高超聲速飛行器快速平滑自適應(yīng)二階滑?？刂?/h1>
2020-12-15 01:14:36文成馀余朝軍
哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào) 2020年12期
文成馀，江 駒，余朝軍，朱 平
(先進(jìn)飛行器導(dǎo)航、控制與健康管理工業(yè)和信息化部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(南京航空航天大學(xué))，南京 210016)
高超聲速飛行器突防、偵察能力強(qiáng)，反應(yīng)時(shí)間短，飛行速度快，在軍事和民用領(lǐng)域有著眾多需求[1-2].但是由于其具有嚴(yán)重非線性、強(qiáng)耦合性、不確定性等特性，這給飛控系統(tǒng)的設(shè)計(jì)增加了難度，特別是在爬升段，飛行器要穿越對流層、平流層、中間層以及部分電離層，飛行速度從超聲速加速到高超聲速，不確定性因素[3]更多.
超螺旋滑?？刂扑惴╗4]因其具有強(qiáng)魯棒性且只需要知道滑模量的信息，無需知道其一階導(dǎo)數(shù)的信息等特性，已廣泛應(yīng)用于干擾估計(jì)[5]、極值搜索控制[6]、容錯控制[7]等相關(guān)領(lǐng)域.文獻(xiàn)[8]提出了一種快速超螺旋算法，通過在普通超螺旋算法中加入線性項(xiàng)，提高了算法的收斂速度，并基于此算法設(shè)計(jì)干擾觀測器對干擾連續(xù)估計(jì)和補(bǔ)償.文獻(xiàn)[9]同樣通過加入線性項(xiàng)來提升收斂速度，并在假設(shè)干擾上界未知的前提下，設(shè)計(jì)了一種新的自適應(yīng)律，提出一種新型的快速自適應(yīng)超螺旋算法.文獻(xiàn)[10-12]通過設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)參數(shù)既可增大又可減小的自適應(yīng)律，以解決參數(shù)過大估計(jì)問題.上述這些算法由于積分項(xiàng)中含有不連續(xù)的符號函數(shù)項(xiàng)，只可得到連續(xù)的控制輸入曲線，控制輸入不平滑，與傳統(tǒng)一階滑模相比，這些控制算法的確減小了抖振，但是并不能極大減小甚至消除抖振.2007年文獻(xiàn)[13]提出一種平滑的二階滑?？刂扑惴?，其主要思想就是在超螺旋算法的積分項(xiàng)中使用連續(xù)的函數(shù)，以此得到平滑的控制輸入，但是這種控制方法需要非線性觀測器來估計(jì)干擾，而且算法的收斂速度上還有提升的空間.
本文針對上述所存在的問題，提出一類新型的快速平滑自適應(yīng)超螺旋滑模控制算法.采用滑模微分器逼近反饋線性化過程中不準(zhǔn)確的量；控制律設(shè)計(jì)時(shí)，在普通超螺旋算法中增加線性項(xiàng)，并在積分項(xiàng)中使用連續(xù)的函數(shù)，以加快收斂速度且達(dá)到平滑控制的效果；最后，為避免參數(shù)過大估計(jì)，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)參數(shù)可增可減的自適應(yīng)律.
1 問題描述
1.1 動力學(xué)模型
高超聲速飛行器爬升段縱向動力學(xué)模型可以描述為：
(1)
式中：M為飛行器質(zhì)量；V為飛行速度；γ為航跡傾斜角；h為飛行高度；α為飛行迎角；q為俯仰角速率；Iyy為縱向轉(zhuǎn)動慣量；r=R+h為飛行器地心距，其中R為地球半徑；μ0=3.986×1014m3/s2為地球重力常數(shù)；g0為地表重力加速度；Isp為燃料比沖；L、D分別為飛行器升力、阻力；T為發(fā)動機(jī)推力；My為俯仰力矩；dv1、dγ、dq分別為模型不確定性、外部干擾等復(fù)合干擾.
1.2 發(fā)動機(jī)推力模型
高超聲速飛行器的推力模型可簡化為一個二階模型：
式中：βc為發(fā)動機(jī)節(jié)流閥的調(diào)定值；阻尼比ζ為0.7；固有頻率ωn為5.
推力系數(shù)以及燃料比沖公式為：
式中：CT為推力系數(shù)，Ma為馬赫數(shù).
1.3 空氣動力與動力矩
高超聲速飛行器的氣動力與氣動力矩可表示為：
式中：Sw為機(jī)翼浸潤面積；cA為平均氣動弦長；ρ為空氣密度；CT、CL、CD、CMy分別為推力、升力、阻力以及俯仰力矩系數(shù)，其均與α、Ma相關(guān)，具體值詳見文獻(xiàn)[14].
1.4 控制問題
1)由于高超聲速飛行器本身缺乏飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)等[15]問題，加上爬升的過程中，飛行速度、高度急劇增加，燃料大量消耗導(dǎo)致重心較寬范圍變化等因素，將會造成模型、參數(shù)等不確定性.本文主要研究高超聲速飛行器在爬升的過程中參數(shù)Sw，cA，Iy，ρ，CD,CM,CL存在攝動，且存在除參數(shù)不確定外的復(fù)合干擾時(shí)的軌跡控制問題.
2)抖振普遍存在于滑?？刂浦?，如何削弱抖振，將其抑制到極小范圍內(nèi)甚至消除，一直是控制領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題.二階超螺旋滑模將符號函數(shù)放到積分里，有效地抑制了抖振，但是并沒有消除抖振.假設(shè)某系統(tǒng)有如下控制算法:
(2)
式中：u為控制輸入;e為跟蹤誤差;k1、k2為控制參數(shù).由式(2)可知，雖然符號函數(shù)通過積分，使得控制輸入連續(xù)，但是不平滑，當(dāng)e在0附近變化時(shí)，控制輸入曲線會呈鋸齒狀.本文控制算法旨在既能將控制輸入平滑化，又能提升收斂速度.
2 精確反饋線性化
2.1 輸入/輸出反饋線性化
定義向量x=[V,γ,α,β,h,M]T，將V、h分別對時(shí)間求三次和四次微分，微分表達(dá)式中將出現(xiàn)控制輸入量，將其作為整體提取出來，可得：
(3)
2.2 滑模微分器
滑模微分器設(shè)計(jì)為
引理1[4,16]設(shè)f(t)=f0(t)是定義在[0,]上的函數(shù)，且有|f(n+1)|≤Sn，?t，其中Sn為已知正常數(shù).則在經(jīng)歷有限時(shí)間的瞬態(tài)過程后，有
根據(jù)引理1，選擇合適的參數(shù)，可以保證滑模微分器的狀態(tài)量在有限時(shí)間內(nèi)精確跟蹤速度和高度的各階導(dǎo)數(shù).
3 快速平滑自適應(yīng)二階滑模算法
3.1 積分滑模面
定義速度和高度的跟蹤誤差：
eV=V-Vd，eh=h-hd，
(4)
式中Vd、hd為指令信號.
為了保證穩(wěn)態(tài)跟蹤精度，選擇積分滑模面.根據(jù)式(3)，系統(tǒng)的相對階次分別為3和4，所以設(shè)計(jì)滑模面如下：
(5)
式中λV、λh為待設(shè)計(jì)參數(shù).
3.2 控制器結(jié)構(gòu)
快速平滑自適應(yīng)二階滑?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示.
圖1 總體控制結(jié)構(gòu)框圖
在圖1中，快速平滑二階滑?？刂坡煽稍O(shè)計(jì)為：
(6)
(7)
式中：自適應(yīng)律設(shè)計(jì)參數(shù)ω1,γ1>0，μ=[μ1μ2]，μ1、μ2為較小的正常數(shù).
根據(jù)式(3)、式(4)～(6)可計(jì)算得出閉環(huán)滑模面趨近動態(tài).鑒于滑模面sV和sh的趨近動態(tài)形式相同，下文省去下標(biāo)為s，其中aVi、bVi、ahi、bhi(i=1,2)，dv3，dh3同理，可得：
(8)
情況1當(dāng)m=2時(shí)，對比式(2)，該算法加入了線性項(xiàng)a1b2s、a2b2s，可保證|s|快速收斂到μ鄰域內(nèi)，但是該算法并不平滑.
情況2當(dāng)m>2時(shí)，不僅可保證快速收斂，且控制輸入式(6)的積分項(xiàng)中均是連續(xù)的函數(shù)項(xiàng)，故此時(shí)的控制輸入是平滑的.
3.3 收斂性證明
定理1對于包含被控系統(tǒng)(1)、控制律(6)、自適應(yīng)律(7)的閉環(huán)系統(tǒng)，若假設(shè)1滿足，則s在有限時(shí)間內(nèi)收斂于μ鄰域內(nèi).
定義類二次型Lyapunov函數(shù)為
(9)
對V求一階導(dǎo):
(10)
式中：
C=[-η1-η22].
則式(10)可為
(11)
令A(yù)和B-D均為正定矩陣，可解算得：
(12)
根據(jù)：
λmin(Q)‖ζ‖2≤ζTQζ≤λmax(Q)‖ζ‖2,
(13)
(14)
(15)
式中：
(16)
因此，在自適應(yīng)過程中，|s|可能在有限的時(shí)間(t3-t1)內(nèi)離開μ鄰域，并保證其始終停留于一個更大的鄰域μ1，即|s|≤μ1，下面估計(jì)μ1鄰域的界.
根據(jù)式(9)和式(11)，有
再根據(jù)不等式(13)，可將上述不等式化為
(17)
在|s(t1)|=μ的初始條件下，求解微分不等式(17)，可得到:
‖ζ(t)‖≤
上式可得到t2時(shí)刻‖ζ‖的最大值，為了估計(jì)此時(shí)|s|的最大值，令等式(14)中σ=0，可獲得|s(t2)|的最大估計(jì)值μ1=|s(‖ζ(t2)‖)|.
定理1得證.
4 數(shù)值仿真
4.1 仿真1
為驗(yàn)證滑模微分器對反饋線性化過程中非匹配不確定性的抑制作用，進(jìn)行仿真1. 仿真結(jié)果如圖3所示.
圖3 仿真1結(jié)果
為體現(xiàn)非匹配不確定性的影響效果，本文加入較大的不確定性及干擾，從仿真結(jié)果圖3可以看出，使用滑模微分器估計(jì)速度和高度各階導(dǎo)數(shù)的控制器，高度和速度輸出信號均能準(zhǔn)確地跟蹤上指令信號，而未使用滑模微分器的控制器在接近100 s時(shí)已經(jīng)發(fā)散，可知在存在較大不確定性及干擾的情況下，忽略反饋線性化過程中的非匹配不確定性，是不合理的，設(shè)計(jì)出的控制器可能無法達(dá)到預(yù)期控制效果.
4.2 仿真2
為驗(yàn)證本文控制算法既快速又平滑的特性，進(jìn)行仿真2，選擇3種控制器：1)選取m=4的快速且平滑的超螺旋滑?？刂?FSSTC)器；2)選取m=2的快速但不平滑的超螺旋滑模控制(FNSSTC)器；3)傳統(tǒng)超螺旋滑?？刂?STC)器.仿真結(jié)果如圖4所示.
圖4 仿真2結(jié)果
注本文的控制算法中引入了線性項(xiàng)，原理上收斂速度較傳統(tǒng)二階滑?？刂扑惴ㄒ?，但是設(shè)計(jì)自適應(yīng)律可能減小其收斂速度，又由于本文設(shè)計(jì)的自適應(yīng)律，其參數(shù)既可增大又可減小，不會造成參數(shù)過大估計(jì)，即可選取較大的初始值，保持更快收斂速度.
5 結(jié) 論
1)本文針對高超聲速飛行器爬升段的控制問題,提出了一種快速平滑的自適應(yīng)二階滑模控制算法.
2)鑒于反饋線性化過程中存在的非匹配不確定性，采用了滑模微分器來逼近反饋線性化模型中速度和高度的各階導(dǎo)數(shù)，同時(shí)為改善傳統(tǒng)超螺旋控制算法的收斂速度以及控制輸入平滑性，在其算法中加入了線性項(xiàng)，并將積分項(xiàng)中的符號函數(shù)項(xiàng)進(jìn)行了連續(xù)化.
3)仿真結(jié)果表明，加入滑模微分器后，成功消除了非匹配不確定性的影響，且該方法有較好的跟蹤性能，與傳統(tǒng)STC算法和FNSSTC算法相比，有更快的收斂速度，且控制輸入平滑，基本消除了抖振.
4)實(shí)際應(yīng)用中，控制輸入多為機(jī)械運(yùn)動，意味著控制輸入越平滑，則具有更好的工程實(shí)用價(jià)值.
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超螺旋滑?？刂扑惴╗4]因其具有強(qiáng)魯棒性且只需要知道滑模量的信息，無需知道其一階導(dǎo)數(shù)的信息等特性，已廣泛應(yīng)用于干擾估計(jì)[5]、極值搜索控制[6]、容錯控制[7]等相關(guān)領(lǐng)域.文獻(xiàn)[8]提出了一種快速超螺旋算法，通過在普通超螺旋算法中加入線性項(xiàng)，提高了算法的收斂速度，并基于此算法設(shè)計(jì)干擾觀測器對干擾連續(xù)估計(jì)和補(bǔ)償.文獻(xiàn)[9]同樣通過加入線性項(xiàng)來提升收斂速度，并在假設(shè)干擾上界未知的前提下，設(shè)計(jì)了一種新的自適應(yīng)律，提出一種新型的快速自適應(yīng)超螺旋算法.文獻(xiàn)[10-12]通過設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)參數(shù)既可增大又可減小的自適應(yīng)律，以解決參數(shù)過大估計(jì)問題.上述這些算法由于積分項(xiàng)中含有不連續(xù)的符號函數(shù)項(xiàng)，只可得到連續(xù)的控制輸入曲線，控制輸入不平滑，與傳統(tǒng)一階滑模相比，這些控制算法的確減小了抖振，但是并不能極大減小甚至消除抖振.2007年文獻(xiàn)[13]提出一種平滑的二階滑?？刂扑惴?，其主要思想就是在超螺旋算法的積分項(xiàng)中使用連續(xù)的函數(shù)，以此得到平滑的控制輸入，但是這種控制方法需要非線性觀測器來估計(jì)干擾，而且算法的收斂速度上還有提升的空間.
本文針對上述所存在的問題，提出一類新型的快速平滑自適應(yīng)超螺旋滑模控制算法.采用滑模微分器逼近反饋線性化過程中不準(zhǔn)確的量；控制律設(shè)計(jì)時(shí)，在普通超螺旋算法中增加線性項(xiàng)，并在積分項(xiàng)中使用連續(xù)的函數(shù)，以加快收斂速度且達(dá)到平滑控制的效果；最后，為避免參數(shù)過大估計(jì)，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)參數(shù)可增可減的自適應(yīng)律.
1 問題描述
1.1 動力學(xué)模型
高超聲速飛行器爬升段縱向動力學(xué)模型可以描述為：
(1)
式中：M為飛行器質(zhì)量；V為飛行速度；γ為航跡傾斜角；h為飛行高度；α為飛行迎角；q為俯仰角速率；Iyy為縱向轉(zhuǎn)動慣量；r=R+h為飛行器地心距，其中R為地球半徑；μ0=3.986×1014m3/s2為地球重力常數(shù)；g0為地表重力加速度；Isp為燃料比沖；L、D分別為飛行器升力、阻力；T為發(fā)動機(jī)推力；My為俯仰力矩；dv1、dγ、dq分別為模型不確定性、外部干擾等復(fù)合干擾.
1.2 發(fā)動機(jī)推力模型
高超聲速飛行器的推力模型可簡化為一個二階模型：
式中：βc為發(fā)動機(jī)節(jié)流閥的調(diào)定值；阻尼比ζ為0.7；固有頻率ωn為5.
推力系數(shù)以及燃料比沖公式為：
式中：CT為推力系數(shù)，Ma為馬赫數(shù).
1.3 空氣動力與動力矩
高超聲速飛行器的氣動力與氣動力矩可表示為：
式中：Sw為機(jī)翼浸潤面積；cA為平均氣動弦長；ρ為空氣密度；CT、CL、CD、CMy分別為推力、升力、阻力以及俯仰力矩系數(shù)，其均與α、Ma相關(guān)，具體值詳見文獻(xiàn)[14].
1.4 控制問題
1)由于高超聲速飛行器本身缺乏飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)等[15]問題，加上爬升的過程中，飛行速度、高度急劇增加，燃料大量消耗導(dǎo)致重心較寬范圍變化等因素，將會造成模型、參數(shù)等不確定性.本文主要研究高超聲速飛行器在爬升的過程中參數(shù)Sw，cA，Iy，ρ，CD,CM,CL存在攝動，且存在除參數(shù)不確定外的復(fù)合干擾時(shí)的軌跡控制問題.
2)抖振普遍存在于滑?？刂浦?，如何削弱抖振，將其抑制到極小范圍內(nèi)甚至消除，一直是控制領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題.二階超螺旋滑模將符號函數(shù)放到積分里，有效地抑制了抖振，但是并沒有消除抖振.假設(shè)某系統(tǒng)有如下控制算法:
(2)
式中：u為控制輸入;e為跟蹤誤差;k1、k2為控制參數(shù).由式(2)可知，雖然符號函數(shù)通過積分，使得控制輸入連續(xù)，但是不平滑，當(dāng)e在0附近變化時(shí)，控制輸入曲線會呈鋸齒狀.本文控制算法旨在既能將控制輸入平滑化，又能提升收斂速度.
2 精確反饋線性化
2.1 輸入/輸出反饋線性化
定義向量x=[V,γ,α,β,h,M]T，將V、h分別對時(shí)間求三次和四次微分，微分表達(dá)式中將出現(xiàn)控制輸入量，將其作為整體提取出來，可得：
(3)
2.2 滑模微分器
滑模微分器設(shè)計(jì)為
引理1[4,16]設(shè)f(t)=f0(t)是定義在[0,]上的函數(shù)，且有|f(n+1)|≤Sn，?t，其中Sn為已知正常數(shù).則在經(jīng)歷有限時(shí)間的瞬態(tài)過程后，有
根據(jù)引理1，選擇合適的參數(shù)，可以保證滑模微分器的狀態(tài)量在有限時(shí)間內(nèi)精確跟蹤速度和高度的各階導(dǎo)數(shù).
3 快速平滑自適應(yīng)二階滑模算法
3.1 積分滑模面
定義速度和高度的跟蹤誤差：
eV=V-Vd，eh=h-hd，
(4)
式中Vd、hd為指令信號.
為了保證穩(wěn)態(tài)跟蹤精度，選擇積分滑模面.根據(jù)式(3)，系統(tǒng)的相對階次分別為3和4，所以設(shè)計(jì)滑模面如下：
(5)
式中λV、λh為待設(shè)計(jì)參數(shù).
3.2 控制器結(jié)構(gòu)
快速平滑自適應(yīng)二階滑?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示.
圖1 總體控制結(jié)構(gòu)框圖
在圖1中，快速平滑二階滑?？刂坡煽稍O(shè)計(jì)為：
(6)
(7)
式中：自適應(yīng)律設(shè)計(jì)參數(shù)ω1,γ1>0，μ=[μ1μ2]，μ1、μ2為較小的正常數(shù).
根據(jù)式(3)、式(4)～(6)可計(jì)算得出閉環(huán)滑模面趨近動態(tài).鑒于滑模面sV和sh的趨近動態(tài)形式相同，下文省去下標(biāo)為s，其中aVi、bVi、ahi、bhi(i=1,2)，dv3，dh3同理，可得：
(8)
情況1當(dāng)m=2時(shí)，對比式(2)，該算法加入了線性項(xiàng)a1b2s、a2b2s，可保證|s|快速收斂到μ鄰域內(nèi)，但是該算法并不平滑.
情況2當(dāng)m>2時(shí)，不僅可保證快速收斂，且控制輸入式(6)的積分項(xiàng)中均是連續(xù)的函數(shù)項(xiàng)，故此時(shí)的控制輸入是平滑的.
3.3 收斂性證明
定理1對于包含被控系統(tǒng)(1)、控制律(6)、自適應(yīng)律(7)的閉環(huán)系統(tǒng)，若假設(shè)1滿足，則s在有限時(shí)間內(nèi)收斂于μ鄰域內(nèi).
定義類二次型Lyapunov函數(shù)為
(9)
對V求一階導(dǎo):
(10)
式中：
C=[-η1-η22].
則式(10)可為
(11)
令A(yù)和B-D均為正定矩陣，可解算得：
(12)
根據(jù)：
λmin(Q)‖ζ‖2≤ζTQζ≤λmax(Q)‖ζ‖2,
(13)
(14)
(15)
式中：
(16)
因此，在自適應(yīng)過程中，|s|可能在有限的時(shí)間(t3-t1)內(nèi)離開μ鄰域，并保證其始終停留于一個更大的鄰域μ1，即|s|≤μ1，下面估計(jì)μ1鄰域的界.
根據(jù)式(9)和式(11)，有
再根據(jù)不等式(13)，可將上述不等式化為
(17)
在|s(t1)|=μ的初始條件下，求解微分不等式(17)，可得到:
‖ζ(t)‖≤
上式可得到t2時(shí)刻‖ζ‖的最大值，為了估計(jì)此時(shí)|s|的最大值，令等式(14)中σ=0，可獲得|s(t2)|的最大估計(jì)值μ1=|s(‖ζ(t2)‖)|.
定理1得證.
4 數(shù)值仿真
4.1 仿真1
為驗(yàn)證滑模微分器對反饋線性化過程中非匹配不確定性的抑制作用，進(jìn)行仿真1. 仿真結(jié)果如圖3所示.
圖3 仿真1結(jié)果
為體現(xiàn)非匹配不確定性的影響效果，本文加入較大的不確定性及干擾，從仿真結(jié)果圖3可以看出，使用滑模微分器估計(jì)速度和高度各階導(dǎo)數(shù)的控制器，高度和速度輸出信號均能準(zhǔn)確地跟蹤上指令信號，而未使用滑模微分器的控制器在接近100 s時(shí)已經(jīng)發(fā)散，可知在存在較大不確定性及干擾的情況下，忽略反饋線性化過程中的非匹配不確定性，是不合理的，設(shè)計(jì)出的控制器可能無法達(dá)到預(yù)期控制效果.
4.2 仿真2
為驗(yàn)證本文控制算法既快速又平滑的特性，進(jìn)行仿真2，選擇3種控制器：1)選取m=4的快速且平滑的超螺旋滑?？刂?FSSTC)器；2)選取m=2的快速但不平滑的超螺旋滑模控制(FNSSTC)器；3)傳統(tǒng)超螺旋滑?？刂?STC)器.仿真結(jié)果如圖4所示.
圖4 仿真2結(jié)果
注本文的控制算法中引入了線性項(xiàng)，原理上收斂速度較傳統(tǒng)二階滑?？刂扑惴ㄒ?，但是設(shè)計(jì)自適應(yīng)律可能減小其收斂速度，又由于本文設(shè)計(jì)的自適應(yīng)律，其參數(shù)既可增大又可減小，不會造成參數(shù)過大估計(jì)，即可選取較大的初始值，保持更快收斂速度.
5 結(jié) 論
1)本文針對高超聲速飛行器爬升段的控制問題,提出了一種快速平滑的自適應(yīng)二階滑模控制算法.
2)鑒于反饋線性化過程中存在的非匹配不確定性，采用了滑模微分器來逼近反饋線性化模型中速度和高度的各階導(dǎo)數(shù)，同時(shí)為改善傳統(tǒng)超螺旋控制算法的收斂速度以及控制輸入平滑性，在其算法中加入了線性項(xiàng)，并將積分項(xiàng)中的符號函數(shù)項(xiàng)進(jìn)行了連續(xù)化.
3)仿真結(jié)果表明，加入滑模微分器后，成功消除了非匹配不確定性的影響，且該方法有較好的跟蹤性能，與傳統(tǒng)STC算法和FNSSTC算法相比，有更快的收斂速度，且控制輸入平滑，基本消除了抖振.
4)實(shí)際應(yīng)用中，控制輸入多為機(jī)械運(yùn)動，意味著控制輸入越平滑，則具有更好的工程實(shí)用價(jià)值.
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