馬俊美，余 律，賈曉雨

（1. 上海財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，上海200433；2. 上海財經(jīng)大學(xué)上海市金融信息技術(shù)研究重點實驗室，上海200433；3. 莆田學(xué)院 金融數(shù)學(xué)福建省高校重點實驗室，福建莆田351100）

波動率衡量的是標(biāo)的資產(chǎn)價格的不確定性，是金融風(fēng)險度量的重要標(biāo)志。近年來，波動率風(fēng)險引起金融市場的廣泛關(guān)注，波動率交易成為風(fēng)險管理的重要主題?；赩IX（volatility index）指數(shù)而衍生的波動率和方差產(chǎn)品是管理市場波動率風(fēng)險的主要工具，具備重要的長尾系統(tǒng)性風(fēng)險避險能力，在極端行情中可以提供很好的避險效果，抵御市場的巨幅波動。在2008年金融危機(jī)中，波動率衍生產(chǎn)品發(fā)揮了比傳統(tǒng)風(fēng)險管理工具更精準(zhǔn)和高效的“保險”功能，不僅能有效增強(qiáng)投資組合收益率，同時還能降低收益率的波動率，并在極端情況下提供有效的保護(hù)功能。2020年，隨著新冠肺炎疫情的全球蔓延，各國股指紛紛大跌，全球經(jīng)濟(jì)下行風(fēng)險急劇增大，分散化投資在系統(tǒng)性風(fēng)險面前顯得不堪一擊，而VIX則與傳統(tǒng)資產(chǎn)的負(fù)相關(guān)性進(jìn)一步提高，如果把波動率衍生品加入到投資組合中，可以起到很好的對沖甚至超額保護(hù)的效果。

波動率衍生產(chǎn)品在海外成熟市場已得到投資者廣泛認(rèn)可，不斷有相關(guān)的衍生產(chǎn)品上市，成交量逐年上升，品種也日益多樣化。傳統(tǒng)的波動率衍生品是基于一個標(biāo)的波動率指數(shù)而衍生的產(chǎn)品，為對沖一個市場上的波動率風(fēng)險而設(shè)計的。2012 年，由瑞士信貸（Credit Suisse）率先推出了跨市場對沖波動率風(fēng)險的Switch Corridor方差互換產(chǎn)品，一經(jīng)推出，該產(chǎn)品成為了結(jié)構(gòu)性產(chǎn)品市場上被廣泛交易的一類新型方差產(chǎn)品。Switch Corridor 方差互換是傳統(tǒng)的走廊方差互換（Corridor Variance Swap）的自然延伸，不同之處是標(biāo)的資產(chǎn)的個數(shù)，Switch Corridor方差互換的收益取決于兩個價格過程：Corridor資產(chǎn)Sc和Variance資產(chǎn)Sv，當(dāng)Corridor資產(chǎn)在預(yù)先定義的范圍內(nèi)時Variance資產(chǎn)的方差才會被累積，Switch Corridor方差互換的收益函數(shù)為

式中：AF表示年化因子（通常為252）；A、B表示Corridor資產(chǎn)價格的上、下限；為敲定方差；N為計算總天數(shù)；M是Corridor資產(chǎn)落在價格區(qū)間內(nèi)的總天數(shù)，即

Switch Corridor 方差衍生品是為了滿足客戶對沖不同市場、不同標(biāo)的資產(chǎn)的波動率風(fēng)險需求而推出的新型產(chǎn)品。當(dāng)一個市場的Corridor 資產(chǎn)落在預(yù)先定義的范圍內(nèi)時，另一個市場的Variance 資產(chǎn)的方差才會被累積，Switch Corridor產(chǎn)品能起到對沖跨市場之間的波動率風(fēng)險的作用，通過該產(chǎn)品的交易，不同的金融市場被聯(lián)結(jié)起來，可以幫助投資者起到更好的管理風(fēng)險的作用，具有重要的市場地位。

近幾年來該產(chǎn)品的交易量一直穩(wěn)步上升，逐漸成為市場上最受歡迎的新產(chǎn)品系列之一，被稱為對沖基金客戶和投資銀行的雙贏產(chǎn)品。從對沖基金客戶的角度來看，它允許客戶在不同的市場建立盈利頭寸。Switch Corridor方差衍生品的主要吸引力在于客戶可以在表面的特定部分上交易指數(shù)之間波動率的相對溢價/折扣。這為兩個不同的波動市場提供了有吸引力的交易機(jī)會。在實踐中，客戶通過做多隱含波動率和實現(xiàn)波動率之間的差異較小的市場的方差（例如亞洲或歐洲指數(shù)），同時賣空隱含波動率和實現(xiàn)波動率之間的差異較大的市場的方差（通常是標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)SPX）而獲利。從投資銀行的角度來看，它自然適合銀行的風(fēng)險狀況，構(gòu)成了其結(jié)構(gòu)性產(chǎn)品業(yè)務(wù)的期權(quán)風(fēng)險要素之一Vega曝露的自然對沖。銀行可以通過利用世界上最具流動性的標(biāo)的來對沖像美國一樣更加波動的市場，使得銀行可以回收風(fēng)險并轉(zhuǎn)移/升級流動性。隨著走廊差異交換，人們可以在相當(dāng)具體的市場水平范圍內(nèi)回收Vega風(fēng)險，這與來自結(jié)構(gòu)性產(chǎn)品服務(wù)臺的Vega不平衡的概況非常吻合。從風(fēng)險管理的角度來看，這是一個使經(jīng)銷商能夠維持零售業(yè)務(wù)的關(guān)鍵產(chǎn)品。Switch Corridor方差衍生產(chǎn)品獲得“2016年亞洲風(fēng)險投資年度最佳交易獎”［1］。

在過去的幾年里，市場對Switch Corridor方差衍生產(chǎn)品表示了極大的興趣，然而人們對它的研究程度并沒有趕上經(jīng)銷商和對沖基金對這個產(chǎn)品的強(qiáng)烈需求程度。2017年8月，瑞士信貸的亞太地區(qū)定量策略主管兼香港股票模擬全球產(chǎn)品負(fù)責(zé)人Hong，在幾何布朗運(yùn)動框架下，使用Copula法對Switch Corridor方差互換提出一種封閉式解決方案［2］。該方法比原始的Monte Carlo模擬方法快80～120倍，由此Hong獲得了“2017亞洲風(fēng)險大獎”。但是Hong是在幾何布朗運(yùn)動模型下進(jìn)行定價研究的，他的研究結(jié)果不適合求解隨機(jī)波動率模型下的Switch Corridor 方差衍生產(chǎn)品價格，而隨機(jī)波動率模型相比幾何布朗運(yùn)動，能夠更好刻畫金融資產(chǎn)的尖峰厚尾現(xiàn)象，以及波動率的均值回歸等特點［3］?；陔S機(jī)波動率模型計算得到的產(chǎn)品價格同時考慮了資產(chǎn)價格的風(fēng)險與波動率的風(fēng)險，能夠更為完整徹底地對沖存在的風(fēng)險源。因此，設(shè)計一套既能支持多種隨機(jī)波動率模型，又能快速處理Switch Corridor方差衍生產(chǎn)品定價的算法具有重要的理論和應(yīng)用價值。

關(guān)于隨機(jī)波動率模型下Switch Corridor方差產(chǎn)品的定價問題研究的主要難點是維數(shù)高，相關(guān)性難于處理。這是一個基于四維標(biāo)的過程的路徑依賴型的非線性計算問題，產(chǎn)品的價格滿足N個偏微分方程組，每一個偏微分方程是一個四維的非線性方程，大部分情況下無解析解。若用有限差分方法直接對問題進(jìn)行求解，所需計算量極大，進(jìn)行計算所需付出代價太大以至無法計算?；趩螛?biāo)的資產(chǎn)的方差互換定價研究中常用的特征函數(shù)法［4］、鞍點法［5］等也不易推廣應(yīng)用到二維Switch Corridor方差產(chǎn)品的定價研究中。

本文使用加速蒙特卡羅方法研究Switch Corridor方差產(chǎn)品的定價問題。蒙特卡羅（Monte Carlo）方法是一種以概率統(tǒng)計為基礎(chǔ)，通過隨機(jī)抽樣獲得數(shù)值結(jié)果的計算方法。由于其收斂速度和問題維數(shù)無關(guān)等重要特性，該方法被廣泛應(yīng)用于多標(biāo)的資產(chǎn)、路徑依賴等情形下的定價問題，隨著衍生產(chǎn)品的不斷創(chuàng)新，其定價的復(fù)雜度也在不斷增加，蒙特卡羅方法的普遍適用性已然使其成為風(fēng)險管理和資產(chǎn)定價的基本工具之一。但Monte Carlo方法的主要缺點是收斂速度慢，通常要想提高精度一位有效數(shù)字，需要增加100倍的工作量。因而眾多學(xué)者提出各種方差減小技術(shù)來縮減Monte Carlo模擬誤差。常見的方差縮減技術(shù)有控制變量法、重要抽樣法、條件蒙特卡羅法等［6］。其中，控制變量法是目前研究最為廣泛的方法之一，其關(guān)鍵在于尋找與原問題高度相關(guān)的控制變量。如，Kemna等基于幾何平均亞式期權(quán)的解析解，以其作為控制變量，對算術(shù)平均亞式期權(quán)進(jìn)行了定價［7］；Ma等研究了GARCH（廣義自回歸條件異方差）模型下的控制變量加速模擬問題［8］；Shin等人使用控制變量技巧研究了LIBOR（倫敦同業(yè)拆借利率）市場模型下百慕大互換期權(quán)的定價問題［9］。

本文將著重使用控制變量技術(shù)，研究高維的Heston 隨機(jī)波動率模型下Switch Corridor 方差互換的加速模擬定價問題。

1 Monte Carlo方法及控制變量技術(shù)

Monte Carlo 方法主要適用于無法求出解析解的數(shù)學(xué)問題，例如求解復(fù)雜隨機(jī)變量的期望值或某一事件發(fā)生的概率。在這里，假設(shè)需要估計隨機(jī)變量X，其期望為μ，方差為σ2?？梢愿鶕?jù)其概率密度函數(shù)生成m 個獨(dú)立同分布的隨機(jī)數(shù)Xi( i=1，2，…，m )，那么X期望值的蒙特卡羅估計即為

由中心極限定理可知，該估計量的誤差為

因此可以看到，Monte Carlo 方法是基于簡單的概率理論來解決問題，避免了復(fù)雜的分析推導(dǎo)，但是它的結(jié)果具有隨機(jī)性，會引入隨機(jī)模擬誤差?？捎芍行臉O限定理推出其收斂速度為O( m12)。該速度僅與模擬次數(shù)有關(guān)，與問題的維數(shù)無關(guān)。為了提高精確度，模擬次數(shù)通常會非常大，這會使得計算效率十分低下。因此，本文引入了控制變量方法。

控制變量方法是一種被廣泛應(yīng)用的蒙特卡羅方差縮減技術(shù)，它充分利用了已知量的估計誤差從而降低未知量的估計誤差［6］。對于式（2）的Monte Carlo模擬，現(xiàn)在假設(shè)在每一次對Xi取樣的同時計算另一個隨機(jī)變量Y的隨機(jī)數(shù)Yi，其中( Xi，Yi)獨(dú)立同分布，且E [Y ]已知。則對于每一個確定的b，可以得到

那么隨機(jī)變量X基于控制變量Y的蒙特卡羅估計即為

由于E [ X (b)]= E [ X ]，即該估計量是無偏的。其方差為

其 中，ρXY為X 和Y 的 相 關(guān) 系 數(shù)。 顯 然 當(dāng)b*=Cov [ X，Y ] Var [ X ]時，σ2(b*)取得最小值

由此可知，控制變量法對誤差的減小效果取決于X 和Y 的相關(guān)程度，且相關(guān)性越高效果越好。因此，本文以簡化模型下Switch Corridor 方差互換的價格作為Heston 模型下產(chǎn)品價格的控制變量，保證了高度的相關(guān)性。

在實際應(yīng)用中，若E [Y ]未知，往往σY和ρXY也是未知的，這樣就需要估計b*。通常將b*做如下估計，此時仍能得到控制變量法的大部分好處。

2 高維Heston模型下的產(chǎn)品定價

2.1 隨機(jī)波動率模型

隱含波動率的微笑現(xiàn)象表明資產(chǎn)服從常數(shù)波動率的假設(shè)并不符合市場的普遍規(guī)律。在隨機(jī)波動率模型中，Heston 模型逐漸被認(rèn)為是較為合適的模型之一［10］。因此，本文研究了Variance資產(chǎn)及Corridor資產(chǎn)均滿足Heston 波動率模型的情形下，Switch Corridor 方差互換產(chǎn)品的定價問題。假設(shè)兩標(biāo)的資產(chǎn)分別滿足如下相關(guān)的擴(kuò)散過程：

其 中 ， E [ dZ1tdZ2t]= ρ1dt，E [ dZ3tdZ4t]=ρ2dt，E [ dZ1tdZ3t]= ρdt；vvt表示Variance 資產(chǎn)的方差過程，σv為其波動率，當(dāng)t趨于無窮時，vvt的期望值以回復(fù)速度κv趨近于θv；同理，vct表示Corridor 資產(chǎn)的瞬時方差，遵循回復(fù)速度為κc，長期均值為θc的均值回復(fù)過程。均值回復(fù)過程保證了資產(chǎn)的波動率受到一定的限制，不會出現(xiàn)極端值的情況。本文使用控制變量Monte Carlo加速技術(shù)研究了在模型（3）和（4）下，收益函數(shù)為（1）的Switch Corridor 方差互換產(chǎn)品的定價問題。

2.2 基于仿射擴(kuò)散過程的控制變量解析解

考慮簡化模型下，Switch Corridor方差互換產(chǎn)品的定價求解問題，以獲得原問題高效的控制變量。構(gòu)造如下輔助過程：假設(shè)Variance資產(chǎn)和Corridor資產(chǎn)過程均服從波動率為關(guān)于時間t的函數(shù)的幾何布朗運(yùn)動

為方便討論，記為向量形式

定義1 令Σ(x) = σ( x )σ( x )T，式（7）表示的過程為d 維仿射擴(kuò)散過程，當(dāng)且僅當(dāng)漂移項μ(x)和擴(kuò)散項Σ(x)有如下形式：

其中：αi( i= 1，2，…，d )；a 為d 維常數(shù)矩陣；βi( i=1，2，…，d )；b為d維常數(shù)列向量。

由于基于函數(shù)波動率的二維幾何布朗運(yùn)動的μ與Σ 均不包含隨機(jī)變量，因此符合仿射擴(kuò)散過程的定義。d維仿射擴(kuò)散過程的主要性質(zhì)如下。

性質(zhì)1 記iRd={ iu|u∈Rd}，若Xt為d 維仿射擴(kuò)散過程，則存在關(guān)于t 連續(xù)可微的函數(shù)?(t，u)：R+×iRd→C，ψi(t，u)：R+×iRd→Cd，i=1，2，…，d，對于任意的u∈Rd，t ≤T，過程Xt均滿足

性質(zhì)2 若Xt為d 維仿射擴(kuò)散過程，則?(t，u)與ψ(t，u)滿足如下Riccati微分方程組：

反之，若Riccati 方程組（9）存在唯一解，使得對于任意的0< t ≤T，?(t，u)+ ψ(t，u)'x 具有非負(fù)實部，則Xt是仿射擴(kuò)散過程。

性質(zhì)1 和性質(zhì)2 的證明可參見文獻(xiàn)［11］。有關(guān)仿射擴(kuò)散過程的更多性質(zhì)及應(yīng)用可參考文獻(xiàn)［12］。由此可以直接計算得到該二維幾何布朗運(yùn)動的漂移系數(shù)及擴(kuò)散系數(shù)分別為

設(shè)u=( u1，u2)'，與上述系數(shù)一同代入式（9）解得

定理1 基于標(biāo)的過程式（5）、（6）且具有收益函數(shù)（1）的Switch Corridor方差互換產(chǎn)品的價格為

證明 由于具有上、下界的示性函數(shù)可由兩個上界示性函數(shù)相減得到，因此先考慮Corridor 資產(chǎn)的價格范圍僅包含上界的情況。Switch Corridor 方差互換的收益公式（1）由前、后兩部分組成。先考慮減號前的部分，對于t ∈(tn?1，tn)，n= 1，2，…，N，假設(shè)Corridor資產(chǎn)上限為ex，需要求的期望即為

由反演定理，可以利用逆傅里葉變換得到原示性函數(shù)的半解析表達(dá)式

將式（13）及（14）代回式（12），利用重期望公式，由性質(zhì)1及性質(zhì)2，可以得到

式中：u1=(u1，?iw)'，u2= (0，?iw)'；?(t，u) 的具體形式如式（10）所示。

對于減號后的部分，同理先考慮如下形式：

將Corridor資產(chǎn)上、下界的ln值分別代入x后相減，并代回求期望后的收益函數(shù)（1），可以得到定理1中的公式（11）。

特別地，當(dāng)σ1(t )和σ2(t )為常數(shù)波動率時，Switch Corridor方差互換的價格有更簡潔的解析表達(dá)

2.3 控制變量波動率的選取

控制變量方差縮減技術(shù)的效果取決于所選控制與原問題的相關(guān)性，因此控制變量波動率的選取也是至關(guān)重要的。需要選擇最具有代表性的σ1(t )和σ2(t )使得控制變量與原問題之間有較高的相關(guān)性，從而達(dá)到較好的方差減小效果。本文選取控制變量的標(biāo)的過程（5）和（6）中的波動率函數(shù)σ1(t )和σ2(t )為隨機(jī)波動率過程（3）和（4）的數(shù)學(xué)期望。

本文進(jìn)一步將該控制變量的加速效果與靜態(tài)波動率常數(shù)及按Xu 等［13］提出的方法選取分段波動率常數(shù)所對應(yīng)的控制變量的加速效果進(jìn)行比較。Xu等討論了當(dāng)原問題為基于任意隨機(jī)波動率模型時的一類廣義選取方法，假設(shè)原問題中的資產(chǎn)服從如下廣義隨機(jī)波動率模型：

式中：f (Y )、μ(t，Y )、σ(t，Y )都是已知的函數(shù)；Wt和Zt是相關(guān)系數(shù)為ρ的布朗運(yùn)動。同樣地構(gòu)建一個作為控制變量的虛擬標(biāo)的資產(chǎn)，假設(shè)其滿足

他們將問題轉(zhuǎn)化為如何找到合適的目標(biāo)函數(shù)以表示St與S?t的近似相等，并求解最優(yōu)的σ?t?？紤]到求解的可行性與復(fù)雜性，他們選擇了如下優(yōu)化目標(biāo)：

在實際運(yùn)用中，對于適當(dāng)?shù)摩與模擬次數(shù)m，式（16）可近似為

為方便后文中的描述，將上述3 種輔助標(biāo)的過程的波動率選取方法分別命名為動態(tài)波動率選取法、靜態(tài)波動率選取法以及廣義波動率選取法。

3 數(shù)值結(jié)果及分析

以2. 2 節(jié)推導(dǎo)出的Switch Corridor 方差互換價格的解析解作為控制變量，分別應(yīng)用動態(tài)函數(shù)波動率、靜態(tài)常數(shù)波動率以及廣義分段常數(shù)波動率3 種波動率選取方法，對高維Heston 波動率模型下的該產(chǎn)品進(jìn)行蒙特卡羅模擬。

3.1 結(jié)果對比

參數(shù)設(shè)置：敲定方差K= 0.01，年化因子AF=252，N= 100，T= 1，Corridor 資產(chǎn)價格的下限A=9，上限B= 11；Variance 資產(chǎn)的方差初值vv0= 0.62，長期均值θ1= 0.25，回復(fù)速度κ1= 2，方差波動率σv= 0.01，相關(guān)系數(shù)ρ1= 0.2，所在市場無風(fēng)險利率r1= 0.05；Corridor 資產(chǎn)的方差初值vc0= 0.62，長期均值θ2= 0.25，回歸速度κ2= 2，方差波動率σc=0.01，相關(guān)系數(shù)ρ2= 0.2，所在市場無風(fēng)險利率r2=0.05；資產(chǎn)間相關(guān)系數(shù)ρ= 0。分別使用了2. 3 節(jié)中介紹的3 種控制變量波動率的選取方法進(jìn)行了Monte Carlo 模擬。Monte Carlo 模擬的結(jié)果見表1所示。

表1 基于3種波動率選取法的控制變量蒙特卡羅模擬Tab. 1 Control variate method of Monte Carlo simulation results based on three volatilities of GBM

表1中，M表示模擬路徑數(shù)；P1表示傳統(tǒng)蒙特卡羅模擬得到的Switch Corridor 方差互換價格；P2、P3、P4分別表示基于靜態(tài)、動態(tài)及廣義波動率選取的控制變量下Switch Corridor 方差互換的蒙特卡羅模擬價格；Ei，i= 1，2，3，4 表示各方法對應(yīng)的模擬誤差；為了更好地比較3 種波動率選取算法的優(yōu)劣，VRi和VTRi的定義為

分別表示各方法對應(yīng)的方差減小倍數(shù)及考慮時間比的綜合減小倍數(shù)。

由表1可以看到，除靜態(tài)方法以外，其他方法的方差減小倍數(shù)都在300 倍以上，綜合減小倍數(shù)均在200倍以上，說明使用函數(shù)波動率或分段常數(shù)波動率的幾何布朗運(yùn)動下該產(chǎn)品的解析解作為控制變量有著較為明顯的方差縮減效果，且隨著模擬次數(shù)的增加，方差減小效果及綜合減小效果均越好，計算得到的產(chǎn)品價格也越穩(wěn)定。還可以發(fā)現(xiàn)，對于該產(chǎn)品而言，動態(tài)的選取方法相對于廣義選取法有著更好的表現(xiàn)，且當(dāng)路徑數(shù)達(dá)到20 000時，該選取法甚至可以有高達(dá)459. 19倍的縮減效果，這大大提高了計算精度。若要使原始蒙特卡羅模擬達(dá)到同樣的精度，模擬路徑數(shù)需增加VR2倍。

另外，單獨(dú)考察了基于動態(tài)波動率的控制變量與原問題的相關(guān)性。圖1為兩個模型下方差互換價格的散點圖。其中，縱坐標(biāo)表示基于函數(shù)波動率的幾何布朗運(yùn)動下Switch Corridor 方差互換的價格，即控制變量的價格；橫坐標(biāo)表示雙Heston 隨機(jī)波動率模型下該產(chǎn)品的模擬值。

圖1 兩類方差互換的價格散點圖Fig. 1 Scatter plots of values of two types of variance swaps

圖1 中的散點可近似為一條過原點的直線，即控制變量與原問題之間呈現(xiàn)正比例的關(guān)系。進(jìn)一步地，可以根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計得到兩者間的相關(guān)系數(shù)為ρ= 0.999 1，可以看到控制變量與原問題有高度的相關(guān)性。由控制變量的原理可知，基于該控制變量的蒙特卡羅模擬可以達(dá)到較好的方差縮減效果，大大提高了計算的精確度。

除此之外，還考慮了其他參數(shù)對方差減小效果的影響。保持其余參數(shù)不變，僅改變Corridor 資產(chǎn)或Variance資產(chǎn)方差過程的初值，在動態(tài)選取法下，可以得到如表2中的結(jié)果。

表2 動態(tài)選取法下資產(chǎn)方差初值對加速效果的影響Tab. 2 Effect of initial volatility in the dynamic method

表2 中，RC表示動態(tài)選取法下當(dāng)保持其他所有參數(shù)不變而僅改變Corridor 資產(chǎn)的方差初值時得到的縮減倍數(shù)；RV表示動態(tài)選取法下當(dāng)保持其余參數(shù)不變而僅改變Variance資產(chǎn)的方差初值時得到的縮減倍數(shù)。圖2 記錄了隨著Corridor 資產(chǎn)及Variance資產(chǎn)方差初值的變化動態(tài)選取法下方差縮減倍數(shù)的波動。

圖2 動態(tài)選取法下方差初值對加速效果的影響Fig. 2 Effect of initial volatility in the dynamic method

由圖2可以看出，當(dāng)保持其他參數(shù)不變時，方差縮減倍數(shù)并不是隨著這兩類資產(chǎn)方差初值的增大線性增加，而是處于波動上升的狀態(tài)。當(dāng)初值較小時，圖中實線及虛線均呈現(xiàn)上升的趨勢，且實線始終處于虛線的上方，說明此時在動態(tài)選取法下適當(dāng)增加兩標(biāo)的資產(chǎn)方差的初值均可以提高精確度，且Corridor 資產(chǎn)方差初值的改變有著更好的方差減小表現(xiàn)。明顯可以看到，虛線的整體波動范圍較實線而言更小，實線的波動幅度更大，這說明Variance資產(chǎn)方差初值的改變對方差縮減倍數(shù)的影響效果更小。對于最優(yōu)值的確定有待進(jìn)一步的討論分析。

3.2 模型參數(shù)對產(chǎn)品價格的影響分析

進(jìn)一步地，考察了Switch Corridor 方差互換的價格與兩個標(biāo)的資產(chǎn)模型參數(shù)之間的關(guān)系：無風(fēng)險利率r、長期均值θ、回復(fù)速度κ、方差初值v0及相關(guān)系數(shù)ρ1、ρ2、ρ，如圖3所示。

由3a 可以看到，隨著Corridor 資產(chǎn)所在金融市場無風(fēng)險利率的增加，產(chǎn)品價格會有小幅度的波動上升；然而對于Variance資產(chǎn)無風(fēng)險利率的改變，產(chǎn)品價格基本維持在0. 165 附近，沒有明顯的增加。在圖3b 中，Corridor 資產(chǎn)的長期均值增加會導(dǎo)致產(chǎn)品價格小幅下降；而Variance 資產(chǎn)長期均值的增加會導(dǎo)致產(chǎn)品價格較大幅度的上升；在圖3c 中，隨著Corridor資產(chǎn)的回歸速度的增加，產(chǎn)品的價格以一個非常小的幅度波動增加；而Variance 資產(chǎn)的回復(fù)速率的增加則會導(dǎo)致產(chǎn)品價格緩慢遞減；在圖3d 中，產(chǎn)品價格與Corridor 資產(chǎn)的方差初值呈現(xiàn)出負(fù)相關(guān)的趨勢；而與Variance 資產(chǎn)的波動率初值大致成正比例關(guān)系，且幅度相對較大；由3e和3f可知，產(chǎn)品價格受資產(chǎn)相關(guān)系數(shù)影響較小，沒有明顯的趨勢。

總體而言，標(biāo)的資產(chǎn)的長期均值θ以及方差初值v0對Switch Corridor 方差互換產(chǎn)品價格的影響程度更大；除無風(fēng)險利率及相關(guān)系數(shù)之外，Corridor 資產(chǎn)對價格的影響大多呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，而Variance 資產(chǎn)對產(chǎn)品價格的影響大多呈現(xiàn)正相關(guān)，且Variance 資產(chǎn)參數(shù)變動對產(chǎn)品價格的影響程度要高于Corridor資產(chǎn)。這些特征與Switch Corridor 方差互換的收益函數(shù)是相吻合的。

圖3 模型參數(shù)對產(chǎn)品價格的影響Fig. 3 Price of product against parameters

4 結(jié)語

本文首先基于仿射擴(kuò)散模型的性質(zhì)推導(dǎo)出了函數(shù)波動率的幾何布朗運(yùn)動模型下Switch Corridor 方差互換價格的解析解，以此作為控制變量對高維Heston 模型下的該產(chǎn)品的模擬定價進(jìn)行加速，并采用了3種布朗運(yùn)動波動率的選取方法進(jìn)行了對比分析，同時考察了影響方差互換產(chǎn)品價格的因素。結(jié)果表明對于該產(chǎn)品而言，基于動態(tài)波動率的該控制變量是極其有效的，大大減小了蒙特卡羅的模擬誤差，提高了計算效率，為其他隨機(jī)波動率模型下Outperformance Corridor Variance Swap 等同類多標(biāo)的資產(chǎn)的方差互換產(chǎn)品的定價研究提供思路。

作者貢獻(xiàn)申明：

馬俊美：總體研究方向的確定，文章的撰寫。

余 律：GBM下產(chǎn)品解析解的推導(dǎo)，文章的撰寫。

賈曉雨：程序的實現(xiàn)。