劉愛(ài)霞

【摘? 要】? 探究經(jīng)典名題“雞兔同籠”，感受古代數(shù)學(xué)問(wèn)題的趣味性。嘗試用數(shù)形結(jié)合、以畫(huà)促思、情景設(shè)置、化繁為簡(jiǎn)等方法解決問(wèn)題，促進(jìn)數(shù)學(xué)思想的建成。從數(shù)學(xué)活動(dòng)中體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)在日常生活的廣泛應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，感受數(shù)學(xué)文化。

【關(guān)鍵詞】? 雞兔同籠;數(shù)學(xué)思想

大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中記載了一個(gè)有趣的問(wèn)題。書(shū)中是這樣敘述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？”這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭;從下面數(shù)，有94只腳。求籠中雞和兔各有幾只？

我想借此經(jīng)典名題的探究，鼓勵(lì)學(xué)生用自己喜歡的方法來(lái)探索數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生在推理中發(fā)現(xiàn)數(shù)字差異，主動(dòng)調(diào)整數(shù)據(jù)，從而推出數(shù)學(xué)結(jié)論，在運(yùn)用多樣化方法的探索過(guò)程中感受數(shù)學(xué)的樂(lè)趣和數(shù)學(xué)文化的魅力。

一、激活經(jīng)驗(yàn)，引發(fā)思考

學(xué)生的學(xué)習(xí)要以豐富的生活經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，教師通過(guò)引導(dǎo)使學(xué)生善用“熟悉的”去解釋“陌生的”，用“具體的”去理解“抽象的”，使數(shù)學(xué)變得簡(jiǎn)單。由于學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的缺乏，教師要了解孩子的生活，課前通過(guò)游戲讓孩子了解動(dòng)物的腿數(shù)。如設(shè)計(jì)游戲：一只小雞，一只兔，兩個(gè)頭，六條腿。兩只小雞，兩只兔，四個(gè)頭，十二條腿。三只小雞，兩只兔，五個(gè)頭，十四條腿。五只小雞，五只兔，十個(gè)頭，三十條腿。同學(xué)們數(shù)得很準(zhǔn)確，會(huì)發(fā)現(xiàn)在動(dòng)物身上有許多數(shù)學(xué)信息是值得研究的。游戲?qū)胱寣W(xué)生的頭腦中有個(gè)初步的雞兔腿數(shù)的計(jì)算意識(shí)。然后再引入《孫子算經(jīng)》，目的是為了給數(shù)學(xué)課堂帶來(lái)了濃厚的數(shù)學(xué)文化氣息，讓學(xué)生感受到我國(guó)數(shù)學(xué)文化的源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

開(kāi)課前，教師可以先從較小的數(shù)入手，如雞兔頭共5個(gè)，腿共有14條。雞兔各幾只？這句話的意思怎樣理解，要鼓勵(lì)學(xué)生說(shuō)出自己的想法，怎樣用畫(huà)圖的方式來(lái)探索。著名數(shù)學(xué)教育家賴登塔爾說(shuō)過(guò)：“兒童是天生的數(shù)學(xué)家?！碑?dāng)學(xué)生用熟悉的圖畫(huà)來(lái)表示時(shí)，自然就經(jīng)歷了數(shù)學(xué)探索的過(guò)程。學(xué)生在研究中發(fā)現(xiàn)先畫(huà)1只雞1只兔，再畫(huà)1只雞1只兔，再畫(huà)1只雞，正好14條腿，所以是3只雞，2只兔，或者先畫(huà)1只兔，再畫(huà)1只雞，接著畫(huà)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)腿多就去掉，得出雞的只數(shù);或者全部畫(huà)成雞，少了幾條腿，再給1只雞添上2條腿，得出兔的只數(shù)。在添或去的過(guò)程中，學(xué)生初步構(gòu)建了假設(shè)法的推理模式，但是教師先不要急于給出假設(shè)法的算式，要給予學(xué)生自我完善的時(shí)間。

作為教師，我們只是孩子學(xué)習(xí)的引路人，不能只是指點(diǎn)學(xué)生進(jìn)入“現(xiàn)成的大廈”，而是要促使他們?nèi)ァ鞍岽u砌墻”，一同來(lái)建筑大廈，即教師的任務(wù)不僅是告訴學(xué)生真理，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生探求真理。學(xué)生在“小馬過(guò)河”的試探中，感受水深水淺，不斷地調(diào)整自己的方法，不斷地修正自己的方法，才能形成自己的數(shù)學(xué)思路和數(shù)學(xué)方法，才能真正培養(yǎng)學(xué)生自我學(xué)習(xí)的能力，掌握數(shù)學(xué)技能。

二、設(shè)置障礙，自我完善

學(xué)生在初步的畫(huà)圖過(guò)程中已經(jīng)掌握了簡(jiǎn)單的推理方法，怎樣趨于完善，需要教師設(shè)置障礙讓孩子去跳躍。此時(shí)，教師可以增加數(shù)量，出示雞兔共12個(gè)頭，32條腿，雞兔各多少只？問(wèn)籠中各有幾只雞和兔？試問(wèn)學(xué)生會(huì)選擇畫(huà)圖的方式嗎？為什么？你會(huì)選擇什么更快捷的方法？此時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生列表從數(shù)字中找答案，比畫(huà)圖更節(jié)省時(shí)間。逐一列表法：逐一列出，不重復(fù)不遺漏。跳躍列表法：估計(jì)范圍，減少列舉次數(shù)。取中列表法：取中列舉，縮小列舉范圍。為了快速找到，可以用折中法來(lái)算腳數(shù)，再調(diào)整。直取中間數(shù)，驗(yàn)證后調(diào)整幅度縮小，更為簡(jiǎn)便快捷，這種方法叫做取中列舉法。有的學(xué)生會(huì)在列數(shù)字中發(fā)現(xiàn)每減少1只兔，增加1只雞，腿數(shù)會(huì)減少2，兔子要減少多少只，腿才能減少到32條呢？在計(jì)算中學(xué)生會(huì)很快找到相應(yīng)的雞兔數(shù)。在列表過(guò)程中縱觀發(fā)現(xiàn)腿數(shù)多說(shuō)明兔子數(shù)多了，就減少一只兔，增加一只雞;腿數(shù)少說(shuō)明兔子數(shù)少了，就增加一只兔子，減少一只雞。學(xué)生從圖形模式過(guò)渡到數(shù)字推理，經(jīng)歷了猜測(cè)、驗(yàn)證、調(diào)整的數(shù)學(xué)活動(dòng)，經(jīng)歷了一次數(shù)學(xué)思維的飛躍，感受到演繹推理帶來(lái)的數(shù)學(xué)樂(lè)趣。

三、優(yōu)化方法，豐富思想

學(xué)生經(jīng)歷了畫(huà)圖、列表，已經(jīng)掌握了基本的解題技巧，初步感受到探索的樂(lè)趣。但是怎樣由此及彼、以不變應(yīng)萬(wàn)變，還需要優(yōu)化方法、優(yōu)化解題步驟、形成數(shù)學(xué)思想?！凹僭O(shè)法”和“抬腿法”是破解雞兔同籠最常用的方法，也是最便捷的方法。針對(duì)“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？”畫(huà)圖太繁瑣，列表也冗長(zhǎng)。如果把它們變成一種動(dòng)物去求解就簡(jiǎn)單多了。怎樣把它們變成一種動(dòng)物，激發(fā)學(xué)生思考，最好從故事引入，比如大灰狼夜晚想要偷襲雞和兔，一群雞、兔受到驚嚇就會(huì)抬腿求饒，雞兩條腿一抬就飛走了，兔抬起兩條腿，每只兔還有兩條腿著地，用剩余的總腿數(shù)除以2就能求出共幾只兔。

思路總結(jié)：

1.抬光腿少的：35×2=70（條）

2.剩下腿多的：94-70=24（條）

3.除以腿數(shù)差：24÷2=12（只）

4.求出另一類：35-12=23（只）

這種讓一種動(dòng)物抬腿消失的方法也可以延伸為假設(shè)法。假設(shè)全是雞或兔，相信學(xué)生會(huì)迎刃而解。為了輔助落后生，假設(shè)法的推理過(guò)程中可以先從簡(jiǎn)單問(wèn)題入手。先畫(huà)8個(gè)圓圈表示8個(gè)頭，再為每條動(dòng)物畫(huà)兩條腿，8只動(dòng)物只用完16條腿，還多出10條腿。把剩下的10條腿用完，要給其中的5只動(dòng)物各添2條腿，這5只就是兔子，另外的3只就是雞。根據(jù)每一步的推理寫(xiě)出相應(yīng)的算式：8×2=16（條），26-16=10（條），4-2=2（條），10÷2=5（只），8-5=3（只）。以上兩種方法，重在意思的理解和數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表述，學(xué)生能夠完整敘述解題過(guò)程，就能準(zhǔn)確領(lǐng)會(huì)題意。學(xué)生在比較中發(fā)現(xiàn)快速的方法，在優(yōu)化數(shù)學(xué)方法里自我完善。

四、深化感悟，拓展延伸

“雞兔同籠”的數(shù)學(xué)思想，可以帶給學(xué)生無(wú)限的想象。怎樣從“雞兔同籠”里找到更多類似的數(shù)學(xué)問(wèn)題，需要學(xué)生去挖掘資源，鼓勵(lì)學(xué)生自我編題。教師可以給孩子收集相關(guān)素材。

例如：（1）某校四（3）班共計(jì)48名學(xué)生，一同出去郊游，租船時(shí)出現(xiàn)每條船只能坐2人、3人、4人，價(jià)格分別為10元、12元、15元，問(wèn)怎么樣安排租船更劃算？

（2）體育課組織跳繩接力比賽活動(dòng)，參賽人數(shù)為30人，全班分為男生組和女生組兩個(gè)組，男生組每分鐘跳105個(gè)，女生組每分鐘跳95個(gè)，整個(gè)過(guò)程每人都要參與一次，整個(gè)過(guò)程需要15分鐘，問(wèn)所有人員共計(jì)跳多少個(gè)？

（3）一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽共有20道題。做對(duì)一道題得8分，做錯(cuò)一題倒扣4分，劉冬考了112分，你知道劉冬做對(duì)了幾道題？

以上數(shù)學(xué)題都屬于“雞兔同籠”，學(xué)生觸類旁通，才能真正掌握這種數(shù)學(xué)思想。打開(kāi)學(xué)生的視野，提升數(shù)學(xué)思維，是我們每個(gè)數(shù)學(xué)教師為之努力和研究的課題。我們不是為了研究數(shù)學(xué)題而去做題，更多的是能從中學(xué)到一種數(shù)學(xué)方法，帶給學(xué)生更多的是演繹的快樂(lè)和探索的樂(lè)趣，讓每個(gè)學(xué)生在數(shù)學(xué)里發(fā)現(xiàn)自己具備的數(shù)學(xué)才能，點(diǎn)點(diǎn)滴滴地掌握數(shù)學(xué)推理的小技巧，從不會(huì)到會(huì)，從一道題到數(shù)道題，從數(shù)學(xué)題走進(jìn)生活，從生活里又發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，帶著一顆好奇心感悟數(shù)學(xué)，從數(shù)學(xué)家的思想里受到鼓舞，從古代數(shù)學(xué)名題里找到自我挑戰(zhàn)的樂(lè)趣。

探究古代名題，學(xué)生從最初的無(wú)從下手到大膽地猜測(cè)，再到積極開(kāi)動(dòng)腦筋，研究解決問(wèn)題的方案和策略，在這個(gè)過(guò)程中不僅逐步體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)具的邏輯性、抽象性，還感受到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，這正驗(yàn)證了數(shù)學(xué)家華羅庚所說(shuō)：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無(wú)處不用數(shù)學(xué)！”數(shù)學(xué)文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，數(shù)學(xué)思想博大精深。讓我們以更加飽滿的熱情和精巧的設(shè)計(jì)，讓課堂煥發(fā)生命的活力和無(wú)窮的智慧，去努力打造幸福課堂。

【參考文獻(xiàn)】

[1]吳正憲.聽(tīng)吳正憲老師上課[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2019.