陳小彬

【摘要】當(dāng)下數(shù)學(xué)課堂，以知識(shí)傳遞為教學(xué)目標(biāo)的現(xiàn)象依然存在，在這種價(jià)值導(dǎo)向下，數(shù)學(xué)教學(xué)最為突出的局限在于對(duì)教學(xué)中“人”的忽視，帶來的結(jié)果就是教師缺乏用整體綜合的思維方式，對(duì)概念教學(xué)作出整體策劃和綜合設(shè)計(jì)的能力。美國數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基提出，概念教學(xué)要經(jīng)歷活動(dòng)（Action）—過程（Process）—對(duì)象（Object）—圖式（Schema）等四個(gè)階段的APOS理論，觀照兒童的思維生長力，促進(jìn)數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)化。

【關(guān)鍵詞】APOS理論? ?活動(dòng)? ?過程? ?對(duì)象? ?圖式

概念是數(shù)學(xué)大廈的基石，是數(shù)學(xué)的邏輯起點(diǎn)，APOS理論視域下的情境化主題教學(xué)，關(guān)注學(xué)生建構(gòu)概念的基本規(guī)律，關(guān)注數(shù)學(xué)概念形成過程的內(nèi)部本質(zhì)，觀照學(xué)生數(shù)學(xué)思維生長力，促成數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)化，更好地為學(xué)生思維發(fā)展而設(shè)計(jì)。APOS理論是美國數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基于20世紀(jì)80年代在數(shù)學(xué)教育研究實(shí)踐中總結(jié)的一種概念學(xué)習(xí)理論，他認(rèn)為，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過程要經(jīng)歷：活動(dòng)（Action）—過程（Process）—對(duì)象（Object）—圖式（Schema）等四個(gè)階段。

一、APOS理論視域下情境化小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的價(jià)值與意義

1.順應(yīng)：符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)與規(guī)律

APOS理論視域下的概念教學(xué)讓學(xué)生在情境中“活動(dòng)”，在過程中抽象，在反思中達(dá)到數(shù)學(xué)化，有助于激活學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)或生活經(jīng)驗(yàn)，從而順其自然地開啟兒童概念學(xué)習(xí)“刺激模式”，以感性認(rèn)知為切入口，感悟概念的一般屬性，符合兒童的認(rèn)知特點(diǎn)，遵循兒童認(rèn)知概念的規(guī)律。

2.集聚：提升學(xué)生密集的腦力當(dāng)量

數(shù)學(xué)概念的形成過程是一個(gè)由表及里發(fā)現(xiàn)和提煉本質(zhì)特點(diǎn)的過程，更是一個(gè)對(duì)概念本質(zhì)特點(diǎn)進(jìn)行歸納和抽象命名的過程。APOS理論視域下的概念教學(xué)讓學(xué)生經(jīng)歷“材料感知—辨析比較—?dú)w納概括—抽象命名”的概念形成過程，幫助學(xué)生逐步形成辨析比較、概括提煉的抽象能力。學(xué)生經(jīng)歷了這樣概念建構(gòu)的過程，可以提升密集的腦力當(dāng)量。

3.深入：推動(dòng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解

數(shù)學(xué)概念具有很強(qiáng)的系統(tǒng)性，APOS理論視域下的概念教學(xué)，遵循學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)生通過實(shí)例比較、分析、概括、分化和類化等思維活動(dòng)，可以理清概念的關(guān)鍵屬性，從而形成數(shù)學(xué)概念的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。經(jīng)過這樣的建構(gòu)過程，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)會(huì)聚焦屬性本質(zhì)，數(shù)學(xué)思維從“理性思維”逐步走向“理性精神”。

二、APOS理論視域下情境化概念主題教學(xué)策略建構(gòu)

1.有向“活動(dòng)”：豐盈感性體驗(yàn)指向兒童“直觀思維”

感性材料是影響概念教學(xué)的先行因素。感性材料越豐富，學(xué)生對(duì)概念的掌握也就會(huì)越準(zhǔn)確。對(duì)豐富的感性材料進(jìn)行概括和整合，透過現(xiàn)象探究數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征，才能由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)。因此，在概念教學(xué)過程中要提供大量的、豐富的、感性的事實(shí)材料，注意引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和感悟材料特點(diǎn)。所謂“大量的”材料提供目的有兩個(gè)：一是避免學(xué)生形成的概念內(nèi)涵單一，材料越豐富，學(xué)生形成概念的內(nèi)涵越豐富;二是為了激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生對(duì)大量材料梳理清晰的學(xué)習(xí)需求。所謂“豐富的”材料，是指既要包括蘊(yùn)涵概念本質(zhì)屬性的材料，又要包括反映概念非本質(zhì)屬性的材料，它們成為凸顯概念本質(zhì)屬性的反襯資源。以下以蘇教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)《認(rèn)識(shí)面積》一課教學(xué)為例：

師：這是我們的教室，請(qǐng)小朋友仔細(xì)觀察，說說有些什么？

師提問：誰能來指一指黑板的面？

師：你能照樣子指一指課本的封面，練習(xí)本的封面，文具盒蓋等物體的面嗎？

師提問：看看黑板的面和課本封面，哪一個(gè)面比較大，哪一個(gè)面比較?。?/p>

師：拿出老師為大家準(zhǔn)備的樹葉、長方形紙、愛心扣等物件，你能在小組里說一說它們的面積嗎？

師：從你身邊再找一些物體，摸一摸它們的面，比一比它們的面積。

在上述教學(xué)案例中，教師通過教室里的設(shè)施、學(xué)生的文具、生活中的樹葉等，創(chuàng)設(shè)了學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)情境，通過“活動(dòng)”讓學(xué)生親身體驗(yàn)、感受背景材料與概念之間的關(guān)系，不斷發(fā)現(xiàn)“豐富的”材料的共同特點(diǎn)，通過這樣感性材料“分化”的過程，讓學(xué)生在情境中尋找到歸納概念本質(zhì)的線索。

2.融通“過程”：引發(fā)數(shù)學(xué)思考指向兒童“經(jīng)驗(yàn)思維”

通過有向活動(dòng)，學(xué)生經(jīng)歷概念引入、概念初建的過程，通過活動(dòng)操作、歸納概括、抽象命名形成概念。運(yùn)用壓縮和解壓縮的過程去實(shí)施某個(gè)“活動(dòng)”是數(shù)學(xué)思維的一個(gè)特點(diǎn)。由于概念是數(shù)學(xué)家早已建立了的，對(duì)學(xué)生個(gè)人而言，是在他尚未經(jīng)歷的情況下需要重復(fù)的那類過程，通過親自操作體驗(yàn)，做一次再創(chuàng)造而形成概念的過程。因此，概念建構(gòu)的過程也要關(guān)注學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，在學(xué)生自發(fā)性概念的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生在經(jīng)歷對(duì)事實(shí)材料辨析比較分析，也就是自發(fā)性概念所能到達(dá)的水平與科學(xué)概念所要求的水平之間的區(qū)間，對(duì)已經(jīng)接觸到的恰當(dāng)?shù)膶?shí)例進(jìn)行組織整理、分析歸納，使學(xué)生逐步由表及里發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)。以下以蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)《認(rèn)識(shí)圓》一課為例：

過程一：新舊比較，初步感知圓的特征。初次畫圓，體會(huì)圓的與眾不同，學(xué)生交流不同的畫圓方法，按以下順序完成：（1）借助圓形物體畫圓;（2）釘線畫圓;（3）圓規(guī)畫圓。

過程二：利用圓規(guī)，初次畫圓，初步感知圓及其特征。圓規(guī)畫圓，掌握畫圓方法。出示要求：試著用圓規(guī)畫一個(gè)圓。

過程三：利用圓規(guī)，再次畫圓，體會(huì)圓心與半徑的意義。用圓規(guī)在作業(yè)紙上畫出兩個(gè)不同的圓。畫好后，想一想，與同桌說一說，所畫的兩個(gè)圓有什么相同與不同之處。

過程四：利用圓規(guī)，三次畫圓，體會(huì)半徑與直徑的特征;四次畫圓，理解半徑特征。提問“同一個(gè)圓內(nèi)，有多少條半徑，長度有什么關(guān)系？直徑呢？”體會(huì)同一個(gè)圓內(nèi)半徑有無數(shù)條，且都相等。

過程五：對(duì)折圓片，探索特征，總結(jié)知識(shí)，理解半徑與直徑的關(guān)系。

在上述教學(xué)案例中，教師緊緊圍繞畫圓這一過程開展教學(xué)活動(dòng)，每次活動(dòng)都有清晰的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累的目標(biāo)，通過聚類的研究分析，發(fā)現(xiàn)圓相同的共性特點(diǎn)，比如：半徑相等、直徑相等、圓的大小與半徑有關(guān)、圓的位置與圓心有關(guān)等。學(xué)生在活動(dòng)中思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化、壓縮過程，收獲清晰的圓概念建構(gòu)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

3.聚焦“對(duì)象”：解析概念內(nèi)涵指向兒童的“抽象思維”

學(xué)生能夠把經(jīng)歷的“過程”作為一個(gè)整體進(jìn)行操作和轉(zhuǎn)換，意味著學(xué)生已經(jīng)將這個(gè)過程提升為心理“對(duì)象”。這時(shí)，促進(jìn)學(xué)生不斷地調(diào)整頭腦中的動(dòng)作表象，形成準(zhǔn)確的定向映像，進(jìn)而在實(shí)際操作活動(dòng)中可以調(diào)節(jié)動(dòng)作的執(zhí)行。再以動(dòng)作表象為基礎(chǔ)，既操作別的對(duì)象，又被高層次的運(yùn)算來操作，就是學(xué)生在不斷建模的過程，在數(shù)學(xué)概念某一個(gè)層次和更高一級(jí)層次之間起著一種樞紐作用。在操作過程中，概念呈現(xiàn)一種靜態(tài)結(jié)構(gòu)關(guān)系，易于整體把握性質(zhì)，讓思路和思維實(shí)現(xiàn)鏈接，這時(shí)一個(gè)完整的理解才真正成型。以下以蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)《分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系》一課教學(xué)為例：

（1）操作體驗(yàn)，積累感性認(rèn)識(shí)

出示：把3塊餅平均分給4個(gè)小朋友，每人分得多少塊？

算式：3÷4=[3] [4]（塊）。

提問：結(jié)果會(huì)是多少塊？（學(xué)生活動(dòng)操作）

呈現(xiàn)資源：這三小塊，拼起來，就是一塊餅的3/4，所以是3/4塊。

（2）想象演繹，激發(fā)理性思考

提問：如果把3塊餅平均分給5個(gè)小朋友，每人分得多少塊呢？

算式：3÷5=[3] [5]（塊）。

（3）關(guān)系表達(dá)，形成認(rèn)知表征

師：同學(xué)們的想法和表述都很有創(chuàng)意，有的用文字，有的用符號(hào)，有的用字母，它們都體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。數(shù)學(xué)上我們一般用含有字母的等式來表示。如a÷b=a/b，此處b可以是0嗎？為什么？

在上述教學(xué)案例中，教師通過分一分、擺一擺等直觀操作，逐步引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”，通過抽象認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系的概念本質(zhì)，并進(jìn)行高度的概括和簡約的表達(dá)a÷b=a/b，賦予了形式化的定義及符號(hào)，使其成為一個(gè)思維中的具體對(duì)象。這樣融合操作與模型建構(gòu)，使學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中，可以此為對(duì)象進(jìn)行新的學(xué)習(xí)活動(dòng)，達(dá)成思路與思維的鏈接。

4.活化“圖式”：建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)指向兒童“系統(tǒng)思維”

概念教學(xué)過程中概念圖式的形成需要理性思辨，它不同于感性認(rèn)知中的感覺、知覺和表象，而是屬于人們對(duì)事物的理性認(rèn)知，它已經(jīng)不是從局部而是從整體上，不僅是從外部形態(tài)上而是從事物的內(nèi)部規(guī)律上，反映了事物的本質(zhì)屬性。為了讓學(xué)生把概念內(nèi)涵與外延抽象串聯(lián)起來，需要注重建立起與其他概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系。教學(xué)過程不僅關(guān)注內(nèi)涵的學(xué)習(xí)，還要進(jìn)一步研究概念的外延。通過辯證、剖析，將概念的內(nèi)涵與外延串聯(lián)起來。

例如，“平行四邊形”的內(nèi)涵包括：①是平面圖形，②是凸四邊形，③對(duì)角相等，④對(duì)邊平行，⑤對(duì)邊相等，⑥對(duì)角線互相平分等本質(zhì)屬性。而平行四邊形的外延是所有平行四邊形的集合，其中包括矩形、菱形和正方形。平行四邊形概念建構(gòu)的過程，不僅要對(duì)其概念內(nèi)涵進(jìn)行深度探索，還要重視菱形、矩形、正方形等圖形特征的聯(lián)系與區(qū)別。

因?yàn)楦拍畹膬?nèi)涵嚴(yán)格地確定了概念的外延，反過來，概念的外延也嚴(yán)格地確定了概念的內(nèi)涵。概念的內(nèi)涵和外延之間存在著反變的關(guān)系，即概念的內(nèi)涵增多，將導(dǎo)致外延的縮小，反之，概念外延的擴(kuò)大，也必然導(dǎo)致內(nèi)涵的減少。因此，需要引導(dǎo)學(xué)生從概念的內(nèi)涵和外延兩個(gè)方面來思辨明確概念，進(jìn)而形成概念的綜合心理圖式。

實(shí)踐證明，一個(gè)數(shù)學(xué)概念由“過程”到“對(duì)象”的建立有時(shí)是既困難又漫長的，需要充分的“活動(dòng)”作為建構(gòu)的直觀基礎(chǔ)，從“過程”到“對(duì)象”的抽象需要經(jīng)過多次的反復(fù)，循序漸進(jìn)，螺旋上升。圖式的形成往往并非是一種自覺的行為，而是滲透于整個(gè)學(xué)習(xí)的漸進(jìn)的建構(gòu)過程。

【參考文獻(xiàn)】

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