劉菊青

(玉溪師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院,云南 玉溪 653100)

在直角坐標(biāo)系下化三重積分為三次積分一直是多元函數(shù)積分學(xué)中的一個(gè)學(xué)習(xí)難點(diǎn)，推導(dǎo)過(guò)程形式抽象,理解困難，再加上對(duì)積分區(qū)域圖形的認(rèn)知難度，使其成為學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn).然而，這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程又是及其重要的，它是化三重積分為柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)下的三次積分計(jì)算的基礎(chǔ).如何突破三重積分學(xué)習(xí)上的難點(diǎn)一直是值得思考與研究的問(wèn)題.為此，本文通過(guò)研究“截面法”計(jì)算三重積分，獲得了一種嫁接實(shí)際意義推導(dǎo)三重積分計(jì)算的方法，有助于三重積分學(xué)習(xí)的突破，理解三重積分計(jì)算的原理和數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，利于三重積分計(jì)算方法的掌握.

1 累次積分法的簡(jiǎn)單回顧

圖1 三重積分區(qū)域圖

s1:z=z1(x,y),s2:z=z2(x,y),

函數(shù)z1(x,y)與z2(x,y)都是Dxy上的連續(xù)函數(shù)，且z1(x,y)≤z2(x,y，則三重積分化為一個(gè)單次積分和一個(gè)二重積分，即

再將二重積分化為兩個(gè)單次積分即可.若Dxy表示為

Dxy:a≤x≤b,y1(x)≤y≤y2(x)，

則三重積分最終化為三次積分

上述計(jì)算三重積分的方法稱為累次積分法,其實(shí)質(zhì)就是將三重積分最終轉(zhuǎn)化為三次積分計(jì)算.

三重積分在直角坐標(biāo)下的累次積分法反映的是高度抽象化的計(jì)算過(guò)程，它實(shí)質(zhì)是三重積分計(jì)算方法的一般化歸納過(guò)程，大多數(shù)微積分學(xué)的教材中給出的三重積分的計(jì)算均是上述方法，并未揭示它是如何得出的？這就造成對(duì)三重積分計(jì)算認(rèn)知的困難.因此，有必要揭示三重積分在直角標(biāo)下的實(shí)質(zhì)性的推導(dǎo)計(jì)算過(guò)程.

2 利用實(shí)際意義推導(dǎo)計(jì)算三重積分

我們不妨作這樣的思考：從積分概念推廣的角度，既然定積分的微元法和二重積分的計(jì)算均可根據(jù)其幾何意義即實(shí)際意義推導(dǎo)得出，那么是否可以思考三重積分計(jì)算也可以通過(guò)其實(shí)際意義來(lái)推導(dǎo)？

在重積分概念建立的過(guò)程中有兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題：非均勻薄片的質(zhì)量和非均勻物體的質(zhì)量.非均勻薄片質(zhì)量問(wèn)題的求解是二重積分概念建立、理解及二重積分應(yīng)用的基礎(chǔ)，非均勻物體質(zhì)量問(wèn)題的求解是三重積分概念引入的實(shí)例.在多數(shù)微積分教材內(nèi)容中均有此實(shí)例. 既然非均勻薄片質(zhì)量問(wèn)題的求解可以用微元法轉(zhuǎn)化為二重積分的計(jì)算問(wèn)題，那么三重積分的計(jì)算也可以利用非均勻物體質(zhì)量問(wèn)題求解來(lái)推導(dǎo).

2.1 “截面法”推導(dǎo)三重積分的計(jì)算

圖2 截面法示意圖

其次，再過(guò)z軸上的點(diǎn)z+dz∈[a,b]，作垂直于z軸的平面截區(qū)域Ω，則區(qū)間[z,z+dz]所對(duì)應(yīng)的小塊薄片的質(zhì)量微元

將這些小塊薄片的質(zhì)量相加便得到物體質(zhì)量M,故

進(jìn)而得

上述計(jì)算三重積分的方法稱為“截面法”.同理可推導(dǎo)

其中,Dx為夾在兩平行平面x=c,x=d之間的任意垂直于x軸的平面,截積分區(qū)域Ω所得的平面區(qū)域在yoz坐標(biāo)面上的投影區(qū)域.同樣,Dy為夾在兩平行平面y=e,y=f之間的任意垂直于y軸的平面,截積分區(qū)域Ω所得的平面區(qū)域在xoz坐標(biāo)面上的投影區(qū)域.

截面法的實(shí)質(zhì)就是利用三重積分的實(shí)際意義，將三重積分化為先二重積分，后定積分的順序計(jì)算的方法.理論上，截面法是一般化的通用方法，但由于區(qū)域Dz的復(fù)雜性，它適用于解決較為簡(jiǎn)單的、特殊的積分區(qū)域Dz的三重積分的計(jì)算.這一方法也使我們得到啟發(fā)，三重積分的計(jì)算是可以利用實(shí)際意義來(lái)推導(dǎo)的.

2.2 利用實(shí)際意義推導(dǎo)的累次積分法

圖3 累次積分法示意圖

如圖3，積分區(qū)域Ω在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy，上、下曲面分別為s2:z=z2(x,y)和s1:z=z1(x,y),(x,y)∈Dxy.在Dxy任取一個(gè)小區(qū)域σ，以區(qū)域σ為底、母線平行于z軸的柱面截區(qū)域Ω，在Ω內(nèi)截得小柱體ΔΩ，在z軸上任取兩點(diǎn)z和z+dz，用過(guò)這兩點(diǎn)且垂直于z軸的平面截小柱體ΔΩ得一小物體段，該小物體段的質(zhì)量用Δm表示，用如下方法近似計(jì)算：

該小物體段體積用ΔV表示，在xoy面上的投影區(qū)域σ的面積用Δσ表示，則小物體段體積

ΔV=Δσ·dz，

又用在點(diǎn)(x,y,z)((x,y)∈σ)的密度近似為該小物體段的平均密度，從而得該小物體段的質(zhì)量

Δm≈f(x,y,z)·ΔV=f(x,y,z)·Δσ·dz(質(zhì)量=密度×體積).

由上述近似計(jì)算的方法，若取面積微元dσ，并用dV表示體積微元，則Δσ≈dσ，dV=dσ·dz，.由此得出小物體段的質(zhì)量

Δm≈f(x,y,z)·dσ·dz=f(x,y,z)·dz·dσ

再由z的任意性，[z,z+dz]?[z1(x,y),z2(x,y)]，得出小柱體ΔΩ對(duì)應(yīng)的物體質(zhì)量微元

又由σ的任意性，σ?Dxy，將每個(gè)小柱體的質(zhì)量相加，便得所求空間物體的質(zhì)量

上述等式的右端表示先計(jì)算關(guān)于z的定積分，然后再計(jì)算在區(qū)域Dxy上的二重積分.為了書(shū)寫方便，上式可寫作

因此，我們就將三重積分化為先計(jì)算一個(gè)定積分，在計(jì)算一個(gè)三重積分的公式

若Dxy=(x,y)|a≤x≤b,y1(x)≤y≤y2(x),則三重積分最終化為三次積分

這就是由實(shí)際意義推導(dǎo)的三重積分計(jì)算的累次積分法.

2.3 利用實(shí)際意義推導(dǎo)計(jì)算三重積分的意義

上述的兩種三重積分計(jì)算的推導(dǎo)方法，均借助三重積分的實(shí)際意義即非均勻物體的質(zhì)量來(lái)推導(dǎo)，揭示了三重積分計(jì)算公式的來(lái)歷，明確了三重積分計(jì)算的本質(zhì)內(nèi)涵.同時(shí)，這一問(wèn)題的解決過(guò)程從實(shí)質(zhì)上也揭示了從二重積分概念、計(jì)算到三重積分的概念與計(jì)算的推廣，使我們明確數(shù)學(xué)應(yīng)用及其價(jià)值.更深層次地看，首先，從非均勻物體質(zhì)量問(wèn)題的提出到三重積分的概念，再到三重積分計(jì)算推導(dǎo)，最終明確這一問(wèn)題的完整解決的過(guò)程，體現(xiàn)是問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)模型思想與方法.其次，再次詮釋二重積分和三重積分應(yīng)用的微積分思想和方法，進(jìn)一步體會(huì)微元法在微積分應(yīng)用問(wèn)題解決中的重要性.這也就是微積分教學(xué)應(yīng)該傳遞給學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)和微積分學(xué)的價(jià)值與學(xué)習(xí)意義.

3 利用截面法計(jì)算三重積分舉例

三重積分計(jì)算的累次積分法是廣泛使用的一般性方法，微積分學(xué)習(xí)中以掌握這種計(jì)算方法為主，而截面法只是通過(guò)少數(shù)的實(shí)例進(jìn)行介紹，對(duì)如何利用截面法計(jì)算三重積分在微積分學(xué)的教材中并未深層次解析.截面法因?yàn)闀?huì)受到截面區(qū)域Dz的限制，因此只能在特殊情形下使用，下面就通過(guò)幾個(gè)典型的例子進(jìn)行解析歸納，使我們明確滿足什么特殊情形可以使用截面法.

圖4 例1的積分區(qū)域圖

解析這是利用截面法計(jì)算三重積分的一個(gè)非常簡(jiǎn)單的例子，其特點(diǎn)是被積函數(shù)是一個(gè)單變量函數(shù)，積分區(qū)域Ω是平面x+y+z=1與三坐標(biāo)面圍成的四面體(如圖4).區(qū)域Ω滿足0≤z≤1,任取z∈[0,1]，用垂直于z軸的平面截Ω，所得的截面區(qū)域是一個(gè)三角形,在xoy平面上的投影區(qū)域Dz由xoy面上的直線x+y=1-z(z看為常量)與兩坐標(biāo)軸x=0,y=0圍成的三角形區(qū)域，則由截面法得

當(dāng)然，此題也可以采用累次積分法.由積分區(qū)域Ω可表示為

Ω:0≤x≤1,0≤y≤1-x,0≤z≤1-x-y,

原式化為

按照此法計(jì)算,積分過(guò)程顯然要比用截面法計(jì)算復(fù)雜得多.因此,在計(jì)算此題時(shí),截面法有其簡(jiǎn)便之處.

圖5 例2的積分區(qū)域圖

解析此題的特點(diǎn)同例1，被積函數(shù)依然是單變量函數(shù),積分區(qū)域Ω仍然為四面體(如圖5),滿足0≤x≤1,任取x∈[0,1],用垂直于x軸的平面截Ω,所得的截面區(qū)域是一個(gè)三角形,在yoz平面上的投影區(qū)域Dx由yoz面上的直線2y+z=1-x(x看做常量)與兩坐標(biāo)軸y=0,z=0圍成的三角形區(qū)域,因此可用截面法計(jì)算，則

代入上述積分,可得

此題依然可以采用累次積分法計(jì)算，只是積分計(jì)算的過(guò)程與截面法相比，較為復(fù)雜，具體的計(jì)算過(guò)程就不詳細(xì)介紹了.

通過(guò)以上兩例，可以看出，如果被積函數(shù)為單變量函數(shù)，且截面區(qū)域可以計(jì)算面積，則采用截面法會(huì)較為簡(jiǎn)便.

圖6 例3的積分區(qū)域圖

解析此題被積函數(shù)依然是單變量函數(shù)，積分區(qū)域與前面兩例的要復(fù)雜一些，是一個(gè)橢球體(如圖6).截面投影區(qū)域Dz實(shí)質(zhì)是橢圓圍成的區(qū)域,

此區(qū)域是可以計(jì)算面積的.用截面法化三重積分

截面法計(jì)算此三重積分，思路清晰，計(jì)算簡(jiǎn)便，若此題要使用累次積分法計(jì)算,估計(jì)是困難的.

解析因?yàn)楸环e函數(shù)是含單個(gè)變量z的函數(shù),積分區(qū)域又由兩球面x2+y2+z2≤2rz和x2+y2+z2≤r2所圍成的，截面區(qū)域投影Dz是圓域，可計(jì)算面積，所以可采用截面法計(jì)算.又由于在兩個(gè)球面上截得的圓域不同,所以此三重積分的計(jì)算需要?jiǎng)澐謪^(qū)域，利用區(qū)域可加性計(jì)算.可設(shè)在兩個(gè)球面上的截面投影區(qū)域分別為

所以三重積分化為

又

所以

此題如果想要利用累次積分法計(jì)算，是極其困難的.

限于篇幅，截面法計(jì)算三重積分還未詳盡，實(shí)質(zhì)上截面法不僅是在直角坐標(biāo)下運(yùn)用，也可以推廣到柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分，還可以根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)，使用坐標(biāo)變換法使積分計(jì)算簡(jiǎn)化. 通過(guò)上面最后一例也可以看出，有時(shí)還需配合使用積分的性質(zhì).當(dāng)然，截面法的使用也存在局限，當(dāng)被積函數(shù)或者積分區(qū)域復(fù)雜導(dǎo)致積分的困難以及計(jì)算截面投影區(qū)域面積的困難時(shí)，就不適合使用.總之，要靈活掌握截面法的運(yùn)用，最根本的問(wèn)題是弄懂截面法計(jì)算三重積分的實(shí)質(zhì).