朱仕堯，郭 欣，雷勇軍

(國防科技大學 空天科學學院， 湖南 長沙 410073)

太陽帆板驅動系統(tǒng)(Solar Array Drive System，SADS)一般由太陽帆板及其驅動裝置(Solar Array Drive Assembly，SADA)組成。SADA內(nèi)部激擾因素會產(chǎn)生附加的擾動力矩，造成太陽帆板運動不平穩(wěn)，引起結構振動擾動；而太陽帆板結構振動又會反過來影響太陽帆板運行平穩(wěn)性和擾動力矩幅值，降低高精度航天器指向精度、成像質量或通信頻率等性能指標[1]。開展驅動系統(tǒng)擾振特性分析和有效抑制擾動力矩都需要首先準確分析驅動系統(tǒng)動力學特性。

太陽帆板驅動系統(tǒng)包括太陽帆板轉動引入的剛柔耦合效應、SADA閉環(huán)伺服驅動控制以及SADA和太陽帆板之間的動力耦合等多種耦合因素[2]，這些因素會對其系統(tǒng)動力學特性產(chǎn)生影響，增加系統(tǒng)動力學特性的分析難度。在早期研究中，SADA往往被考慮為剛性體，不考慮SADA與太陽帆板的動力耦合，驅動系統(tǒng)動力學特性僅表現(xiàn)為太陽帆板結構模態(tài)特征，可以采用集中參數(shù)模型[3]、模態(tài)坐標模型[4]、懸臂歐拉梁模型[5]、固支-自由-自由-自由邊界的基爾霍夫板模型[6]以及有限元模型[7-8]等表征。隨著SADA研究不斷深入，研究人員開始關注SADA自身的剛度和阻尼特征。這些研究往往采用剛性附件代替柔性太陽帆板。Low[9]、Yang[10]和Middleton[11]等主要研究了由步進電機內(nèi)部機電耦合引起的電磁剛度和阻尼特性。Cabilic[12]和Wood[13]等證明了SADA內(nèi)部滑環(huán)結構的摩擦會引入額外的阻尼。Lu等[14]研究了驅動系統(tǒng)減速裝置齒輪咬合間隙對擾動特性的影響。近些年，研究人員開始探索在系統(tǒng)動力學分析中綜合考慮SADA和太陽帆板的結構特性。Sattar[15]、Chen[16]和Li[17]等研究了帶有柔性負載的驅動系統(tǒng)擾動特性問題，其中采用集中參數(shù)模型模擬柔性負載，對步進電機進行線性化處理，獲得其等效電磁剛度。Zhu等[2, 18]在理想控制假設和穩(wěn)態(tài)運動假設下，推導了SADA的等效剛度和等效阻尼，并提出了一種驅動系統(tǒng)動特性分析方法。以上研究往往將驅動系統(tǒng)限定在低轉速模式，對驅動控制進行理想化假設，以簡化問題難度。Zhou等[19]利用輸入成形器對驅動控制指令進行預處理，以減少快速驅動后的殘余振動擾動，但未對快速捕獲或轉角歸零等高轉速模式下的驅動系統(tǒng)動力學特性進行討論。

針對上述問題，本文摒棄驅動控制理想化假設，重點推導考慮驅動控制因素的SADA等效力學特性參數(shù)，構建SADS動力學特性等效分析模型，通過仿真和試驗驗證模型正確性，并研究不同轉速條件下驅動控制增益對SADS動力學特性的影響規(guī)律，對工程型號改進設計、擾振特性分析以及振動控制研究具有重要參考價值。

1 驅動系統(tǒng)動力學特性等效分析模型

1.1 驅動系統(tǒng)動力學模型

SADS坐標系定義如圖1所示，其中OXYZ為慣性坐標系，oxyz為太陽帆板隨體坐標系。航天器本體的質量和頻率特性均明顯大于SADS，可將其簡化為固定約束的剛性體。根據(jù)SADS工作流程(如圖2所示)可知，系統(tǒng)動力學模型可由驅動控制、驅動裝置和太陽帆板等子模型組成。

圖1 太陽帆板驅動系統(tǒng)組成Fig.1 System composition of SADS

圖2 驅動系統(tǒng)工作流程Fig.2 Typical workflow of SADS

1.1.1 驅動控制

SADA一般采用步進電機作為驅動執(zhí)行部件。由于其每個輸入脈沖所對應的轉角是定值，因此脈沖信號的頻率與驅動速度成正比，可以通過開環(huán)控制實現(xiàn)驅動速度控制。為避免步進驅動引起較大幅度的力矩波動，電流細分器對步進電機參考電流進行微步階躍形式的三角函數(shù)細分。如圖3所示，隨著電流細分數(shù)的增加，參考電流細分階躍幅度逐漸減小。

圖3 電流細分數(shù)對參考電流的影響Fig.3 Relationship between current fraction and reference current

(1)

在參考電流細分基礎上，電流控制器通過步進電機繞組電流與參考電流之間的偏差反饋調整驅動電壓(以下簡稱為電流環(huán))，使繞組電流跟隨參考電流變化，從而保證驅動速度與實際轉速趨于一致。根據(jù)電機的電壓平衡方程可以得到實際電流ij的表達式：

(2)

式中：R和L分別為繞組阻抗和電感系數(shù)；Km為電磁力矩系數(shù)；ωm和θm分別為電機轉子轉速和轉角。設定電流控制器采用PI控制律調整驅動電壓uj：

(3)

式中：KP和KI分別為比例和積分控制增益。

1.1.2 驅動裝置

含有減速裝置的SADA力矩平衡方程[20]為：

(4)

式中：Tl為驅動力矩；Jm為轉子轉動慣量；ρg為減速裝置傳遞效率；電磁力矩Te和摩擦力矩Tf分別表示為

(5)

Tf=σ0ωl-[Tc+(Ts-Tc)e-(ωl/ωs)]sgn(ωl)

(6)

其中：σ0為黏性摩擦系數(shù)；Tc和Ts分別為庫倫摩擦力矩和最大靜摩擦力矩；ωs為臨界Strebeck轉速。

含有減速裝置的SADA運動方程為：

(7)

其中：ωl和θl分別為太陽帆板轉速和轉角。

1.1.3 太陽帆板

根據(jù)虛功原理，當不考慮高階小量時，可以建立考慮太陽帆板剛體轉動、柔性振動以及兩者耦合的柔性太陽帆板結構動力學模型[2]：

(8)

式中：Hl為模態(tài)角動量矩陣H第一行向量；Jl為轉動慣性矩陣J第一個對角元；η為太陽帆板模態(tài)坐標；D和Λ分別為模態(tài)阻尼矩陣和特征值矩陣。 將式(4)代入式(8)，并結合式(1)～(3)得SADS動力學模型。

1.2 步進電機繞組電流表達式

穩(wěn)態(tài)太陽帆板驅動系統(tǒng)運動具有如下特點：

(9)

此時電機實際轉速和平均驅動速度之間的誤差很小，即電機轉動的運動規(guī)律滿足如下關系：

(10)

將式(10)代入式(2)，可近似得到：

(11)

再將式(11)代入式(3)，可整理得到：

(12)

如圖4所示，充分細分后的穩(wěn)態(tài)繞組電流可以近似為與參考電流同頻振蕩、但幅值和相位不同的三角函數(shù)，因此第j相繞組電流為：

(13)

式中,γc和φc分別為繞組電流相對參考電流的幅值比和延遲相位，其與參數(shù)P和Q的關系式為：

(14)

圖4 繞組電流和參考電流時間歷程曲線Fig.4 Time history curves of winding and reference current

(15)

式(15)只有在正弦項和余弦項系數(shù)同時為0的情況下才能成立，可以列寫代數(shù)方程組并求解得到：

(16)

進一步將式(16)代入式(14)，可以得到驅動控制增益、繞組特性以及轉速等參數(shù)與繞組電流幅值和相位的關系。

1.3 驅動裝置等效力學特性

以兩相混合式步進電機為例，將式(13)代入式(5)可得電磁力矩為：

(17)

因此式(4)中的驅動力矩可整理為：

σ0ωl-[Tc+(Ts-Tc)e-(ωl/ωs)]sgn(ωl)

(18)

(19)

式中：轉速ωl系數(shù)的絕對值σ0為考慮驅動控制后的SADA等效阻尼；轉角θl系數(shù)的絕對值K′d為SADA等效剛度，具體表達式為

(20)

由于0

1.4 動力學特性等效分析模型

將式(19)代入式(8)，可得SADS動力學特性等效分析模型：

(21)

圖5 驅動系統(tǒng)動力學特性等效模型Fig.5 Dynamic-characteristics equivalent model of SADS

2 動力學特性分析模型正確性驗證

2.1 仿真驗證

圖6給出了分別采用參數(shù)辨識方法、考慮驅動控制的等效模型和基于理想驅動控制假設的等效模型得到的驅動系統(tǒng)一階扭轉模態(tài)固有頻率和模態(tài)阻尼比隨驅動速度的變化曲線。由圖可知：①在驅動速度趨近0.063 5 (°)/s且控制增益為700時，三者計算得到的驅動系統(tǒng)動力學特性參數(shù)吻合較好。②隨著驅動速度逐漸增大，參數(shù)辨識結果與考慮驅動控制的等效模型所得動特性變化規(guī)律一致，固有頻率均隨驅動速度增大而逐漸減小，模態(tài)阻尼比隨驅動速度增大而逐漸增大；且控制增益越小，模態(tài)參數(shù)變化幅度越大。然而，基于理想驅動控制假設的等效模型所得系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)均不隨轉速和控制增益變化，其與參數(shù)辨識的相對誤差隨驅動速度增大和控制增益減小而增大。③在驅動速度趨近0.635 (°)/s時，參數(shù)辨識和考慮驅動控制的等效模型所得固有頻率的相對誤差為-2.32%，阻尼比相對誤差為-1.88%；而基于理想驅動控制假設的等效模型所得固有頻率和阻尼比與參數(shù)辨識方法的相對誤差分別可達4.71%和-57.11%。以上分析說明：基于理想驅動控制假設的等效模型在驅動速度增大后出現(xiàn)應用局限性，而考慮驅動控制的等效模型可以適應驅動速度和控制增益的變化。

(a) 一階固有頻率(a) 1st natural frequency

(b) 一階模態(tài)阻尼比(b) 1st model damping ratio圖6 系統(tǒng)動力學特性參數(shù)與轉速關系曲線Fig.6 Relationship curve between dynamic characteristic of SADS and rotational speed

2.2 試驗驗證

試驗件為驅動裝置和太陽帆板模擬件構成的驅動系統(tǒng)(如圖7所示)。驅動裝置為低軌直接型SADA；太陽帆板由兩塊鋁合金薄板組成，用于模擬太陽帆板在驅動方向的質量和剛度特征，滿足轉動慣量等效和結構基頻等效原則。為抵消模擬件對驅動裝置軸承的壓力，在驅動系統(tǒng)的轉動軸線方向配備龍門吊和吊裝組件以卸載重力。

測試系統(tǒng)由Kistler六自由度測力平臺、Polytec激光測振儀、信號放大器、數(shù)據(jù)采集器、計算機和SADA外置驅動器以及動力學試驗分析軟件等組成，如圖7所示。測力平臺通過螺栓與SADA轉接工裝固定連接，用于測量驅動系統(tǒng)的擾動力矩分量。激光測振儀測量驅動裝置轉速，激光測點布置在太陽帆板剛性轉接工裝上。測量結果分別經(jīng)過信號放大器和測振儀后置端進行處理，并通過數(shù)據(jù)采集器傳遞給計算機。SADA外置驅動器用于產(chǎn)生脈沖信號控制太陽帆板轉動。

圖7 驅動系統(tǒng)擾動特性測試系統(tǒng)Fig.7 Disturbance-characteristics test system of SADS

在驅動系統(tǒng)勻速驅動后增加停止指令，記錄驅動系統(tǒng)在停止段的殘余振動響應，并對該段自由振動數(shù)據(jù)(如圖8所示)進行傅里葉變換得到頻譜分布特征。擾動力矩衰減曲線表現(xiàn)為單頻震蕩特點，幅度隨時間增加而逐漸減??；在頻譜曲線低頻段存在明顯峰值，所對應頻率0.656 Hz即為驅動系統(tǒng)基頻。參考試驗狀態(tài)建立太陽帆板模擬件與驅動裝置等效剛度和阻尼模型。根據(jù)文獻[2]參數(shù)確定驅動裝置等效剛度為680 N·m/rad，等效阻尼為60 N·m·s/rad。通過模態(tài)分析得到其在固定支撐邊界條件下的動力學特性，其中一階模態(tài)振型同為圍繞驅動方向的一階扭轉振動，對應基頻為0.610 Hz，與試驗結果相對誤差為-7.01%。

(a) 時間歷程(a) Time history

(b) 頻譜分布(b) Frequency spectrum圖8 驅動系統(tǒng)停止段擾動力矩Fig.8 Disturbance torque in the stop phase of SADS

3 驅動控制對系統(tǒng)動力學特性的影響分析

3.1 驅動速度和比例增益對系統(tǒng)動力學特性影響

圖9給出了不同驅動速度下SADS各階扭轉模態(tài)固有頻率隨比例增益的變化曲線。由圖可知：①驅動速度大于4倍0.063 5 (°)/s時，前兩階固有頻率先隨比例增益顯著增大而后逐漸趨于穩(wěn)定，最小的固有頻率取值位于最小的比例增益位置并隨驅動速度減小而增大，且固有頻率趨于平穩(wěn)時的臨界比例增益取值隨模態(tài)階數(shù)增大而增大；第三階固有頻率在所見區(qū)域內(nèi)始終與比例增益成正相關關系，未出現(xiàn)穩(wěn)定階段。②驅動速度小于4倍0.063 5 (°)/s時，固有頻率均隨比例增益先微幅減小而后趨于穩(wěn)定。以上分析說明：驅動系統(tǒng)固有頻率僅在驅動速度較大且比例增益較小時才會變化；當比例增益增大后，固有頻率不隨驅動速度和比例增益而改變。

圖10給出了不同驅動速度下SADS各階扭轉模態(tài)阻尼比隨比例增益的變化曲線。由圖可知：①驅動速度大于4倍0.063 5 (°)/s時，前兩階模態(tài)阻尼比隨比例增益增大而顯著減小，隨后保持穩(wěn)定；在驅動速度小于4倍0.063 5 (°)/s時，模態(tài)阻尼比先小幅增大而后趨于平穩(wěn)，且穩(wěn)定值按模態(tài)階次順序逐漸增大。②第三階模態(tài)阻尼比的變化趨勢與前兩階相反，其在驅動速度大于4倍0.063 5 (°)/s時，隨比例增益增大而增大；在驅動速度小于4倍0.063 5 (°)/s時，第三階模態(tài)阻尼比先小幅減小然后趨于穩(wěn)定；模態(tài)阻尼比最小值對應比例增益的最小值，并隨驅動速度增大而減小。以上分析說明：各階模態(tài)阻尼比的變化趨勢并不相同，但是都會在比例增益較小且驅動速度較大時發(fā)生變化，在比例增益大于特定值后趨于穩(wěn)定。

3.2 驅動速度和積分增益對系統(tǒng)動力學特性影響

圖11為不同驅動速度下SADS各階扭轉模態(tài)固有頻率隨積分增益的變化曲線。由圖可知：①當驅動速度較小時，固有頻率逐漸增大并最終達到穩(wěn)定取值；②隨著驅動速度的增大，固有頻率增大速度在逐漸減小，特別是當驅動速度大于5.5倍0.063 5 (°)/s后，固有頻率在所研究范圍內(nèi)始終隨積分增益增大，而未趨于穩(wěn)定。

圖12為不同驅動速度下SADS各階扭轉模態(tài)阻尼比隨積分增益的變化曲線。由圖可知：①前兩階模態(tài)阻尼比均隨積分增益增大而減小，且減小速率隨驅動速度增大而逐漸減??；同階模態(tài)阻尼比最大值均對應積分增益最小值；驅動速度增大會使模態(tài)阻尼比最小值不斷增大。②第三階模態(tài)阻尼比隨著積分增益的增大而增大；在最小驅動速度工況下，其首先隨積分增益顯著增大，然后趨于穩(wěn)定；隨驅動速度增大，模態(tài)阻尼比增大速率不斷減小；在最大驅動速度工況下，模態(tài)阻尼比隨積分增益增大而平穩(wěn)增加。

(a) 第一階固有頻率(a) 1st natural frequency (b) 第二階固有頻率(b) 2nd natural frequency (c) 第三階固有頻率(c) 3rd natural frequency圖9 比例控制增益對系統(tǒng)固有頻率的影響Fig.9 Relationship between the proportional gain and the natural frequency of SADS

(a) 第一階模態(tài)阻尼比(a) 1st model damping ratio (b) 第二階模態(tài)阻尼比(b) 2nd model damping ratio (c) 第三階模態(tài)阻尼比(c) 3rd model damping ratio圖10 比例控制增益對系統(tǒng)模態(tài)阻尼的影響Fig.10 Relationship between the proportional gain and the model damping ratio of SADS

(a) 第一階模態(tài)阻尼比(a) 1st model damping ratio (b) 第二階模態(tài)阻尼比(b) 2nd model damping ratio (c) 第三階模態(tài)阻尼比(c) 3rd model damping ratio圖12 積分控制增益對系統(tǒng)模態(tài)阻尼的影響Fig.12 Relationship between the integral gain and the model damping ratio of SADS

4 結論

針對驅動控制對太陽帆板驅動系統(tǒng)動力學特性影響問題，構建了動力學特性等效分析模型，開展了模型正確性驗證，分析了控制增益和驅動速度對驅動系統(tǒng)動力學特性的影響規(guī)律。主要結論如下：

1)驅動控制不會改變驅動裝置的等效阻尼，但會使驅動裝置等效剛度減弱，且減弱程度與驅動速度成正比，與控制增益成反比。

2)所構建的等效分析模型能夠在不同驅動速度和控制增益情況下準確預示驅動系統(tǒng)動力學特性，分析結果與試驗數(shù)據(jù)誤差小于10%。

3)驅動系統(tǒng)固有頻率與控制增益成正相關關系，與驅動速度成負相關關系。

本研究擴展了驅動系統(tǒng)動力學特性分析理論的工程適用范圍，可以為具體工程型號的擾振特性分析以及振動控制方案設計提供理論支撐和技術參考。