李克文 李 萍

（中國(guó)石油大學(xué)計(jì)算機(jī)與通信工程學(xué)院 青島 266580）

1 引言

長(zhǎng)期以來(lái)，許多學(xué)者對(duì)預(yù)測(cè)理論進(jìn)行了廣泛深入的研究，并提出一系列預(yù)測(cè)方法，如時(shí)間序列法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、支持向量機(jī)法、灰色預(yù)測(cè)法等［1～2］，這些方法大多采用單變量建模和預(yù)測(cè)，不能充分考慮變量之間作為整體存在時(shí)的相互影響［3］，且在預(yù)測(cè)過(guò)程中需要大量可靠地預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)作為支撐。隨著研究的深入，一些學(xué)者提出多變量灰度預(yù)測(cè)模型，也稱為GM（1，N）模型，灰色預(yù)測(cè)模型是灰色系統(tǒng)理論中最重要的組成部分之一，通過(guò)對(duì)“部分”已知信息的分析，提取有價(jià)值的信息，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)據(jù)變化規(guī)律的正確描述和有效預(yù)測(cè)［4］。

對(duì)灰度預(yù)測(cè)模型的改進(jìn)研究一直是近年的熱點(diǎn)［5～6］：通過(guò)改進(jìn)初始條件或利用智能算法獲取更為合適的背景值［7～8］，從而獲取更為準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)效果。GM（1，N）模型的結(jié)構(gòu)比單變量灰色預(yù)測(cè)模型復(fù)雜，建模過(guò)程充分考慮了相關(guān)因素對(duì)系統(tǒng)變化的影響［9～10］，但GM（1，N）模型存在建模機(jī)制和模型結(jié)構(gòu)上存在不足，因此在實(shí)際應(yīng)用中常常導(dǎo)致模型誤差大于GM（1，1）模型。為了提高GM（1，N）模型的仿真和預(yù)測(cè)性能，Tien 優(yōu)化了傳統(tǒng)GM（1，N）模型的結(jié)構(gòu)，在該領(lǐng)域發(fā)揮了重要作用［11］；Wang等通過(guò)引入控制參數(shù)和插值系數(shù)，提出了一種基于卷積積分的GMC（1，N）優(yōu)化模型［12］；Zeng等提出了一種新的OGM（1，N）模型，解決了傳統(tǒng)GM（1，N）模型的建模機(jī)理、參數(shù)估計(jì)和模型結(jié)構(gòu)的缺陷問(wèn)題［13］。本文在OGM（1，N）基礎(chǔ)上，以模型還原值和實(shí)際值的誤差平方和最小化為目標(biāo)，提出一種基于灰色關(guān)聯(lián)分析和PSO算法的多元變量灰度預(yù)測(cè)模型，通過(guò)灰色關(guān)聯(lián)度計(jì)算獲取與參考序列變化密切相關(guān)的自變量序列，基于PSO 算法改進(jìn)模型初始條件，在N = 1 和N ＞1 兩種情況下分別對(duì)模型進(jìn)行建模預(yù)測(cè)和發(fā)展系數(shù)求解優(yōu)化，降低模型范圍，從而提高了改進(jìn)模型的預(yù)測(cè)精度和適用范圍。

2 OGM（1，N）模型建模原理

通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，GM（1，N）模型存在一些嚴(yán)重的缺陷［13］：1）作為一個(gè)有N個(gè)變量和一個(gè)一階方程的灰色預(yù)測(cè)模型，當(dāng)N =1 時(shí)，現(xiàn)有的GM（1，N）模型不能轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的GM（1，1）模型，這說(shuō)明GM（1，N）模型的結(jié)構(gòu)存在一定的缺陷；2）GM（1，N）模型的最終時(shí)間響應(yīng)表達(dá)式是通過(guò)一個(gè)理想的簡(jiǎn)化過(guò)程得到的，這可能會(huì)導(dǎo)致GM（1，N）模型的不穩(wěn)定性；3）參數(shù)估計(jì)與參數(shù)應(yīng)用的錯(cuò)位是傳統(tǒng)GM（1，N）模型的第三個(gè)缺陷。針對(duì)GM（1，N）模型現(xiàn)有的建模機(jī)理、參數(shù)估計(jì)和模型結(jié)構(gòu)三個(gè)方面的嚴(yán)重缺陷，Zeng 等引入線性修正項(xiàng)h1（k-1）和灰色作用量項(xiàng)h2，提出了一種新的灰色優(yōu)化模型OGM（1，N）［13］，解決了傳統(tǒng)GM（1，N）模型的三個(gè)缺陷，其建模過(guò)程如下：

其中i=1，2，…，n，k=1，2，…，p。

2）由Xi（1）生成緊鄰均值序列Z（1）＝｛z1（1）（k）｝（k=1，2，3，…，p）。

其中，背景值λ 默認(rèn)為0.5。假定X（1）具有近似指數(shù)變化規(guī)律，數(shù)列X2（1），X3（1），…，Xn（1）對(duì)X1（1）的變化率產(chǎn)生影響，則Xi（1）序列滿足下述的一階線性微分方程：

這個(gè)微分方程模型記為GM（1，N），將上式離散化，并引入線性修正項(xiàng)h1（k-1）和灰色作用量項(xiàng)h2，得到OGM（1，N）灰微分方程如下：

記式（4）的離散形式如下：

其中，k=2，3，…，p，a 為系統(tǒng)的發(fā)展系數(shù)，bi為驅(qū)動(dòng)系數(shù)，線性校正項(xiàng)h1（k-1）反映了因變量和獨(dú)立變量之間的線性關(guān)系；灰色作用量項(xiàng)h2表示因變量序列中的數(shù)據(jù)變化關(guān)系。要求解此微分方程，須先確定參數(shù)a、bi、h1、h2。

3）利用最小二乘法求得參數(shù)a、bi、h1、h2的值：

其中：

4）將a、bi、h1、h2的值帶入式（5）解微分方程，得其離散解為

其中：

5）對(duì)式（7）做一次累減還原運(yùn)算，得到原始序列X1（0）的灰色預(yù)測(cè)值：

3 基于灰色關(guān)聯(lián)分析和PSO 對(duì)OGM（1，N）模型的改進(jìn)

本文在OGM（1，N）模型的基礎(chǔ)上，通過(guò)灰色關(guān)聯(lián)分析法評(píng)估各個(gè)因素與預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)程度，從而挖掘出對(duì)預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)影響較大的因素組成自變量序列，作為灰度預(yù)測(cè)模型的輸入，另外，針對(duì)OGM（1，N）建模過(guò)程中的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，利用PSO 算法分別在N=1和N ＞1兩種情況下對(duì)模型中a、bi、h1、h2值進(jìn)行求解優(yōu)化，避免直接定義背景值λ=0.5，再對(duì)a，b 值進(jìn)行求解產(chǎn)生的雙重誤差，使模型誤差最小化。

3.1 基于灰色關(guān)聯(lián)分析的選擇

作為比較數(shù)據(jù)序列，是影響系統(tǒng)行為的因素。

2）確定每個(gè)數(shù)據(jù)序列中的最大值和最小值，針對(duì)參考數(shù)列和比較數(shù)列進(jìn)行無(wú)量綱化處理：

3）計(jì)算比較數(shù)列xi和參考數(shù)列x1在第k個(gè)指標(biāo)上的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)：

4）計(jì)算灰色關(guān)聯(lián)度γi：

設(shè)置關(guān)聯(lián)度閾值γ0=0.6，提取｛γi|γi＞γ0｝的特征屬性集組成新的自變量數(shù)據(jù)序列Xi'（0）=｛xi'（0）（1），xi'（0）（2），…，xi'（0）（p'）｝，i=1，2，…，n，為方便后續(xù)表達(dá)，將Xi（'0）記為新的X（i0）。

3.2 基于粒子群算法對(duì)OGM（1，N）模型的改進(jìn)

根據(jù)變量參數(shù)N 的大小，采用粒子群算法對(duì)具體參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解，最小化模型誤差。POGM（1，N）建模過(guò)程如下：

2）I.當(dāng)N = 1 時(shí)，令h1=0，將OGM（1，N）模型轉(zhuǎn)換為GM（1，1）模型：

由G（k+1）-G（k）可得：

又根據(jù)GM（1，1）模型原理可得：

聯(lián)立式（16）、（19）可得，

（1）初始化一個(gè)規(guī)模為m（m ≥4）的粒子群，設(shè)定初始位置向量ai=（ai1，ai2，ai3，…，aim），h2i=（h2i1，h2i2，h2i3，…，h2im）和初始速度向量Vi=（vi1，vi2，vi3，…，vim），因?yàn)樵趯?shí)際運(yùn)用過(guò)程中a 的取值不會(huì)超過(guò)0.5［15］，所以：

（2）將a，h2的值代入式（18），求得：

II.當(dāng)N ＞1時(shí)，OGM（1，N）模型如下所示：

（1）初始化一個(gè)規(guī)模為m 的粒子群，設(shè)定初始位置向量λi=（λi1，λi2，λi3，…，λim）和初始速度向量Vi=（vi1，vi2，vi3，…，vim），每當(dāng)給定一組li，PSO 調(diào)用OGM（1，N）模型文件即可獲得一組對(duì)應(yīng)參數(shù)解：［b2，b3，…，bn，a，h1，h2］i，根據(jù)實(shí)際運(yùn)用過(guò)程［15］，參數(shù)解須滿足以下條件：

（2）將a，bi，h1，h2的值代入式（7）、（8）、（9），求得

3）計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)度值，取適應(yīng)度函數(shù)為

4）比較每個(gè)粒子的適應(yīng)值fmin和其經(jīng)歷過(guò)的個(gè)體 最 優(yōu) 位 置pbest 的 適 應(yīng) 值fpbest，若fmin＜fpbest則 更 新fpbest=fmin；

5）比較每個(gè)粒子的適應(yīng)值fmin與其經(jīng)歷過(guò)的全局最優(yōu)位置gbest 的適應(yīng)值fgbest，若fmin＜fgbest則更新fgbest=fmin；

6）在找到這兩個(gè)極值后，根據(jù)粒子的速度、位置進(jìn)化方程來(lái)更新粒子；

7）如果滿足終止條件，則輸出解，否則返回3）繼續(xù)循環(huán)查找。

4 改進(jìn)的灰色模型在數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

本文基于文獻(xiàn)［13］中的抗拉強(qiáng)度數(shù)據(jù)集和文獻(xiàn)［3］中的基坑監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)集進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析，具體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1、表2所示。在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，取ρ=0.05，根據(jù)3.1 節(jié)中的灰色關(guān)聯(lián)分析法分別對(duì)表1、表2 數(shù)據(jù)集的三組數(shù)據(jù)序列進(jìn)行灰色關(guān)聯(lián)度計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如表3 所示，γ12，γ13均大于0.7（最常用的臨界值為0.6），說(shuō)明三組數(shù)據(jù)序列之間相互關(guān)聯(lián)，兩個(gè)數(shù)據(jù)集均可以作為預(yù)測(cè)模型的輸入。

表1 抗拉強(qiáng)度數(shù)據(jù)集

表2 基坑監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)集

表3 基坑監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)

為了全面驗(yàn)證POGM（1，N）模型效果的有效性，本文在Matlab 平臺(tái)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，分別將表1、表2 數(shù)據(jù)集的前六個(gè)序列根據(jù)3.2 節(jié)中基于PSO 優(yōu)化的OGM（1，N）模型（簡(jiǎn)稱為POGM（1，N）模型）、GM（1，1）模型、GM（1，N）模型和OGM（1，N）模型進(jìn)行建模，預(yù)測(cè)下一個(gè)序列，同時(shí)刪除第一個(gè)序列，增加最新數(shù)據(jù)序列作為輸入，繼續(xù)向后進(jìn)行預(yù)測(cè)，并且采用平均絕對(duì)誤差、均方誤差、平均百分比誤差作為預(yù)測(cè)結(jié)果評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算過(guò)程如式（10）～（12）所示［16］，預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比圖如圖1、圖2所示。

圖1 各模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比圖

圖2 各模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比圖

表4 各模型性能對(duì)比

從圖1 可以發(fā)現(xiàn)，在抗拉強(qiáng)度數(shù)據(jù)集上，GM（1，N）模型預(yù)測(cè)過(guò)程出現(xiàn)較大偏差，GM（1，1）模型除個(gè)別點(diǎn)出現(xiàn)較大偏離外，絕大多數(shù)點(diǎn)誤差相對(duì)較小，但GM（1，1）模型沒(méi)有準(zhǔn)確反映出真實(shí)數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，POGM（1，N）模型和OGM（1，N）模型充分考慮了數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的變化趨勢(shì)，預(yù)測(cè)結(jié)果相對(duì)穩(wěn)定。從圖2 可以發(fā)現(xiàn)，在基坑監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)集上，傳統(tǒng)GM（1，1）模型和GM（1，N）模型的預(yù)測(cè)結(jié)果相對(duì)穩(wěn)定但是誤差較大，POGM（1，N）模型和OGM（1，N）模型預(yù)測(cè)結(jié)果更接近于真實(shí)值，絕大多數(shù)點(diǎn)相對(duì)誤差較小，預(yù)測(cè)結(jié)果更為穩(wěn)定。另外，通過(guò)表4 中各個(gè)模型在表1、表2 數(shù)據(jù)集上的預(yù)測(cè)指標(biāo)對(duì)比可以看出，本文所提方法在MAE、MSE 和MAPE 三大指標(biāo)下的性能相對(duì)于GM（1，1）模型、GM（1，N）模型有了較大提升，和OGM（1，N）模型相比，在MAE、MSE 和MAPE 指標(biāo)上分別下降了0.0464，0.0188，0.6828%和0.3356，0.6765，2.2411%。這說(shuō)明，本文所提出的POGM（1，N）模型能獲得比其他方法更好的預(yù)測(cè)效果，POGM（1，N）模型預(yù)測(cè)精度高，更能反映數(shù)據(jù)的真實(shí)變化趨勢(shì)。

5 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種基于粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)求解的GM（1，N）優(yōu)化模型，該模型采用灰色關(guān)聯(lián)分析法計(jì)算提取與參考序列關(guān)聯(lián)度值較高的序列，組成模型的自變量輸入序列，并在OGM（1，N）模型的預(yù)測(cè)原理上優(yōu)化模型初始條件，根據(jù)PSO 算法進(jìn)行多元變量灰度模型的參數(shù)尋優(yōu)和預(yù)測(cè)建模，借鑒滑動(dòng)窗口的思想，依次向后進(jìn)行序列預(yù)測(cè)，有效提高了改進(jìn)模型的適用范圍。通過(guò)在基坑監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)集和抗拉強(qiáng)度數(shù)據(jù)集上的實(shí)驗(yàn)，證明了改進(jìn)模型具有較高的預(yù)測(cè)精度。