李苗苗，吳 曉

(1.常德職業(yè)技術(shù)學(xué)院土建系，湖南 常德 415000；2.湖南文理學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，湖南 常德 415000)

1 引 言

在土木、機(jī)械等實(shí)際工程中，許多鋼結(jié)構(gòu)、混凝土承載構(gòu)件都是螺栓連接的層合梁或高強(qiáng)粘合劑粘合的層合梁。為了使學(xué)生掌握理解層合梁及粘貼片材對混凝土梁加固的應(yīng)用，文獻(xiàn)[1]把銷釘連接構(gòu)件作為應(yīng)力試驗(yàn)進(jìn)行應(yīng)力分析，文獻(xiàn)[2，3]對螺栓或銷釘連接構(gòu)件的彎曲進(jìn)行了理論研究。文獻(xiàn)[4]采用材料力學(xué)方法對組合梁的彎曲應(yīng)力進(jìn)行了分析，文獻(xiàn)[5]用彈性力學(xué)方法研究了雙材料疊合懸臂梁的彎曲。文獻(xiàn)[6，7]]研究了采用粘貼片材對混凝土梁的加固，文獻(xiàn)[8]以專著闡述了復(fù)合材料層間應(yīng)力。文獻(xiàn)[9-10]研究了復(fù)合曲梁的力學(xué)性能，并把復(fù)合曲梁的應(yīng)力測量引入材料力學(xué)試驗(yàn)教學(xué)中。文獻(xiàn)[11]把膠結(jié)疊合梁的彎曲試驗(yàn)引入了試驗(yàn)教學(xué)。文獻(xiàn)[15]研究了基于微分求積法的鋼筋混凝土梁靜力分析，文獻(xiàn)[16]研究了超靜定連續(xù)梁彈塑性過程分析的單位荷載法。文獻(xiàn)[17]研究了任意光滑梯度變化的功能梯度材料純彎曲梁的彈塑性分析。

由以上文獻(xiàn)可知，層合梁在工程實(shí)際中得到了廣泛應(yīng)用，而關(guān)于高強(qiáng)粘合劑粘合的層合梁彎曲時的彈性解還未見有關(guān)文獻(xiàn)給出。所以，研究層合梁的彎曲應(yīng)力計(jì)算理論及開展層合梁的彎曲應(yīng)力試驗(yàn)是有實(shí)際意義的。本文采用彈性力學(xué)方法推導(dǎo)出了雙材料層合梁彎曲正應(yīng)力的計(jì)算公式，為層合梁及粘貼片材對混凝土梁加固的彎曲計(jì)算提供理論依據(jù)。通過層合梁的彎曲應(yīng)力試驗(yàn)，驗(yàn)證了彈性力學(xué)方法推導(dǎo)的雙材料層合梁彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式的正確性。

2 梁彎曲彈性解

2.1 中性軸位置的確定

以兩端簡支雙材料梁為例，采用材料力學(xué)方法確定雙材料梁的中性軸。由材料力學(xué)可知，梁彎曲時的正應(yīng)力公式為：

(1)

式中，i=1時E1為材料1的彈性模量，i=2時E2為材料2的彈性模量，ρ為曲率半徑。

利用式(1)可得雙材料層合梁彎曲時橫截面軸向靜力平衡方程為：

(2)

式中，y0為中性軸到梁下層底面的距離。

由式(2)積分可得：

(3)

由式(3)可求得：

(4)

2.2 彎曲應(yīng)力公式

雙材料層合梁由于組成梁的材料彈性模量不同，雙材料層合梁彎曲時，其中性軸不再位于梁高度的1/2處，這樣層合梁彎曲時拉伸區(qū)和壓縮區(qū)的應(yīng)力表達(dá)式各不相同。

參閱文獻(xiàn)[12，13]，可設(shè)雙材料層合梁的彎曲應(yīng)力表達(dá)式為：

σyj=Ajy3+Bjy2+Cjy+Dj

τxyj=-x(3Ajy2+2Bjy+Cj)

(5)

式中，j=1,2，j=1時，代表拉伸區(qū)，j=2時，代表壓縮區(qū)。

圖1所示簡支雙材料層合梁上、下表面的邊界條件為：

y=y0，σy1=0，τxy1=0；

y=y0-h，σy2=-q，τxy2=0

(6)

梁右端x=l處靜力平衡方程為：

(7)

梁彎曲時中性層處連續(xù)條件為：

y=0，σx1=σx2=0，σy1=σy2，τxy1=τxy2

(8)

把式(5)代入式(8)中第二、第三分式中可得：

C1=C2，D1=D2

(9)

把式(5)代入式(8)中第一分式中可得：

x2B1+2K1=0，x2B2+2K2=0

(10)

由于式(10)對x取任意值都成立，可得：

B1=B2=0，K1=K2=0

(11)

把式(5)代入式(6)中可得：

-A2(h-y0)3-C2(h-y0)+D0=-q

3A0(h-y0)2+C0=0

(12)

由式(9)、式(12)可以求得：

(13)

把式(5)代入式(7)中可得：

(14)

把式(13)代入式(14)中可求得：

(15)

把以上有關(guān)各式代入式(5)中，并考慮層合梁的寬度，可得雙材料層合梁彎曲時拉伸區(qū)、壓縮區(qū)應(yīng)力表達(dá)式：

(16)

當(dāng)E1=E2、b=1時，式(16)即退化為文獻(xiàn)[12]給出的單材料梁彎曲應(yīng)力的經(jīng)典彈性解。

3 試驗(yàn)及理論分析

圖1 雙材料層合梁

層合梁的計(jì)算參數(shù)分別為：l=150mm，b=20mm，h1=h2=20mm，q=10kN/m。紫銅材料彈性模量為112GPa，鋁合金材料彈性模量為72GPa。下面把試驗(yàn)結(jié)果、材料力學(xué)方法計(jì)算結(jié)果與本文方法理論計(jì)算結(jié)果均列在表1、表2中，以便討論分析。在表1、表2中，層合梁上層材料為紫銅、下層材料為鋁合金，誤差分別為材料力學(xué)方法計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果誤差、本文方法計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的誤差(注：表1、表2中的誤差值均為以理論計(jì)算結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)值與試驗(yàn)結(jié)果的誤差)。

由文獻(xiàn)[14]，可以求得圖1所示簡支雙材料層合梁任意截面拉伸區(qū)及壓縮區(qū)的彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式分別為：

(17)

表1 層合梁的彎曲正應(yīng)力(MPa)(x=0，y0=22.17mm)

表2 層合梁的彎曲正應(yīng)力

對表1、表2進(jìn)行分析可以知道：

彈性力學(xué)方法計(jì)算結(jié)果、材料力學(xué)方法計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果基本吻合。表1、表2共16個測試點(diǎn)，彈性力學(xué)方法對測試點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果大部分優(yōu)于材料力學(xué)方法對測試點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果。但對拉伸區(qū)最大正應(yīng)力、壓縮區(qū)最小正應(yīng)力測試點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果，材料力學(xué)方法的計(jì)算結(jié)果優(yōu)于彈性力學(xué)方法的計(jì)算結(jié)果。因?yàn)閺椥粤W(xué)方法給出的層合梁彎曲正應(yīng)力公式考慮了剪切變形對層合梁彎曲正應(yīng)力的影響，所以彈性力學(xué)方法對測試點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果大部分優(yōu)于材料力學(xué)方法對測試點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果。

當(dāng)E1=E2時，式(16)即退化為文獻(xiàn)[12]給出的單材料梁彎曲應(yīng)力的經(jīng)典彈性解：

(18)

當(dāng)E1=E2時，式(17)即退化為文獻(xiàn)[14]給出的單材料梁彎曲應(yīng)力的材料力學(xué)解：

(19)

把式(16)與式(17)對比、式(18)與式(19)對比，可以看出，式(16)比式(17)多兩項(xiàng)修正項(xiàng)、式(18)比式(19)多兩項(xiàng)修正項(xiàng)，而且多余兩項(xiàng)修正項(xiàng)均與梁截面彎矩?zé)o關(guān)，這說明經(jīng)典彈性解給出的梁彎曲應(yīng)力計(jì)算公式考慮了剪力的影響。因此，經(jīng)典彈性解給出的梁彎曲應(yīng)力公式計(jì)算精度要高于材料力學(xué)方法給出的梁彎曲應(yīng)力公式計(jì)算精度。

(20)

以單材料梁彎曲應(yīng)力的經(jīng)典彈性解為標(biāo)準(zhǔn)，若采用材料力學(xué)方法計(jì)算，單材料梁彎曲應(yīng)力的經(jīng)典彈性解與單材料梁彎曲應(yīng)力的材料力學(xué)解的誤差應(yīng)不超過5%，即滿足下式：

(21)

把式(20)代入式(21)中可得：

(22)

本文彈性力學(xué)方法對測試點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果存在一定的誤差。筆者認(rèn)為，造成誤差的原因有幾個方面：一是雙材料層合梁在熱成型、加工過程中有可能存在制作缺陷；二是試驗(yàn)裝置本身就存在試驗(yàn)誤差；三是試驗(yàn)機(jī)對雙材料層合梁中點(diǎn)加載時，試驗(yàn)機(jī)壓頭有可能沒有完全壓在梁中點(diǎn)，使梁中點(diǎn)存在扭矩作用；四是對雙材料層合梁測試點(diǎn)粘貼應(yīng)變片時沒有準(zhǔn)確粘貼到位；五是對層合梁實(shí)現(xiàn)簡支承不理想，由于實(shí)驗(yàn)室試驗(yàn)臺用橡膠墊剛度相對層合梁的剛度較小、沒有找到硬剛度橡膠墊，導(dǎo)致模擬出加載在圖1所示簡支雙材料層合梁上的近似均布載荷不理想。以上原因都會導(dǎo)致本文方法計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生一定的誤差。

4 結(jié) 論

(1)采用彈性理論方法得到了雙材料層合梁拉伸區(qū)及壓縮區(qū)彎曲正應(yīng)力的表達(dá)式，當(dāng)E1=E2、b=1時，式(16)即退

化為彈性力學(xué)給出的單材料梁彎曲應(yīng)力的經(jīng)典彈性解。通過層合梁的彎曲應(yīng)力試驗(yàn)，驗(yàn)證了彈性力學(xué)方法給出的雙材料層合梁彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式的正確性。

(2)彈性力學(xué)方法計(jì)算結(jié)果、材料力學(xué)方法計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果基本吻合。但是彈性力學(xué)方法給出的層合梁彎曲正應(yīng)力公式考慮了剪切變形對層合梁彎曲正應(yīng)力的影響，所以彈性力學(xué)方法對測試點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果大部分優(yōu)于材料力學(xué)方法對測試點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果。