徐曉蓉

[摘? 要] “學(xué)材再建構(gòu)”就是從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，在認(rèn)真研究的基礎(chǔ)上，對教材進(jìn)行合理的增、刪、調(diào)整等，引導(dǎo)學(xué)生整體架構(gòu)自己的知識體系和結(jié)構(gòu)，從而成為數(shù)學(xué)教學(xué)中涵育學(xué)生核心素養(yǎng)的重要方向和主要途徑.

[關(guān)鍵詞] 整體架構(gòu);數(shù)學(xué)思想;方法引領(lǐng);活動經(jīng)驗(yàn)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出：“……注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性……”并建議“教學(xué)方案的形成依賴于教師對教材的理解、鉆研和再創(chuàng)造”[1]. “學(xué)材再建構(gòu)”就是依據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》，從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，在認(rèn)真研究的基礎(chǔ)上，重組教材并建構(gòu)適合的“學(xué)材”，引導(dǎo)學(xué)生整體架構(gòu)自己的知識體系和結(jié)構(gòu)，從而成為數(shù)學(xué)教學(xué)中涵育學(xué)生核心素養(yǎng)的重要方向和主要途徑. 2020年1月14日，在“廣西初中數(shù)學(xué)品質(zhì)課堂建設(shè)培訓(xùn)活動”中，筆者認(rèn)真聆聽了施俊進(jìn)老師執(zhí)教的“直線和圓的位置關(guān)系”一課及“例談初中數(shù)學(xué)‘學(xué)材再建構(gòu)研究”的專題講座. 施老師重視數(shù)學(xué)思想的滲透，研究方法的引領(lǐng)，引導(dǎo)學(xué)生從知識、能力、思維等多方面架起結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)了“學(xué)材再建構(gòu)”的基本理念和價(jià)值追求. 現(xiàn)將教學(xué)設(shè)計(jì)、點(diǎn)評分析，以及反思啟示整理成文，與各位同行交流.

教學(xué)過程簡述及點(diǎn)評

環(huán)節(jié)一：回顧復(fù)習(xí)，以待類比

練習(xí)：⊙O的直徑為6 cm，點(diǎn)P為平面上的一點(diǎn).分別由OP的長，判斷點(diǎn)P和⊙O的位置關(guān)系（OP=2 cm，OP=3 cm，OP=4 cm）.

追問：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有哪幾種？你是如何判斷的？我們是如何研究點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的？

點(diǎn)評? 分別從知識和方法上抓住了知識的“生長點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，通過“以題理知”“問題誘思”，回顧舊知及其研究過程和研究方法，進(jìn)而為類比研究新知做好準(zhǔn)備. “以題理知”有別于常規(guī)的泛泛而談的復(fù)習(xí)方式（僅復(fù)習(xí)知識內(nèi)容），有利于學(xué)生在解決具體問題（根據(jù)新舊知識之間的內(nèi)在聯(lián)系而編制）的過程中主動回憶舊知，快速集中注意力;“問題誘思”又注重了研究方法和過程的引領(lǐng)，調(diào)動了學(xué)生自主類比學(xué)習(xí)新知的積極性.

環(huán)節(jié)二：操作思考，探究歸納

（1）觀察太陽升起的過程，地平線（看作一條直線）與太陽（看作一個(gè)圓）有哪幾種位置關(guān)系？由此能得出直線和圓的位置關(guān)系嗎？

（2）操作演示：線與圓相對運(yùn)動（借助實(shí)物）.

追問：在直線與圓相對運(yùn)動的過程中，共有哪幾種位置關(guān)系？直線與圓有公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是如何變化的？

（3）合作探究：①在直線與圓相對運(yùn)動的過程中，除了公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)發(fā)生變化外，還涉及哪些量變化？如何用數(shù)量之間的關(guān)系來描述這些位置關(guān)系？②類比點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的相關(guān)內(nèi)容，說說直線和圓的位置關(guān)系的相關(guān)內(nèi)容，并完成表1（設(shè)圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r）.

追問：①直線和圓的各種位置關(guān)系在生活中隨處可見，你還能舉出一些生活中相交、相切、相離的實(shí)例嗎？②直線和圓的三種位置關(guān)系，與“點(diǎn)和圓的三種位置關(guān)系”相比，有何異同點(diǎn)？這兩者之間有何聯(lián)系？

點(diǎn)評? 從生活中舉出直線和圓的位置關(guān)系的實(shí)例（太陽升起的過程）以及動手操作探索直線（直尺）和圓（鑰匙扣）的位置關(guān)系出發(fā)，從直線和圓的相對運(yùn)動（移動直尺或鑰匙扣）引出（感受）直線和圓的三種位置關(guān)系. 整個(gè)探索活動分為四個(gè)層次，第一層次是分別通過“操作與思考”（在具體操作演示后，教師通過問題來引領(lǐng)），引導(dǎo)學(xué)生感受直線和圓的位置關(guān)系的變化會引發(fā)“直線和圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化”和“圓心到直線的距離的變化”;第二層次是探索“直線和圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化”和“圓心到直線的距離的變化”之間的關(guān)系;第三層次是歸納直線和圓的三種位置關(guān)系，介紹相交、相切和相離等有關(guān)概念;第四層次是探索“數(shù)量關(guān)系”和“位置關(guān)系”之間的聯(lián)系[2].

學(xué)生積極參與這四個(gè)層次的探索活動，通過獨(dú)立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學(xué)思想;在“做”的過程和“思考”的過程中逐步積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)（體現(xiàn)了“做數(shù)學(xué)”的教育理念和原則）.

另外，通過填表和反思——“直線和圓的三種位置關(guān)系”與“點(diǎn)和圓的三種位置關(guān)系”相比，有何異同點(diǎn)？這兩者之間有何聯(lián)系？——引導(dǎo)學(xué)生找到“直線和圓的位置關(guān)系”和“點(diǎn)和圓的位置關(guān)系”的聯(lián)系與區(qū)別，使得學(xué)生進(jìn)一步理解為何將“直線和圓的位置關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)和圓的位置關(guān)系（即圓心到直線的垂線段的垂足）”，明確了圖形的位置關(guān)系與相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系，有助于學(xué)會數(shù)學(xué)思考、感悟理性精神.

環(huán)節(jié)三：分層鞏固，理解掌握

（1）判斷正誤：①圓的切線只有一條;②直線上一點(diǎn)到圓心的距離等于半徑，則直線與圓相切;③線段AB與⊙O無公共點(diǎn)，則直線AB與⊙O相離. （追問：有幾種不同的方法來判定直線與圓的位置關(guān)系？判定時(shí)要注意什么？）

（2）⊙O的直徑為10，圓心到直線l的距離為d.

①若d=5，則直線l與⊙O有______個(gè)公共點(diǎn)，它們的位置關(guān)系為______;

②點(diǎn)A在直線l上，OA=5，則直線l與⊙O的位置關(guān)系為______. （追問：若OA=4或6呢？）

（3）直線l與半徑為r的⊙O相交，圓心到直線l的距離為5，則r的取值范圍為______.

（4）已知∠AOB=30°，M為OB上一點(diǎn)，且OM=5 cm，以M為圓心、r為半徑作⊙M. 當(dāng)r分別為2 cm，4 cm，2.5 cm時(shí)，⊙M與直線OA有怎樣的位置關(guān)系？為什么？（追問：①你是怎么判斷的？用到了哪些知識？②若⊙M與射線OA有兩個(gè)交點(diǎn)，則r的取值范圍是什么？）

（5）如圖1，A城氣象臺測得臺風(fēng)中心在A城正西方向300千米的B處，并以每小時(shí)10千米的速度向北偏東60°的BF方向移動，距臺風(fēng)中心200千米的范圍是受臺風(fēng)影響的區(qū)域.

①A城是否會受到這次臺風(fēng)的影響？為什么？②若A城受到這次臺風(fēng)的影響，試計(jì)算A城遭受這次臺風(fēng)影響的時(shí)間有多長.

點(diǎn)評? 通過分層練習(xí)，不僅使學(xué)生多維度地認(rèn)識到直線和圓的位置關(guān)系，而且增強(qiáng)了思維嚴(yán)密性. 通過練習(xí)的分層（特別是題后的“追問”），使得大部分學(xué)生比較好地理解了圖形的位置關(guān)系與相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系，對于少部分有余力的學(xué)生有了達(dá)到一定高度的彈性目標(biāo)，從而最大限度地滿足學(xué)生個(gè)體差異發(fā)展的需要，讓不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展.

環(huán)節(jié)四：回顧總結(jié)，反思提升

（1）直線和圓有怎樣的位置關(guān)系？直線和圓的三種位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系之間有怎樣的內(nèi)在聯(lián)系？

（2）通過學(xué)習(xí)，你積累了哪些重要的數(shù)學(xué)方法？

（3）如果讓你自主探究兩圓的位置關(guān)系，簡要說說你的探究思路或過程.

共同總結(jié)，并完善板書如圖2.

點(diǎn)評? 引導(dǎo)學(xué)生從知識、技能、方法、思想、情感等多方面進(jìn)行自主反思內(nèi)化，從整體上架起結(jié)構(gòu)，形成“結(jié)構(gòu)性板書”.這種包含了知識研究的基本內(nèi)容和思想方法的“結(jié)構(gòu)性板書”，突出了“與圓有關(guān)的位置關(guān)系”的知識體系和知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，有利于學(xué)生整體把握相關(guān)知識和方法，力求實(shí)現(xiàn)“智慧不是別的，而是一種組織得很好的知識結(jié)構(gòu)（教育家烏申斯基語）”.雖然《標(biāo)準(zhǔn)》沒有將“圓和圓的位置關(guān)系”列入目標(biāo)要求，但是學(xué)生有了對于點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，對于圓和圓的位置關(guān)系，研究方法和前兩者是一脈相承的，都是從幾何特征（交點(diǎn)個(gè)數(shù)）和代數(shù)特性（圓心的距離和半徑的關(guān)系）兩個(gè)角度考慮. 考慮到研究內(nèi)容和研究方法的連貫性，在課堂的最后讓學(xué)生類比前兩者的位置關(guān)系，簡述選學(xué)內(nèi)容“圓和圓的位置關(guān)系”的探究思路或過程.有利于學(xué)生進(jìn)一步體會其中的研究方法;有利于學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，掌握學(xué)習(xí)方法，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn);有利于增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展.

啟示和思考

1. 從課堂的教學(xué)設(shè)計(jì)看出執(zhí)教者之用心

一是將直觀感知和實(shí)驗(yàn)操作相結(jié)合，即利用直觀操作，發(fā)現(xiàn)直線和圓之間的位置關(guān)系（那么圓和圓的位置關(guān)系也是如此）. 突出了“做中學(xué)”的教育理念和原則.

二是數(shù)學(xué)思想方法的滲透. 分類的思想不必多說. 另外，通過對圖形的位置關(guān)系與相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系的理解，圓和直線之間的位置關(guān)系從量變到質(zhì)變等，對學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義觀點(diǎn)的教育，良好的個(gè)性品質(zhì)得到發(fā)展.

三是突出研究方法的引導(dǎo). 通過類比的方法自主研究學(xué)習(xí)“直線和圓的位置關(guān)系”（有了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，對于“直線和圓的位置關(guān)系”，與“點(diǎn)和圓的位置關(guān)系”的研究方法是一脈相承的）[3].

正所謂“知識誠可貴，技能價(jià)更高;若為思想（方法）故，二者兼可退”. （改編自裴多菲的《自由與愛情》）

2. 從課堂的生成過程看出執(zhí)教者之匠心

一是充分考慮到研究內(nèi)容和研究方法的連貫性，注重了知識的結(jié)構(gòu)和體系，引導(dǎo)學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的整體性，體會到數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián).

二是積極轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)方式，變“聽”數(shù)學(xué)為“做”數(shù)學(xué)，變“被動接受”為“主動探究”. 注重引導(dǎo)學(xué)生通過“做中學(xué)”“學(xué)中思”“思中悟”“悟中生（生成、生長）” 的過程，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的樂趣，感悟數(shù)學(xué)的真諦，發(fā)展數(shù)學(xué)思維和智慧，提高實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識，不斷積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)，并逐步感悟數(shù)學(xué)思想方法（顯然是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志）.

三是通過“問題引領(lǐng)”（體現(xiàn)教師的“引導(dǎo)”作用）追求“學(xué)法三結(jié)合”的深度. 教師通過“問題引領(lǐng)”，引導(dǎo)學(xué)生積極思考、探索，并且始終讓學(xué)生保持個(gè)人在獨(dú)立學(xué)習(xí)（畫圖、觀察、表達(dá)、思考、實(shí)踐等）. 小組學(xué)習(xí)和全班學(xué)習(xí)都是建立在個(gè)人獨(dú)立學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，追求了“個(gè)人學(xué)習(xí)、小組學(xué)習(xí)和全班學(xué)習(xí)”有機(jī)、靈活、交替進(jìn)行的學(xué)習(xí)方式（即“學(xué)法三結(jié)合”）的深度，使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體，逐步學(xué)會學(xué)習(xí).

3.？搖關(guān)于“學(xué)材再建構(gòu)”

教材作為學(xué)生學(xué)習(xí)的資源，是有生成性的，當(dāng)然它的生成性要借助教師來實(shí)現(xiàn). 但教學(xué)有法，教無定法，貴在得法. 在教學(xué)“與圓有關(guān)的位置關(guān)系”這部分內(nèi)容時(shí)，執(zhí)教者依據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》，從實(shí)際出發(fā)，在認(rèn)真研究的基礎(chǔ)上，合理進(jìn)行“學(xué)材再建構(gòu)”. 通過類比“點(diǎn)和圓的位置關(guān)系”進(jìn)行研究“直線和圓的位置關(guān)系”;課堂最后將選學(xué)內(nèi)容“圓和圓的位置關(guān)系”提出來（花時(shí)3分鐘），不是片面追求內(nèi)容的深度、問題的難度和解題的技巧，而是注重于介紹重要的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想和方法. 這樣既能面向全體學(xué)生，又考慮到學(xué)生發(fā)展的差異. 在保證基本要求的前提下，體現(xiàn)一定的彈性，以滿足學(xué)生的不同需求，使不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，充分體現(xiàn)了教師發(fā)揮自己的教學(xué)創(chuàng)造性（從板書設(shè)計(jì)也可看出）. 課堂中能用恰當(dāng)?shù)乃季S方式（特別是在“思想滲透”“方法引領(lǐng)”中整體架構(gòu)體系結(jié)構(gòu)）將自己再建構(gòu)的“學(xué)材”呈現(xiàn)給學(xué)生，使他們便于學(xué)、樂于學(xué). 體現(xiàn)了不僅要“教教材”，更要“用教材教”的教材觀.

4. 通過類比的方法自主研究

對于選學(xué)內(nèi)容“圓和圓的位置關(guān)系”的具體教學(xué)，可置于數(shù)學(xué)拓展課程中并加以實(shí)施. 具體實(shí)施時(shí)，完全讓學(xué)生自主類比研究點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系. 即先讓學(xué)生通過操作，探索圓和圓的不同位置關(guān)系;再從兩圓半徑、圓心距出發(fā)，讓學(xué)生自主尋找兩圓具有不同的位置關(guān)系時(shí)它們之間的數(shù)量關(guān)系，充分體現(xiàn)研究問題的類比的方法. 為此，教師要放手讓學(xué)生自主設(shè)計(jì)探究步驟、探究方法和探究思路. 在整個(gè)過程中，教師既要關(guān)注學(xué)生的探究結(jié)果，又要關(guān)注學(xué)生的探究過程，更要鼓勵并引導(dǎo)學(xué)生充分利用“探究”過程，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)、積極展示思考過程、交流反思收獲體會，乃至激發(fā)創(chuàng)造潛能.

5. 要重視信息技術(shù)的應(yīng)用

課堂上除了讓學(xué)生直觀操作外，還可以通過計(jì)算機(jī)軟件讓圖形動起來（有條件的話）. 在動態(tài)變化中發(fā)現(xiàn)直線和圓的位置關(guān)系，通過測量發(fā)現(xiàn)與位置關(guān)系相對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系（在動態(tài)變化中發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)）. 合理、有效地使用計(jì)算機(jī)和有關(guān)軟件，可以提高教學(xué)效益. 當(dāng)然，在應(yīng)用現(xiàn)代信息技術(shù)的同時(shí)，教師還應(yīng)注重課堂教學(xué)的板書設(shè)計(jì). 本節(jié)“結(jié)構(gòu)性板書”給人留下了深刻的印象，不僅實(shí)現(xiàn)了學(xué)生的思維與教學(xué)過程的同步，有助于學(xué)生更好地把握教學(xué)內(nèi)容的脈絡(luò)，而且特別是在知識結(jié)構(gòu)和思想方法引領(lǐng)的統(tǒng)整中，有利于學(xué)生自主架構(gòu)起整體的認(rèn)知體系和認(rèn)知結(jié)構(gòu).

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制訂. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]楊裕前，董林偉. 義務(wù)教育教科書教師教學(xué)用書（九年級上冊·數(shù)學(xué)）（蘇科版）[M]. 南京：江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社，2014.

[3]課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心編著. 義務(wù)教育教科書教師教學(xué)用書（九年級上冊·數(shù)學(xué)）（人教版）[M]. 北京：人民教育出版社，2014.