周強鋒，趙志江

(1.中國空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽 471009；2.航空制導(dǎo)武器航空科技重點實驗室,河南 洛陽 471009；3.陸裝航空軍事代表局，北京 100036)

0 引 言

低/超低副瓣陣列天線己經(jīng)成為高性能雷達(dá)系統(tǒng)的一個重要組成部分，能夠提高整個雷達(dá)系統(tǒng)的抗干擾性能[1-3]。陣列天線研制中受天線加工、安裝和饋電誤差等影響，存在不同來源的隨機誤差，影響陣列天線單元激勵幅度和相位，引起幅相誤差。幅相誤差會導(dǎo)致天線副瓣電平惡化、抗干擾能力下降，甚至使得陣列天線功能失效。正確分析和設(shè)計天線容差已成為陣列天線設(shè)計過程中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)和重要研究內(nèi)容。

在陣列天線容差研究中，常用方法是假設(shè)誤差服從某種分布，采用概率統(tǒng)計理論推導(dǎo)獲得誤差與陣列性能的影響關(guān)系[4]?；谡`差服從正態(tài)分布，Allen[5]研究了陣列單元幅相誤差對天線方向圖的副瓣電平、增益和波束指向等平均性能影響的一些統(tǒng)計規(guī)律公式。Hsiao[6]理論上分析獲得了實現(xiàn)預(yù)期的平均副瓣與幅相誤差之間關(guān)系的通用設(shè)計曲線。楊莘元[7]和崔金輝[8]在考慮陣列天線間互耦的條件下，研究了幅相誤差引起超低旁瓣陣列天線旁瓣最高電平分布，給出了八元線陣的幅度誤差、相位誤差對超低副瓣陣列天線副瓣最高電平影響的關(guān)系曲線圖。高坤等[9]研究了存在幅相誤差下的陣列副瓣區(qū)副瓣電平的統(tǒng)計特性，并由此分析在整個副瓣區(qū)域內(nèi)最高副瓣電平的統(tǒng)計特性。姚天賓等[10]理論推導(dǎo)和仿真分析了幅相誤差對有源相控陣天線副瓣電平的影響，獲得了所需副瓣電平的幅相誤差分配方法。以上基于概念統(tǒng)計理論的陣列誤差分析方法，在工程應(yīng)用中只限于誤差分布明確下，確定所需副瓣電平的幅相誤差分布的方差。在現(xiàn)代雷達(dá)系統(tǒng)設(shè)計中更關(guān)注幅相容差設(shè)計與優(yōu)化問題，增強天線系統(tǒng)設(shè)計高穩(wěn)定性的同時，盡量放寬幅相容差范圍，降低整個雷達(dá)系統(tǒng)的研制難度和研制成本。

為了在滿足陣列天線性能要求和高可靠性的同時，盡可能獲得最優(yōu)的幅相容差范圍，降低系統(tǒng)研制難度和研制成本，本文構(gòu)建基于可靠性的陣列幅相容差優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，結(jié)合蒙特卡洛方法、進退法和二分法的傳統(tǒng)迭代搜索技術(shù)，提出一種快速的陣列天線幅相容差設(shè)計優(yōu)化算法，實現(xiàn)給定任意容差設(shè)計初始值，快速優(yōu)化獲得滿足性能指標(biāo)要求的最大容差范圍。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 陣列天線性能可靠性分析模型

假定陣列天線單元方向圖為各向同性，對于一個N元等間距排列的線陣，其天線方向圖可表示為

(1)

式中：In是第n個天線單元的理想激勵幅度；λ是波長；d是天線單元排列間距；θ是場空間角；θ0是波束掃描角。

陣列天線誤差來源很多，包括天線單元的安裝誤差、天線單元失效等，表現(xiàn)為陣列天線激勵幅度和相位誤差?？紤]陣列幅相誤差時的天線方向圖可表示為

(2)

Jn=(1+εn)Inexp(jμn)

(3)

式中：εn，μn分別是第n個單元的幅度誤差和相位誤差。

幅相誤差的存在使得陣列天線的副瓣電平惡化，抗干擾能力下降。在固定容差范圍下，當(dāng)陣列單元的幅度誤差εn和相位誤差μn分別是[-δ,δ]和[-φ,φ]的隨機變量時，陣列天線的最高副瓣電平可表示為

Fδ,φ(X)=f(ε1,…,εN,μ1,…,μN)

(4)

式中:Fδ,φ(Xi)是固定容差范圍內(nèi)產(chǎn)生的幅相誤差對應(yīng)的最高副瓣電平，X=(ε1,…,εN，μ1,…,μN),n=1,2，…,N。

陣列天線系統(tǒng)最高副瓣性能的可靠度,表示為規(guī)定的條件下和規(guī)定的時間內(nèi)形成的輻射方向圖最高副瓣電平不大于規(guī)定性能的概率，即

p=P(Fδ,φ(X)≤RT)

(5)

式中：RT是最高副瓣電平的設(shè)計指標(biāo);p越大，表示陣列天線系統(tǒng)最高副瓣性能的可靠度越高，抗干擾能力相對更強。

1.2 陣列幅相容差優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型

實際工程中，通常希望尋找滿足天線性能要求下的最大容差范圍，實現(xiàn)合理的陣列天線容差設(shè)計，進一步降低研制難度和研制成本。

在設(shè)計陣列幅相容差范圍時，兩者容差設(shè)計是相互制約的，即各自容差范圍不能同時取最大值，進行幅相容差優(yōu)化設(shè)計時，可通過固定幅度或相位其中一個容差范圍，求取另一個容差的最大值，通過多種組合優(yōu)化，獲得滿足要求容差設(shè)計。不失一般性，以固定幅度容差范圍進行相位容差的最大范圍優(yōu)化為例，基于陣列天線性能可靠性要求，其幅相容差優(yōu)化設(shè)計問題可以看作一個帶約束條件的優(yōu)化問題。

φmax=maxφ

(6)

s.t.p=P(Fδ,φ(X)≤RT)≥pT;δ=δ0

式中：δ0是固定幅度容差范圍的邊界；pT是陣列天線最高副瓣性能可靠度設(shè)計指標(biāo)。通過對式(6)進行優(yōu)化計算，即可保證陣列天線最高副瓣性能可靠性度不小于pT的約束下，求解出滿足性能指標(biāo)要求的相位容差的最大范圍φmax。

2 陣列天線容差設(shè)計優(yōu)化算法

2.1 優(yōu)化算法的總體描述

對于固定幅度或相位容差范圍，陣列幅相容差優(yōu)化設(shè)計屬于一維優(yōu)化問題，式(6)通過給定一個相位容差初始值，利用迭代優(yōu)化算法，不斷調(diào)整相位容差范圍，優(yōu)化求解出滿足性能指標(biāo)要求的相位容差最大值。

為提高容差設(shè)計優(yōu)化效率，本文構(gòu)造一種進退法與二分法相結(jié)合的容差設(shè)計優(yōu)化算法。首先利用進退法確定相對小的搜索區(qū)間范圍,再利用二分法在搜索區(qū)間內(nèi)進行迭代，優(yōu)化出容差設(shè)計最大值。由于陣列天線最高副瓣電平一般與幅相容差設(shè)計參數(shù)δ和φ不構(gòu)成解析式，在每次迭代過程中，采用蒙特卡洛方法求解固定幅相容差范圍下最高副瓣性能的可靠度。

2.2 陣列性能可靠性分析的蒙特卡洛方法

對于固定幅相容差范圍下陣列天線最高副瓣性能的可靠度分析，采用蒙特卡洛方法求解過程如下：

(1) 隨機產(chǎn)生M個2N維且每個分量都在[0,1]間的隨機數(shù)向量Zi=(z1,z2,…,z2n)，利用式(7)將Zi的各個分量映射到優(yōu)化變量的取值范圍，形成固定幅相容差范圍內(nèi)M個隨機抽樣樣本Xi=(x1,x2,…,x2n) = (ε1,…,εn,μ1,…,μn),i=1,2,…,M。

(7)

(2) 計算每個樣本Xi對應(yīng)的陣列天線方向圖的最高副瓣電平性能Fδ,φ(Xi)，i=1,2,…,M。

(3) 統(tǒng)計計算固定幅相容差范圍對應(yīng)的最高副瓣電平可靠度p，即

(8)

式中：TR是樣本對應(yīng)的最高副瓣電平不大于設(shè)計指標(biāo)RT的次數(shù)。

2.3 陣列天線幅相容差優(yōu)化設(shè)計算法

在基于陣列性能可靠性分析的蒙特卡洛方法的基礎(chǔ)上，采用進退法與二分法相相結(jié)合的陣列天線容差設(shè)計優(yōu)化算法，具體步驟如下：

(1) 初始化算法參數(shù)：性能指標(biāo)RT和pT，幅度容差設(shè)計參數(shù)δ=δ0，相位容差設(shè)計參數(shù)初始值φ=φ0，相位容差計算精度要求η，蒙特卡洛方法模擬樣本數(shù)M，進退法循環(huán)次數(shù)m=0，二分法循環(huán)次數(shù)q=0。

(2) 利用蒙特卡洛方法計算初始條件下最高副瓣電平可靠度p，并計算下一步容差范圍調(diào)整方向標(biāo)識T0：

其中c=2(算法1的第4點說明).因此由文獻[23]的定義3可知，′(eu,i)是2-Lipschitz[24]，再由其中的定理4可得結(jié)論.該推論說明了當(dāng)樣本個數(shù)大于某一取值時，經(jīng)目標(biāo)函數(shù)加擾策略求解的結(jié)果與無差分隱私處理的結(jié)果相差的量化程度.

(9)

式中：T0=1表示已能夠確定搜索區(qū)間的上界，下一步減小φ找到搜索區(qū)間的下界；T0=-1表示已找到搜索區(qū)間的下界，下一步增大φ找到搜索區(qū)間的上界。

(3) 采用進退法調(diào)整φ的取值：

(10)

式中：φm是進退法第m次調(diào)整的值。

(4) 利用蒙特卡洛方法計算調(diào)整后的p，并計算下一步調(diào)整方向標(biāo)識Tm：

(11)

(5) 判定是否繼續(xù)利用進退法確定搜索區(qū)間，若Tm=Tm-1，則轉(zhuǎn)步驟(3)；否則，確定二分法初始搜索區(qū)間[a，b]：

(12)

(6) 采用二分法在區(qū)間[a，b]進行求解，設(shè)第q次循環(huán)φq=(a+b)/2，利用蒙特卡洛方法計算p。

根據(jù)優(yōu)化算法流程，陣列天線幅相容差優(yōu)化設(shè)計算法計算量主要集中利用蒙特卡洛方法計算p。算法復(fù)雜度是由陣列天線規(guī)模N(陣列單元數(shù))和蒙特卡洛方法中樣本數(shù)量M決定的，即算法復(fù)雜度為O(MN)。

3 實驗結(jié)果

為了驗證方法的有效性，以半波長等間距排列的200元線陣為例，選擇線性Taylor綜合方法來設(shè)計副瓣電平不高于-40 dB的理想方向圖。以最高副瓣電平不超過-30 dB為設(shè)計指標(biāo)，分別對可靠度不小于95%和100%進行幅相容差設(shè)計與優(yōu)化分析。仿真中，樣本數(shù)M=10 000，相位容差求解精度η=0.01°。

表1給出了四種組合情況的相位容差設(shè)計優(yōu)化結(jié)果。圖1～2給出了在固定幅度容差范圍分別為[-0.05，0.05]和[-0.1，0.1]下構(gòu)成的四種組合情況的相位容差設(shè)計優(yōu)化迭代過程,和最終求解的容差結(jié)果對應(yīng)的最高副瓣電平可靠度分析。圖3給出了四種幅相容差優(yōu)化組合情況下對應(yīng)的輻射方向圖。從迭代過程和結(jié)果分析可知，采用本文方法迭代13次可快速求解得到相應(yīng)的相位容差最大值。pT=95%,δ0=0.05對應(yīng)的相位容差最大值為9.897 6°；pT=95%，δ0=0.10對應(yīng)的相位容差最大值為8.481 4°；pT=100%，δ0=0.05對應(yīng)的相位容差最大值為6.389 3°；pT=100%,δ0=0.10對應(yīng)的相位容差最大值為3.603 5°。同等的可靠度要求下，固定的幅度容差越大，相位容差越小。同等的固定幅度容差下，可靠度要求越高，相位容差越小。

表1 四種組合情況下相位容差優(yōu)化結(jié)果Table 1 The optimization results of phase tolerance for four combinations

圖1 四種組合情況下相位容差優(yōu)化迭代過程Fig.1 The process of phase tolerance optimization for four combinations

圖2 四種組合情況下對應(yīng)的最高副瓣電平可靠度分析Fig.2 The reliability analysis of maximum sidelobe level for four combinations

圖3 四種組合情況下對應(yīng)的輻射方向圖Fig.3 The radiation pattern for four combinations

為了進一步分析本文方法對陣列天線幅相容差優(yōu)化設(shè)計的穩(wěn)健性，對組合1和組合2各進行10次獨立仿真，分析結(jié)果如表2所示。

通過表2可以看出，本文方法用于陣列天線幅相容差設(shè)計優(yōu)化時，多次獨立求解的最大值與最小值接近，偏差較小 (體現(xiàn)在標(biāo)準(zhǔn)方差上)，算法穩(wěn)健有效。

表2 本文方法穩(wěn)健性分析Table 2 The stability analysis of the proposed method

4 結(jié) 論

本文在建立陣列天線幅相容差優(yōu)化模型的基礎(chǔ)上，給出了一種融合進退法和二分法技術(shù)的陣列天線容差設(shè)計快速優(yōu)化算法，適用于對給定天線性能指標(biāo)和可靠度約束下，在固定幅度或相位其中一個容差范圍時，獲得另一個容差的最大域。本文方法可以不考慮誤差分布形式，算法實現(xiàn)簡單，具備良好的工程應(yīng)用性。通過采用該方法可求解多種優(yōu)化組合，在滿足性能指標(biāo)要求的最大幅相容差范圍，實現(xiàn)增強天線系統(tǒng)設(shè)計高穩(wěn)定性的同時，盡量放寬幅相容差范圍，降低整個雷達(dá)系統(tǒng)的研制難度和研制成本。