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偏微分方程均值公式的物理推導(dǎo)

2020-12-03 06:30陳靜華
宜春學(xué)院學(xué)報 2020年9期
關(guān)鍵詞:勢函數(shù)球殼拉普拉斯

劉 瑞,陳靜華

(宜春學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,江西 宜春 336000)

拉普拉斯方程[1],是由拉普拉斯(p.-s. Laplace)在1784年所提出來的,拉普拉斯方程是一種比較典型的橢圓型方程,它具有廣泛的應(yīng)用背景,例如滿足此類橢圓型的方程有靜電學(xué)中的電勢。由于此方程是通過勢函數(shù)的方式來描寫了引力場和電場等一些物理對象的性質(zhì),所以進(jìn)行求解Laplace方程是我們在各種特殊領(lǐng)域中常常遇到的一類非常重要的問題[2]。

滿足拉普拉斯方程的函數(shù)叫調(diào)和函數(shù)[3],調(diào)和函數(shù)在偏微分方程中的運用十分廣泛,因為它有很多好的性質(zhì)。其中一條性質(zhì)是調(diào)和函數(shù)滿足均值公式,但是在數(shù)學(xué)里面均值公式的證明非常詳細(xì)并且繁瑣,它是由拉普拉斯方程來的,在數(shù)學(xué)上有很多的應(yīng)用,并且被研究得非常透徹,例如在偏微分方程中的應(yīng)用等。但是很少有人考慮數(shù)學(xué)里面的均值公式和拉普拉斯方程的物理背景,那么拉普拉斯方程和均值公式具體有什么樣的物理意義呢?這就是我們這篇文章所要探討的,本文從最基本的牛頓萬有引力來推導(dǎo)拉普拉斯方程和均值公式。

下面我們引入本文將要出現(xiàn)的一些定義:

定義1 在引力場中有質(zhì)量為M的物體,某點處單位質(zhì)量物體所受到的引力為該點的萬有引力,記為F,即

其中G為萬有引力常數(shù),r為兩個物體之間的距離。

定義2 在引力場中有質(zhì)量為M的物體,某點處單位質(zhì)量的物體對應(yīng)的引力勢能為該點的引力勢,記為U,即

1 符號說明

本文所涉及到的符號作以下說明:

球BR:以R為半徑,以原點為球心的球;球:B(x,R)以R為半徑,以x為球心的球;球面?B(x,R):以R為半徑,以x為球心的球面;Rn:n維歐式空間。

2 勢函數(shù)與拉普拉斯方程

勢理論首先建立在力學(xué)中,牛頓萬有引力定律建立之后,在18世紀(jì),物理學(xué)的一個非常重要問題是確定一個物體與另一個物體引力之間的大小。例如:地球與外部質(zhì)點的之間引力;太陽與行星的之間的引力;地球與另一連續(xù)分布物體之間的引力等等。若不能把兩個物體都當(dāng)作質(zhì)點,就必須要考慮不同物體的形狀和質(zhì)量主要分布的情況。

下面我們從萬有引力出發(fā),通過具體公式來看各種情形的勢函數(shù)的表達(dá)式及性質(zhì)。

2.1 單個質(zhì)點的勢函數(shù)

由牛頓萬有定律可知,設(shè)在P0(x0,y0,z0)點有質(zhì)量為m0的質(zhì)點,p(x,y,z)點有質(zhì)量m的質(zhì)點,那么質(zhì)點p與質(zhì)點p0之間的萬有引力為:

若令

則該質(zhì)點對處于它周圍的質(zhì)點有引力的作用,該力的大小與質(zhì)量m成正比,與距離r成反比。

由勢函數(shù)定義可知,p點引力場的引力勢函數(shù)為:

那么,引力與引力場的勢函數(shù)有如下關(guān)系

所謂說勢函數(shù)是指把一個物體放在某個場里面,這個場就會對這個物體產(chǎn)生吸引力或排斥力,并且這個場在不同的位置產(chǎn)生的吸引力或排斥力也不同。

定理1 拉普拉斯發(fā)現(xiàn),若p(x,y,z)是一個孤立的點,則其對應(yīng)的勢函數(shù)u(x,y,z)為調(diào)和函數(shù),即

Δu(x,y,z)=0.

證明:因為

其中G,m是常數(shù),所以

因此,

=0.

2.2 多個質(zhì)點的勢函數(shù)

若現(xiàn)在考察的質(zhì)點有許多個,例如在點a1,a2…al處有質(zhì)量分別為M1,M2…Ml的l個質(zhì)點,則該l個質(zhì)點所產(chǎn)生的引力場勢函數(shù)為:

其中G是重力常數(shù)。同理,該勢函數(shù)也是調(diào)和函數(shù)。

2.3 連續(xù)分布的勢函數(shù)

如果我們考慮的質(zhì)點是連續(xù)質(zhì)點,例如它的質(zhì)量均勻的分布在一個球上,并且質(zhì)點分布的的密度函數(shù)為ρ(x),則它對應(yīng)的勢函數(shù)為:

其中Ω表示連續(xù)分布的質(zhì)點代表的幾何圖形。此處積分是對y積分,因此求拉普拉斯算子可以證明該勢函數(shù)也為調(diào)和函數(shù)。

定理2 在物理上,實際上勢函數(shù)是把單位質(zhì)量物體移到無窮遠(yuǎn)處做的功,即

前面我們已經(jīng)知道了勢函數(shù)的各種表現(xiàn)形式,那么對于一些特殊分布的質(zhì)點它的勢函數(shù)是怎樣的呢?

定理3 單位球的勢函數(shù)與單個質(zhì)點的勢函數(shù)一樣,即

(r表示質(zhì)點到單位球球心的距離)。

證明:若質(zhì)點均勻分布在單位球BR上,其總質(zhì)量為M,如圖

令u(x)=u(r),|x|=r.其中r表示p點到球心的距離,和定理1一樣證明,可得

Δu=0.

可以發(fā)現(xiàn)上式是一個簡單的常微分方程,可采用變量分離的方法求解,所以

等同于求解

lnu′(r)=-2lnr+c,

兩邊同時取指數(shù)

對上式兩邊取不定積分,則

(1)

又因為

(2)

綜合(1)(2)式,則

c=-GM,D=0

結(jié)論:說明球體物體的勢函數(shù)與質(zhì)量成正比,與距離r成反比,即與單個質(zhì)點的勢函數(shù)一樣。

2.4 球殼外的勢函數(shù)

定理4 對于一個質(zhì)量均勻分布的球殼{R1<|x|

證明:略(和定理3一樣證明)。

2.5 球殼內(nèi)的勢函數(shù)

定理5 對于一個質(zhì)量均勻分布的球殼{R1<|x|

u(x,y,z)=c.

(其中c為常數(shù))。

證明:如圖

設(shè)p是球殼內(nèi)任意一點,我們考慮球殼在p點處的勢函數(shù),不失一般性,設(shè)p點處的坐標(biāo)為p(0,0,r);r

dv=Rsinθdφ·Rdθ·dR,

=R2sinθdφdθdR.

因此,該處的勢函數(shù)為:

其中

l2=R2+r2-2Rrcosθ.

因此,勢函數(shù)為:

=(R2-R1)2πGρ(y)R

=c

因為密度均勻分布,ρ(y)是一個常數(shù)。

3 均值公式

現(xiàn)在設(shè)Ω是Rn上的一個開集,且u是Ω上的一個調(diào)和函數(shù),我們將從勢函數(shù)的角度來推導(dǎo)調(diào)和函數(shù)的均值公式,它說明函數(shù)u在點x∈Ω上的取值u(x,y,z)等于u在球面?B(x,R)上的平均值,也等于它在球B(x,R)上的平均值。[1]

定理6 假設(shè)u是調(diào)和函數(shù),并在B(x,R)={y∈Rз|(zhì)x-y|

接下來我們利用勢函數(shù)

來證明均值公式,為計算方便,設(shè)Gm為常數(shù)1,令

由定理1可知

Δu(x,y,z)=0.

由上述推導(dǎo)可知,要證明均值公式,即證

也就是要證

也就是需要證明在空間a點處關(guān)于單位質(zhì)量的球面?B(x,R)的勢函數(shù)等于在x處單位質(zhì)量所產(chǎn)生的引力在空間a點處的引力勢。

證明:如圖

由于空間a點是空間中任意的一點,為不失一般性,則設(shè)a點的坐標(biāo)為(0,m,0),球面任意一個微元圈的圓心記為E(0,e,0),由于球的半徑為R,則小圓環(huán)半徑為r=Rcosθ,點a到小圓環(huán)圓心E處的距離為d=m-Rcosθ,則

小圓環(huán)周長:2πr=2πRsinθ.

小圓環(huán)面積:S=2πR2sinθdθ.

點a到球面上的微元圈的距離為:

因此,在空間a點處的勢函數(shù)為:

因此,定理得證。

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