張靈溪，殷俊鋒

（同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海200092）

經(jīng)典的Black‐Scholes（BS）模型［1］假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的收益變化服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，也就是資產(chǎn)的價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，設(shè)St為標(biāo)的資產(chǎn)在t時(shí)刻的價(jià)格，r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，σ為波動(dòng)率，V(x，t)為t時(shí)刻時(shí)x= ln(St)下的期權(quán)價(jià)格，那么V(x，t)滿(mǎn)足以下方程：

Black‐Scholes期權(quán)定價(jià)模型是金融工程中一個(gè)重大突破，為風(fēng)險(xiǎn)中性條件下的期權(quán)定價(jià)理論提供了有力的數(shù)學(xué)支撐。但是，該模型成立的前提條件非常嚴(yán)格，例如市場(chǎng)交易無(wú)摩擦，市場(chǎng)不存在套利機(jī)會(huì)，資產(chǎn)收益服從正態(tài)分布，在這種情況下由該模型計(jì)算出的結(jié)果往往與市場(chǎng)真實(shí)的情況不相吻合。實(shí)際市場(chǎng)中的隱含分布與正態(tài)分布相比存在尖峰肥尾的現(xiàn)象，因此在期權(quán)市場(chǎng)中會(huì)存在波動(dòng)率微笑［2］。

為了弱化其模型假設(shè)對(duì)定價(jià)帶來(lái)的影響，很多學(xué)者都在此基礎(chǔ)上做了深入的研究。Merton［3］提出了跳躍過(guò)程服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的跳‐擴(kuò)散模型。Kou［4］假設(shè)資產(chǎn)跳躍服從對(duì)數(shù)雙指數(shù)分布，從而構(gòu)造了相應(yīng)的跳‐擴(kuò)散模型。 還有隨機(jī)波動(dòng)率模型［5- 6］，考慮交易費(fèi)用的期權(quán)定價(jià)模型［7］等。對(duì)于跳‐擴(kuò)散模型［8-10］以及美式期權(quán)［11］的求解也有許多不同的數(shù)值方法。

隨著研究的深入，Mandelbrot［12］發(fā)現(xiàn)股票的收益分布有長(zhǎng)尾的特點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出用α 穩(wěn)定的列維過(guò)程代替標(biāo)準(zhǔn)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)，用純無(wú)限跳躍模型來(lái)描述金融資產(chǎn)價(jià)格的變化，其中α< 2。在此基礎(chǔ)上，許多學(xué)者利用列維過(guò)程來(lái)代替Black‐Scholes模型中的布朗運(yùn)動(dòng)，從而提出了相應(yīng)基于列維過(guò)程的期權(quán)定價(jià)模型。Carr 等［13］提出FMLS(finite moment log stable)模型，可以表示標(biāo)的資產(chǎn)對(duì)數(shù)收益的傾斜密度特征。 Koponen［14］、Boyarchenko等［15］將修正α穩(wěn)定的列維過(guò)程應(yīng)用在模擬標(biāo)的資產(chǎn)的動(dòng)力學(xué)特征上，稱(chēng)為KoBoL模型。Carr等［16］提出允許標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格出現(xiàn)有限或者無(wú)限跳躍幅度的過(guò)程，稱(chēng)之為CGMY模型。近年來(lái)，這些由列維過(guò)程推導(dǎo)出的金融衍生品定價(jià)模型由于可以準(zhǔn)確描述標(biāo)的運(yùn)動(dòng)而得到廣泛且深入的研究［17］。

利用分?jǐn)?shù)階模型進(jìn)行期權(quán)定價(jià)時(shí)，需要求解一個(gè)分?jǐn)?shù)階對(duì)流擴(kuò)散方程。Marom等［18］比較了上述3種分?jǐn)?shù)階期權(quán)定價(jià)模型定價(jià)歐式期權(quán)的數(shù)值結(jié)果，但并未給出相應(yīng)的穩(wěn)定性與收斂性條件。Wang等［19］給出了具有一階精度的差分離散格式，并在障礙期權(quán)上進(jìn)行定價(jià)。Meng 等［20］利用CGNR 算法對(duì)歐式看漲期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，并與Black‐Scholes 模型進(jìn)行了比較。Zhang等［21］利用BiCGSTAB算法求解了單邊分?jǐn)?shù)階歐式看漲定價(jià)。

本文主要研究一類(lèi)雙邊分?jǐn)?shù)階期權(quán)定價(jià)方程的數(shù)值解法。首先對(duì)于這類(lèi)雙邊分?jǐn)?shù)階方程的一般形式，利用帶位移的Grünwald 格式，給出每個(gè)時(shí)間層上的離散格式，并分析了迭代格式的數(shù)值穩(wěn)定性。然后結(jié)合KoBol 模型下迭代矩陣的特殊結(jié)構(gòu)，構(gòu)造了預(yù)處理Krylov子空間方法進(jìn)行求解。最后，在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中對(duì)歐式看漲期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，并使用國(guó)內(nèi)上證50ETF與滬深300ETF場(chǎng)內(nèi)期權(quán)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證研究，驗(yàn)證算法有效性的同時(shí)也體現(xiàn)了KoBol 模型在真實(shí)市場(chǎng)中的有效性。

1 基于分?jǐn)?shù)階列維過(guò)程期權(quán)定價(jià)模型

對(duì)于列維過(guò)程Xt，t ≥0，其為增量獨(dú)立固定的隨機(jī)過(guò)程，且路徑依概率連續(xù)。不失一般性，假設(shè)X0≡0。Xt的對(duì)數(shù)特征函數(shù)有以下Lévy‐Khintchine表達(dá)式：

式中：m ∈R；σ ≥0；i= ?1；h(x) 為截?cái)嗪瘮?shù)。列維測(cè)度W滿(mǎn)足以下公式：

Ψ ( ξ ) 為列維過(guò)程的特征指數(shù)，列維測(cè)度W (dx ) 還可以寫(xiě)成W (dx) = w( x )dx，w( x ) 又稱(chēng)作列維密度函數(shù)。

特別地，KoBol 模型的列維密度函數(shù)為如下形式：

式中：D > 0，λ> 0，p、q∈[ ?1，1]，p+ q= 1，0<α≤2。

除了KoBol 模型外，分?jǐn)?shù)階期權(quán)定價(jià)模型還有FMLS與CGMY模型，這3類(lèi)模型都可以表示為如下的分?jǐn)?shù)階微分方程：

式中：x ∈(?∞，+ ∞)，t ∈(0，T)，0< α< 2，a 和d 是非負(fù)常數(shù)，函數(shù)b( x ) 和c( x ) 充分光滑，函數(shù)～f ( x )和～h( x )是連續(xù)的，且均為非負(fù)函數(shù)。?α?+xα與?α??xα分別為Riemann‐Liouville 左分?jǐn)?shù)階微分算子與右分?jǐn)?shù)階微分算子［22］，有如下形式：

式中：α∈(n?1，n)，n 為整數(shù)，Γ(?)表示Gamma 函數(shù)，在本文中只考慮α∈(1，2)的情況。

KoBol模型中的相關(guān)參數(shù)可以作如下表示：

相比于BS 模型中的對(duì)數(shù)正態(tài)分布，在分?jǐn)?shù)階期權(quán)模型中，可以通過(guò)調(diào)整參數(shù)的取值，使隱含分布更接近市場(chǎng)的實(shí)際分布。例如在KoBol 模型中，可以通過(guò)參數(shù)α和λ調(diào)整隱含分布的峰度，參數(shù)p調(diào)整隱含分布的偏度，這樣在一定程度上可以消除波動(dòng)率微笑對(duì)期權(quán)定價(jià)帶來(lái)的影響。

期權(quán)定價(jià)問(wèn)題是一個(gè)終值問(wèn)題，自變量x 定義在無(wú)界區(qū)域(?∞，∞)上，為了能夠使用數(shù)值方法求解該問(wèn)題，需要用合理的方法截?cái)酁閤 ∈[ L，R ]，參考文獻(xiàn)［23］。在歐式期權(quán)中，終值條件與邊值條件為

對(duì)于看漲期權(quán)有

首先對(duì)截?cái)鄥^(qū)域[ L，R ] ×[ 0，T ] 進(jìn)行網(wǎng)格劃分。 將空間層N 等分，步長(zhǎng)h =( R?L)/N，對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)為xn= L+ nh，n= 0，1，…，N；將時(shí)間層M等分，步長(zhǎng)τ = T/M，對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)為tm= mτ，m =0，1，…，M。函數(shù)V ( x，t )在對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)上取值簡(jiǎn)記為V ( xn，tm)= Vmn，其余記號(hào)類(lèi)似。

Meerschaert 與Tadjeran 證明了使用Grünwald格式離散分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程得到的迭代格式不穩(wěn)定，并提出了帶位移的Grünwald‐Letnikov格式［24］如下：

對(duì)方程(1)使用中心差分格式離散對(duì)流項(xiàng)，得到如下的半離散格式：

其中

對(duì)于半離散格式(3)，時(shí)間方向的采用加權(quán)隱式差分格式離散，第m層與第m + 1層的加權(quán)平均如下：

其中θ ∈[ 0，1 ]。 特別地，當(dāng)θ = 1時(shí)，為顯式格式

Tadjeran［25］證明了帶位移的Grünwald格式在空間層上為一階精度，又因?yàn)镃rank‐Nicolson 格式在時(shí)間層上為二階精度，那么差分格式(6)的截?cái)嗾`差為O (τ2)+ O( h )，所以該格式相容。在此基礎(chǔ)上，對(duì)式(6)的穩(wěn)定性做以下分析。

引理1 （Gerschgorin 圓盤(pán)定理）設(shè)A=［aij］∈Cn×n，令

解之得Re(λS) < 0。記Snn為矩陣S第n行的對(duì)角元，rn為該行所對(duì)應(yīng)的圓盤(pán)半徑，由式( 4) 可以得到

因?yàn)镽e(λS) < 0，所以有Snn+ rn< 0，即

2 預(yù)處理技術(shù)

在求解大規(guī)模稀疏線性方程組時(shí)，以CG、GMRES、BiCGSTAB 和CGNR 為代表的Krylov 子空間迭代法是目前廣泛使用的方法［26］，并在金融領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用［20-21］。這類(lèi)子空間迭代法的收斂速度與迭代矩陣特征值的聚集程度有關(guān)，使用預(yù)處理方法能有效改善原線性方程組系數(shù)矩陣的性質(zhì)，使得相應(yīng)迭代方法的步數(shù)和求解時(shí)間大大減少，提高計(jì)算穩(wěn)定性和計(jì)算效率。

預(yù)處理方法是指對(duì)于線性方程組Ax = b，其中A 為系數(shù)矩陣，b 為右端向量，x 為需要求解的向量，尋找一個(gè)非奇異矩陣H，然后應(yīng)用Krylov 子空間迭代法求解以下同解線性方程組：

相應(yīng)得到原算法的左預(yù)處理格式與右預(yù)處理格式，其中H稱(chēng)為預(yù)處理矩陣?？紤]到右預(yù)處理方法不會(huì)改變GMRES 算法中的殘差，在本文中使用右預(yù)處理格式。

在上節(jié)中離散得到的Crank‐Nicolson格式如下：

同時(shí)，對(duì)于KoBol模型，可以將方程(1)中的系數(shù)寫(xiě)成以下格式：

所以可以得到如下形式：

可以采用循環(huán)預(yù)處理子來(lái)加速子空間方法［27］，如Strang循環(huán)預(yù)處理子［28］與Chan循環(huán)預(yù)處理子［29］。記Tn為一個(gè)n× n 的Toeplitz 矩陣，那么Strang 循環(huán)預(yù)處理矩陣s(Tn) 是一個(gè)與Tn階數(shù)相同的Toeplitz 矩陣，其元素可由長(zhǎng)度為2n?1 的序列sk所決定。 其中

類(lèi)似地，Chan 循環(huán)預(yù)處理矩陣c(Tn)也是一個(gè)與Tn階數(shù)相同的Toeplitz 矩陣，其元素可由長(zhǎng)度為2n?1的序列sk所決定。 其中

在后面的數(shù)值實(shí)驗(yàn)中將該預(yù)處理技術(shù)應(yīng)用于GMRES、BiCGSTAB 和CGNR 算法上并比較計(jì)算效果。

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

首先對(duì)一個(gè)帶精確解的雙邊分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程來(lái)驗(yàn)證該離散格式的精度與收斂階。然后，在KoBol模型下對(duì)歐式看漲期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。

例1 考慮如下終值問(wèn)題：

其中該方程的精確解為U(x，t) = 4et?Tx2(2?x)2。

根據(jù)前文提到的離散格式對(duì)上述方程進(jìn)行差分離散，并將例1中的系數(shù)代入式(7)驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)此時(shí)Crank‐Nicolson 格式無(wú)條件穩(wěn)定。取時(shí)的數(shù)值解與真實(shí)解如圖1，并記精度誤如表1。

圖1 例1中數(shù)值解與真實(shí)解的比較(t=0)Fig. 1 Comparison of exact solution with numerical solution for Example 1 (t=0)

例2 考慮如下歐式看漲期權(quán)KoBol模型：

表1 例1中Crank?Nicolson格式計(jì)算精度E∞與收斂階Tab. 1 Numerical accuracy E∞ and conver?gence order of Crank?Nicolson scheme for Example 1

其中參數(shù)選取分別為：r= 0.05，T= 0.5，p= 0.5，q= 0.5，σ= 0.2，λ= 3，α= 1.9，K= 80，v=

例2的解曲面如圖2a。將相同的期權(quán)參數(shù)利用Black‐Scholes 公式進(jìn)行定價(jià)，將得出的期權(quán)價(jià)格與Kobol 模型下的做差比較如圖2b，其價(jià)格在一定程度上體現(xiàn)了列維分布與正態(tài)分布相比具有尖峰肥尾的特點(diǎn)。在期權(quán)交易中，將期權(quán)分為實(shí)值期權(quán)、平值期權(quán)與虛值期權(quán)，那么，尖峰意味著在平值附近其概率分布更靠近現(xiàn)價(jià)，從而在相同波動(dòng)率下其理論收益略低于Black‐Scholes 模型，所以?xún)r(jià)格也略低。而肥尾意味著在深度虛值與深度實(shí)值部分的理論收益高于正態(tài)分布的估計(jì)，其價(jià)格略高于Black‐Scholes模型的價(jià)格，這也與實(shí)驗(yàn)結(jié)果觀測(cè)一致，說(shuō)明該模型更接近于實(shí)際分布。

將Strang 和T. Chan 循環(huán)預(yù)處理子用在GMRES、BiCGSTAB、CGNR算法上并與未經(jīng)預(yù)處理的算法作比較，在計(jì)算例2 的同時(shí)，記錄每個(gè)時(shí)間層上求解線性方程組的迭代步數(shù)IT 與計(jì)算時(shí)間并取平均，其中最大迭代步數(shù)max IT= 10 000，停止準(zhǔn)則為||rk|| ||r0|| ≤1× 10?7，實(shí)驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表2。

圖2 例2歐式看漲期權(quán)在KoBol模型下的解Fig. 2 Solution for a European call option in KoBol model

表2 例2采用預(yù)處理子空間方法的計(jì)算結(jié)果對(duì)比Tab. 2 Numerical results of preconditioned subspace methods for Example 2

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，無(wú)論是迭代步數(shù)還是計(jì)算時(shí)間，使用預(yù)處理技術(shù)之后的計(jì)算效率都明顯優(yōu)于未經(jīng)預(yù)處理的算法。同時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)相同條件下預(yù)處理GMRES 算法是所有算法中計(jì)算時(shí)間最快的方法。預(yù)處理技術(shù)之所以可以降低子空間算法的迭代步數(shù)，原因在于預(yù)處理之后系數(shù)矩陣的特征值較為聚集。將例2中N= 210時(shí)，經(jīng)兩類(lèi)預(yù)處理子預(yù)處理之后的系數(shù)矩陣特征值繪制如圖3 所示。可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過(guò)預(yù)處理之后的特征值確實(shí)較為聚集。

圖3 例2經(jīng)預(yù)處理后的系數(shù)矩陣特征值分布Fig. 3 Eigenvalue of preconditioned coefficient matrix

4 基于股指期權(quán)的實(shí)證研究

通過(guò)對(duì)中國(guó)股票市場(chǎng)進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)，在國(guó)內(nèi)股票市場(chǎng)也存在尖峰肥尾的現(xiàn)象。圖4為上證50指數(shù)與滬深300指數(shù)在2019年1月至12月每日對(duì)數(shù)收益率的歸一直方圖與對(duì)應(yīng)的正態(tài)分布概率密度函數(shù)圖，可以發(fā)現(xiàn)在中國(guó)股票市場(chǎng)中，這一特點(diǎn)十分明顯。所以Black‐Scholes模型在我國(guó)市場(chǎng)中進(jìn)行定價(jià)時(shí)會(huì)有較大誤差。接下來(lái)驗(yàn)證KoBol模型可以更好地描述國(guó)內(nèi)期權(quán)市場(chǎng)。

圖4 2019年上證50指數(shù)與滬深300指數(shù)的尖峰肥尾現(xiàn)象Fig. 4 Skewed and fat tailed phenomenon of SSE 50 and CSI 300 Index in 2019

在國(guó)內(nèi)的場(chǎng)內(nèi)期權(quán)交易市場(chǎng)中，交易最為活躍、成交量最大的是當(dāng)月合約，其買(mǎi)賣(mài)價(jià)差也更為接近，所以考慮上交所2020年1月3日收盤(pán)時(shí)，1月22 日到期的上證50ETF 與滬深300ETF 場(chǎng)內(nèi)期權(quán)收盤(pán)數(shù)據(jù)。在實(shí)際交易中，市場(chǎng)上更多地采用Black‐Scholes模型進(jìn)行定價(jià)，將比較KoBol模型及Black‐Scholes 模型的定價(jià)與市場(chǎng)價(jià)格之間的差距。對(duì)KoBol 與Black‐Scholes（BS）模型選取的參數(shù)如表3，標(biāo)的現(xiàn)價(jià)S0與時(shí)間T均為市場(chǎng)收盤(pán)數(shù)據(jù)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率r為1年期國(guó)債收益率。采用過(guò)去180 d的年化歷史波動(dòng)率作為定價(jià)模型中的波動(dòng)率，年化天數(shù)為252 d，經(jīng)計(jì)算得50ETF為σ= 16.74%，300ETF為σ= 17.29%。

表3 KoBol模型與Black?Scholes模型參數(shù)選取Tab. 3 Parameter selection for Kobol model and BS model

對(duì)于Black‐Scholes模型直接利用歐式期權(quán)的解析解進(jìn)行定價(jià)。用VM表示市場(chǎng)實(shí)際價(jià)格，用均方誤差E1、相對(duì)誤差E2與最大誤差E∞來(lái)衡量誤差大小，分別有如下形式：

兩種模型的定價(jià)結(jié)果如表4與表5，與市場(chǎng)價(jià)格作差取絕對(duì)值之后的結(jié)果見(jiàn)表6 與表7?？梢钥闯鯧oBol模型下的誤差相比Black‐Scholes 模型都要更小，說(shuō)明KoBol模型下的價(jià)格更接近市場(chǎng)價(jià)格。

因場(chǎng)內(nèi)交易為競(jìng)價(jià)交易，考慮到實(shí)值期權(quán)在臨近到期日時(shí)行權(quán)風(fēng)險(xiǎn)上升，所以其買(mǎi)賣(mài)價(jià)差較大且成交量有限，市場(chǎng)作用接近于期貨，此時(shí)其成交價(jià)格并不能精確體現(xiàn)期權(quán)實(shí)際價(jià)格，而虛值期權(quán)相對(duì)來(lái)說(shuō)買(mǎi)賣(mài)價(jià)差更小，且不存在套利空間，所以其價(jià)格能較好地反映期權(quán)的實(shí)際價(jià)格。因此考慮計(jì)算虛值期權(quán)的3種誤差，得到結(jié)果如表8至表10，可以看出，與Black‐Scholes模型相比，KoBol模型的定價(jià)更貼近市場(chǎng)實(shí)際價(jià)格。

在前文提到了Black‐Scholes模型不能完美地描述實(shí)際市場(chǎng)，主要是因?yàn)锽lack‐Scholes 模型假設(shè)在市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)中性下標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益分布服從正態(tài)分布，即隱含收益分布與市場(chǎng)不符。這樣的不足之處導(dǎo)致了有波動(dòng)率微笑的存在，所以在利用Black‐Scholes模型進(jìn)行場(chǎng)外期權(quán)定價(jià)時(shí)，需要根據(jù)期權(quán)的期限與行權(quán)價(jià)來(lái)調(diào)整波動(dòng)率，從而會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的誤差，如果能夠?qū)⒉煌袡?quán)價(jià)期權(quán)的隱含波動(dòng)率控制在更小的范圍甚至接近一致，那么對(duì)于期權(quán)的定價(jià)則具有重要意義。

表4 50ETF場(chǎng)內(nèi)期權(quán)兩種模型定價(jià)Fig. 4 Option prices of 50ETF in two models

表5 300ETF場(chǎng)內(nèi)期權(quán)兩種模型定價(jià)Tab. 5 Option prices of 300ETF in two models

表6 50ETF場(chǎng)內(nèi)期權(quán)兩種模型與市場(chǎng)價(jià)格比較Tab. 6 Comparisons of two models with market price of 50ETF options

接下來(lái)反演計(jì)算隱含波動(dòng)率微笑曲線，KoBol模型和Black‐Scholes 模型的參數(shù)選取依然如表3，考慮到波動(dòng)率與期權(quán)價(jià)格的單調(diào)關(guān)系以及期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值，利用二分法反推虛值期權(quán)的隱含波動(dòng)率。選取虛值期權(quán)，即行權(quán)價(jià)高于標(biāo)的價(jià)格的看漲期權(quán)與行權(quán)價(jià)低于標(biāo)的價(jià)格的看跌期權(quán)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算后，KoBol 模型和Black‐Scholes 模型下不同行權(quán)價(jià)對(duì)應(yīng)的虛值期權(quán)隱含波動(dòng)率曲線即為圖5，橫軸為虛值期權(quán)行權(quán)價(jià)，縱軸為期權(quán)的隱含波動(dòng)率。表11給出了虛值期權(quán)在KoBol模型和Black‐Scholes模型下隱含波動(dòng)率的具體數(shù)據(jù)。

表7 300ETF場(chǎng)內(nèi)期權(quán)兩種模型與市場(chǎng)價(jià)格比較Tab. 7 Comparisons of two models with market price of 300ETF options

表8 50ETF與300ETF虛值期權(quán)的均方誤差E1Tab. 8 Error E1 of 50ETF and 300ETF OTM options

表9 50ETF與300ETF虛值期權(quán)的相對(duì)誤差E2Tab. 9 Error E2 of 50ETF and 300ETF OTM options

表10 50ETF與300ETF虛值期權(quán)的最大誤差E∞Tab. 10 Error E3 of 50ETF and 300ETF OTM options

可以從圖5 看出，無(wú)論是50ETF 還是300ETF，場(chǎng)內(nèi)虛值期權(quán)的隱含波動(dòng)率在KoBol模型下被控制在了一個(gè)更小的范圍內(nèi)，且波動(dòng)率曲線更為平穩(wěn)。由表11 也可以看出，KoBol 模型下的隱含波動(dòng)率標(biāo)準(zhǔn)差更小。這都說(shuō)明了KoBol模型在此參數(shù)下更好地描述了該時(shí)刻標(biāo)的資產(chǎn)的隱含收益分布。

表11 2020年1月3日股指期權(quán)隱含波動(dòng)率Tab. 11 Implied volatility data of index options on 2020/1/3

圖5 2020年1月3日股指期權(quán)隱含波動(dòng)率圖Fig. 5 Implied volatility of index options on 2020/1/3

5 結(jié)語(yǔ)

本文利用帶位移的Grünwald 差分格式對(duì)一類(lèi)基于列維過(guò)程的分?jǐn)?shù)階期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行了離散，分析了數(shù)值格式的穩(wěn)定性條件，采用預(yù)處理Krylov子空間方法求解對(duì)應(yīng)的線性代數(shù)方程組，數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了模型與算法的有效性。同時(shí)，針對(duì)國(guó)內(nèi)股指期權(quán)的實(shí)際交易數(shù)據(jù)，利用KoBol 分?jǐn)?shù)階模型對(duì)股指期權(quán)進(jìn)行定價(jià)并反演計(jì)算波動(dòng)率微笑曲線，通過(guò)實(shí)證分析說(shuō)明該模型比Black‐Scholes模型有更好的效果。