王 珊，王 鋒

(萍鄉(xiāng)學(xué)院數(shù)學(xué)系，江西 萍鄉(xiāng) 337000)

實(shí)踐證明，區(qū)域經(jīng)濟(jì)與教育緊密相關(guān)，促進(jìn)經(jīng)濟(jì)與教育協(xié)調(diào)發(fā)展，合理投入人力資本和實(shí)物資本，對(duì)社會(huì)的可持續(xù)發(fā)展具有重要意義[1].關(guān)于經(jīng)濟(jì)與教育的關(guān)系，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)其做了很多研究[2-8].其中，Steinmann等[2]構(gòu)建了一個(gè)含有教育的經(jīng)濟(jì)模型，得到經(jīng)濟(jì)的長(zhǎng)期發(fā)展和逃出馬爾薩斯陷阱的可能性都依賴于科技進(jìn)步的結(jié)論.但這個(gè)經(jīng)濟(jì)模型中基于Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)的經(jīng)濟(jì)表達(dá)式是規(guī)模報(bào)酬不變的，而根據(jù)參數(shù)的不同取值，生產(chǎn)函數(shù)可分為3種類型，即規(guī)模報(bào)酬遞增型、規(guī)模報(bào)酬遞減型和規(guī)模報(bào)酬不變型.因此，筆者將利用微分動(dòng)力系統(tǒng)理論模型研究在更一般情形下的經(jīng)濟(jì)發(fā)展動(dòng)態(tài).

1 基礎(chǔ)知識(shí)

(1)若μ>0且Δ=τ2-4μ≥0，則系統(tǒng)以原點(diǎn)為結(jié)點(diǎn).當(dāng)τ<0時(shí)，結(jié)點(diǎn)為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)；當(dāng)τ>0時(shí)，結(jié)點(diǎn)為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn).

(2)若μ>0且Δ=τ2-4μ<0，τ≠0，則系統(tǒng)以原點(diǎn)為焦點(diǎn).當(dāng)τ<0時(shí)，焦點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn)；當(dāng)τ>0時(shí)，焦點(diǎn)為不穩(wěn)定焦點(diǎn).

(3)若μ>0且τ=0，則系統(tǒng)以原點(diǎn)為中心.

(4)若μ<0，則系統(tǒng)以原點(diǎn)為鞍點(diǎn).

2 模型的建立與分析

2.1 模型的建立

Steinmann等[2]構(gòu)建了一個(gè)以實(shí)物資本K(t)、人力資本H(t)和科技進(jìn)步W(t)為變量的人口經(jīng)濟(jì)模型，且假設(shè)這些變量隨時(shí)間是連續(xù)變化的.設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為

Y(t)=Hα(t)Kβ(t)Wγ(t)，

(1)

其中0<α≤1，0<β≤1，γ>0.根據(jù)Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)的分類：當(dāng)α+β>1時(shí)，表示規(guī)模報(bào)酬遞增；當(dāng)α+β=1時(shí)，表示規(guī)模報(bào)酬不變；當(dāng)α+β<1時(shí)，表示規(guī)模報(bào)酬遞減.

假設(shè)人力資本分為受教育程度E(t)和人口數(shù)量L(t)這2個(gè)部分，滿足

H(t)=Lε(t)E1-ε(t) 0<ε<1.

(2)

將(2)式代入(1)式，得到

Y=LεαE(1-ε)αKβWγ.

(3)

為了簡(jiǎn)便表達(dá)，(3)式省略了時(shí)間變量t.

將L(t)和W(t)的值代入(3)式，得到生產(chǎn)函數(shù)關(guān)于受教育程度E(t)和實(shí)物資本K(t)的表達(dá)式

Y=(entL0)εαKβE(1-ε)α(eλtW0)γ=μ0e(nεα+λγ)tKβE(1-ε)α,

每個(gè)階段需要從產(chǎn)出Y中對(duì)實(shí)物資本進(jìn)行投資以促進(jìn)社會(huì)不斷發(fā)展.設(shè)其投資率為sK，則每個(gè)階段實(shí)物資本K將增加sKY.但由于在使用中實(shí)物資本會(huì)出現(xiàn)一定的折舊和損耗，因此實(shí)物資本變化的動(dòng)態(tài)方程可表示為

(4)

其中δ為實(shí)物資本折舊率.同樣地，每個(gè)階段需要對(duì)教育進(jìn)行投資以促進(jìn)社會(huì)更長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展.設(shè)其投資率為sE，則每個(gè)階段受教育程度E將增加sEY.但由于人口的死亡會(huì)減少人力資源，也就會(huì)減少教育的存量，因此受教育程度變化的動(dòng)態(tài)方程可表示為

(5)

于是，(4)，(5)式建立了如下的二維動(dòng)力系統(tǒng)：

(6)

2.2 模型的分析

(7)

對(duì)方程組(7)中的兩式分別求對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)，得到

(8)

將(6)式代入(8)式，可將非自治微分動(dòng)力系統(tǒng)轉(zhuǎn)為如下形式的自治微分動(dòng)力系統(tǒng)：

(9)

定理1二維微分動(dòng)力系統(tǒng)(9)在K1，E1平面的第一象限存在唯一的非零平衡點(diǎn).

(10)

(11)

顯然，(0,0)為系統(tǒng)(9)的平凡均衡點(diǎn)，但是它對(duì)問題的研究沒有實(shí)際意義，因此本研究中主要考慮非平凡平衡點(diǎn).將(10)，(11)式移向并相除，得到

(12)

將(12)式代入(9)式，求得如下非零平衡點(diǎn)：

定理2當(dāng)

1-(α+β)+εα>0

(13)

證明由1-(α+β)+εα>0，則p>0.設(shè)

則矩陣J的行列式值μ=(1-(α+β)+εα)(δ+p)(d+p)，跡τ=(β-1)(δ+p)+((1-ε)α-1)(d+p).由0<α<1，0<ε<1，0<δ<1，d>0，0<β≤1可知，μ>0,τ<0.再由

Δ=τ2-4μ=((β-1)(δ+p)+((1-ε)α-1)(d+p))2-4(1-(α+β)+εα)(δ+p)(d+p)=

((β-1)(δ+p))2+2(αβ-εα+α+β-βαε-1)(δ+p)(d+p)+((1-ε)α-1)2(d+p)2≥

((β-1)(δ+p))2+2(α-εα-1+β-1)(δ+p)(d+p)+((1-ε)α-1)2(d+p)2=

((β-1)(δ+p)+((1-ε)α-1)(d+p))2≥0，

注1當(dāng)α+β=1(規(guī)模報(bào)酬不變)和α+β<1(規(guī)模報(bào)酬遞減)時(shí)，(13)式滿足，根據(jù)定理2，這2種情況中平衡點(diǎn)都為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn).當(dāng)規(guī)模報(bào)酬為遞增的情況時(shí)，即α+β>1，且α+β-1<εα成立時(shí)，平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的.

(14)

對(duì)(14)式求導(dǎo)并取極限，得到

對(duì)Y=μ0exp((nεα+λγ)t)KβE(1-ε)α取對(duì)數(shù)，得到

lnY=lnμ0+(nεα+λγ)t+(1-ε)αlnE+βlnK，

故

3 數(shù)值模擬

現(xiàn)利用數(shù)值模擬探討微分系統(tǒng)(9)在不同情形下的穩(wěn)定性問題.令

α=0.6，γ=0.2，ε=0.6，b=0.1，d=0.05，λ=0.08，L0=2，W0=1，sK=0.3，sE=0.2，δ=0.08.

接下來就β的不同取值驗(yàn)證系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

情形1令β=0.3，初始值(K1,E1)=(0.5,3.4)，此時(shí)α+β<1，規(guī)模報(bào)酬遞減，其軌跡如圖1所示.

情形2令β=0.4，初始值(K1,E1)=(1,5)，此時(shí)α+β=1，規(guī)模報(bào)酬不變，其軌跡如圖2所示.

圖1 情形1的軌跡Fig. 1 Trajectory of Case 1

圖2 情形2的軌跡Fig. 2 Trajectory of Case 2

情形3令β=0.55，初始值(K1,E1)=(2,6)，此時(shí)α+β>1，規(guī)模報(bào)酬遞增，其軌跡如圖3所示.

情形4令β=0.8，初始值(K1,E1)=(2,6)，此時(shí)不滿足1-(α+β)+εα>0，K1,E1可能會(huì)不穩(wěn)定，其軌跡如圖4所示.

圖3 情形3的軌跡Fig. 3 Trajectory of Case 3

圖4 情形4的軌跡Fig. 4 Trajectory of Case 4

前3種情形中1-(α+β)+εα>0，滿足定理2的條件，故平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的.從圖1～3可以看出，隨著時(shí)間的不斷增長(zhǎng)，K1,E1的軌跡將趨于穩(wěn)定.從圖4可以看出，K1,E1在有限時(shí)間內(nèi)趨于無窮大.

4 結(jié)論