當量初始裂紋尺寸(EIFS)指結構細節(jié)在使用前(t=0)的假想初始裂紋尺寸(并非真實尺寸)，需要通過裂紋擴展模型和一定裂紋尺寸點(ai,ti)來反推計算。顯然，EIFS的大小與裂紋擴展模型和裂紋尺寸點的選取有直接關系，因此后續(xù)壽命預測所用的模型必須與EIFS推導所用的模型保持一致。如果反推的EIFS受載荷譜和應力水平的影響較大，不具通用性，則說明裂紋擴展模型選取得不合理。

反推所用的裂紋尺寸點可選取斷口分析的試驗數(shù)據(jù)初始點，也可選取一定裂紋長度點，如經(jīng)濟修理尺寸或臨界裂紋尺寸，亦可選取所有或者關注段的試驗數(shù)據(jù)點，通過最小二乘法推導使均方誤差最小的EIFS。若裂紋擴展隨時間近似滿足指數(shù)關系，則不同尺寸點選取方法對EIFS的影響不大；若不滿足，則影響較大。

3 平均擴展速率模型對比

本節(jié)選取典型機身框關鍵部位模擬試驗件(如圖2所示)3種隨機載荷譜各3個應力水平下的疲勞試驗數(shù)據(jù)，對Frost&Dugdale和Paris平均擴展速率模型進行對比分析和試驗驗證。

隨機譜以500FH的飛續(xù)飛起落為一個譜塊，每組試驗經(jīng)斷口反推的裂紋擴展數(shù)據(jù)如圖3所示。

圖2 模擬試驗件Fig.2 Representative coupon

圖3 模擬件疲勞試驗數(shù)據(jù)Fig.3 Representative coupon fatigue test data

對于Frost&Dugdale平均擴展速率模型，根據(jù)每組載荷譜下試驗數(shù)據(jù)獲得試驗中值曲線，然后采用最小二乘法，對較短裂紋段(<2 mm)進行擬合，推導參數(shù)Q和a0，列于表1。

對于Paris平均擴展速率模型，采用第2節(jié)所述方法推導模型參數(shù)和每組試驗的EIFS，列于表1。其中，EIFS指每組試驗的樣本均值，“匯總”指匯總每種載荷譜序列所有應力水平下速率數(shù)據(jù)樣本進行參數(shù)擬合，如圖4中實線所示。

每組載荷譜的速率數(shù)據(jù)(da/dt,Kref)如圖4所示，散點表示試驗數(shù)據(jù)樣本，實線表示Paris平均擴展速率模型對試驗數(shù)據(jù)的擬合，表中縱坐標單位的sfh表示simulated flight hour?？梢姡?/p>

1) 在雙對數(shù)坐標系下，da/dt與Kref呈明顯的線性關系，說明Paris模型成立。

2) 相同載荷譜序列不同應力水平下速率數(shù)據(jù)趨勢基本一致，圖中僅用一條直線來擬合，說明Paris模型參數(shù)與應力水平近似無關，與載荷譜序列強相關。

3) 對于譜型相似的載荷譜序列，Paris模型參數(shù)m(圖中直線斜率)近似相等，差異主要在于參數(shù)C。

采用表1 中2種平均擴展速率模型參數(shù)，分別對每組載荷譜下裂紋擴展壽命進行預測，并與試驗中值壽命進行對比。以載荷譜1為例，對比結果如圖5所示，空心圓點表示各載荷譜下的試驗中值，實心圓點表示Paris模型對整個裂紋段的預測值，實線表示Frost&Dugdale模型對較短裂紋段(<2 mm)的預測值。

綜合表1和圖5，可知：

1) Frost&Dugdale和Paris平均擴展速率模型均具有較高的壽命擬合精度，但Frost&Dugdale模型需分開擬合短裂紋段和長裂紋段(模型參數(shù)是不同的)，而Paris模型用一組參數(shù)就能較好地擬合整個裂紋擴展趨勢。

表1 平均擴展速率模型參數(shù)對比Table 1 Comparison of average growth rate model parameters

圖4 試驗速率數(shù)據(jù)(da/dt-Kref)Fig.4 Test growth rate data (da/dt-Kref)

圖5 預測均值壽命與試驗中值壽命對比Fig.5 Comparison of predicted mean life and test mean life

2) Paris平均擴展速率模型反推的EIFS受載荷譜和應力水平影響較小，具有通用性和兼容性，而Frost&Dugdale模型推導的a0受載荷譜和應力水平的影響較大，甚至相差1個量級。

3) Frost&Dugdale平均擴展速率模型參數(shù)Q與應力水平雖然在理論上存在冪函數(shù)關系，Q=λ(σref)α，但是實際上該關系可能并不成立，例如，根據(jù)表1中的參數(shù)值，僅載荷譜3下的冪函數(shù)關系近似成立，載荷譜1和載荷譜2均不成立。如果冪函數(shù)關系不成立，則無法根據(jù)試驗譜下的模擬件參數(shù)來推導真實結構的模型參數(shù)(應力水平是不同的)。即使冪函數(shù)關系成立，至少需要試驗譜3種應力水平下的試驗數(shù)據(jù)，才能推導出較為準確的參數(shù)λ和α，試驗成本較高。

4) Paris平均擴展速率模型參數(shù)C和m與載荷譜序列強相關，與應力水平近似無關；對于譜型相似的載荷譜序列，參數(shù)m近似相等。因此可將基于模擬件試驗數(shù)據(jù)獲取的參數(shù)直接用于真實結構，并且，理論上僅需一種應力水平下的試驗數(shù)據(jù)，可節(jié)約試驗成本。

5) 綜上，推薦使用Paris平均擴展速率模型。

4 速率類比法則試驗驗證

基于第3節(jié)所述典型機身框關鍵部位模擬件的疲勞試驗數(shù)據(jù)，以及優(yōu)選出的Paris平均擴展速率模型，本節(jié)對速率類比法則的合理準確性進行試驗驗證，步驟如下：

1) 選取任意2組載荷譜，分別作為式(3)中的譜1(試驗譜)和譜2(未試驗譜)。

2) 基于譜1下試驗數(shù)據(jù)，采用第2節(jié)所述步驟，推導譜1平均擴展速率試驗參數(shù)，C1,e和m1,e，列于表1(已在第3節(jié)中求解)。

3) 基于經(jīng)典LEFM模型，獲取譜1和譜2下理論擴展壽命數(shù)據(jù)，然后采用第2節(jié)所述步驟，分別推導譜1和譜2平均擴展速率理論參數(shù)，C1,p和m1,p以及C2,p和m2,p。

4) 根據(jù)步驟2)和步驟3)的參數(shù)值，采用速率類比法則(式(7))，可估算譜2平均擴展速率試驗參數(shù)，C2,e和m2,e。

5) 根據(jù)步驟4)的參數(shù)值，以譜1下EIFS作為初始尺寸(見表1，假設譜2下EIFS是未知的)，采用數(shù)值積分法，可對譜2下的裂紋擴展壽命進行預測。

6) 將譜2下的壽命預測值與試驗值進行對比，以驗證速率類比法則的預測精度，此處以耐久性壽命和壽命間隔作為對比基準。

在本例中，步驟3)選取4種經(jīng)典LEFM模型，分別為：Nasgro公式[9]、Nasgro公式+改進Willenborg模型[9]、Walker公式+Closure模型[10]、Austen模型[11]，分別用LEFM1～LEFM4模型表示。具體公式詳見相關文獻，本文不再贅述。

選取32種載荷對比組合，采用步驟2)～步驟6)，每組載荷譜的壽命預測值與試驗中值列于表2，其中，符號“/”前后分別表示耐久性壽命和壽命間隔，前者指由EIFS擴展至經(jīng)濟維修尺寸(這里取0.8 mm)，后者指由可檢裂紋尺寸(這里取1.27 mm)擴展至臨界裂紋尺寸。

在32種載荷對比組合中，一類是相同應力水平不同載荷譜序列，如:S2_from_S3_at_332.02表示在σref=332.02 MPa時由載荷譜3試驗數(shù)據(jù)預測載荷譜2擴展壽命；另一類是相同載荷譜序列不同應力水平，如:S3_at_332.02_from_349.5表示對于載荷譜3由σref=349.5 MPa的試驗數(shù)據(jù)預測σref=332.02 MPa的擴展壽命。

對比分析表2中數(shù)據(jù)，可知：

表2 基于平均擴展速率模型的裂紋擴展壽命預測值Table 2 Crack predicted life with average growth rate model

1) 對于相同應力水平不同載荷譜的對比組合(序號1～14)，若2種載荷譜的EIFS均值相差較大，則耐久性壽命的預測精度稍差些，如序號7～10。由于壽命間隔與EIFS無關，因此壽命間隔的預測精度比耐久性壽命高。

2) 對于相同載荷譜不同應力水平的對比組合(序號15～32)，由于直接采用已知載荷譜的模型參數(shù)(無需速率類比)，因此預測精度不僅與2種載荷譜的EIFS均值差異有關，還與模型參數(shù)C的差異有關。

3) 在這4種理論模型中，速率類比公式采用LEFM3模型的壽命預測精度最高，預測值與試驗中值的比值在0.76～1.36，大部分位于0.9～1.1。可見，速率類比法則的準確度與經(jīng)典LEFM模型的選取有關。

繪制基于速率類比法則(采用LEFM3模型)的壽命預測值與試驗中值的相關圖，如圖6所示，圖中虛線表示y=1.5x和y=x/1.5。進一步采用統(tǒng)計檢驗方法，發(fā)現(xiàn)：壽命預測值與試驗中值的比值服從正態(tài)分布，概率密度函數(shù)如圖7所示，均值mean≈1，標準差std<0.17，驗證了速率類比法則具有較高的預測精度。

圖6 壽命預測值與試驗中值的相關圖Fig.6 Correlation plot of predicted life and test life

圖7 壽命比值的正態(tài)分布擬合Fig.7 Norm distribution fit of life ratio

5 結 論

本文對基于Frost&Dugdale公式和基于Paris公式的平均擴展速率模型和速率類比法則展開詳細研究，并通過典型機身框關鍵部位模擬件在多種隨機譜下的疲勞試驗數(shù)據(jù)進行深入的試驗驗證，具體總結如下：

1) 平均擴展速率模型用形式簡單的經(jīng)驗公式來描述隨機譜下單位飛行小時的平均裂紋擴展，該模型將隨機譜當作“當量常幅譜”處理，經(jīng)驗證對試驗隨機譜下裂紋擴展速率和裂紋擴展壽命具有較高的擬合精度。

2) 基于Frost&Dugdale公式的平均擴展速率模型通常需分開擬合短裂紋段和長裂紋段(模型參數(shù)是不同的)，基于試驗數(shù)據(jù)推導的a0受載荷譜和應力水平的影響較大，且參數(shù)Q與應力水平的冪函數(shù)關系實際上可能并不成立。

3) 基于Paris公式的平均擴展速率模型能較好地擬合整個裂紋擴展趨勢，基于試驗數(shù)據(jù)反推的EIFS受載荷譜和應力水平的影響較小，且模型參數(shù)與應力水平近似無關，推薦使用Paris公式。

4) 經(jīng)試驗驗證，速率類比法則近似成立，但速率類比法則的準確度與經(jīng)典LEFM模型的選取有關，不同結構不同疲勞關鍵部位所適用的經(jīng)典LEFM模型可能是不同的。

5) 經(jīng)試驗驗證，采用基于Paris公式的平均擴展速率模型，結合速率類比法則，可實現(xiàn)隨機載荷譜下裂紋擴展速率和壽命的高精度預測，為外場飛機單機壽命監(jiān)控提供了一種可靠的疲勞壽命預測方法。