李煜彥

(隴南師范高等專科學校 數(shù)信學院,甘肅 隴南742500)

0 引言

extending模的概念可以追溯到20世紀30年代von Neumann的工作,他對量子力學的興趣使他發(fā)展了“連續(xù)幾何學”.近年來,extending環(huán)和模的相關(guān)理論已在環(huán)模理論中占有重要地位.稱M 是extending模,如果M的任意子模是其直和因子的本質(zhì)子模.2012年,?eken和Alkan[1]從遺傳撓理論的角度引入τ-本質(zhì)子模和τ-extending模的概念,研究了任意子模都存在唯一的τ-閉包的模,并稱之為τ-UC模.2014年,Albu[2]利用τ-本質(zhì)子模證明了相對的 Ossofsky-Smith定理.2017年,?eken和Alkan[3]研究了τ-奇異模和非τ-奇異模,它是奇異模和非奇異模的真推廣,文中研究了A是B的τ-本質(zhì)子模與B/A是τ-奇異模之間的緊密關(guān)系.2011年至2019年期間,Asgari和Haghany[4-7]等人從Goldie撓理論的角度提出了τ-本質(zhì)子模的概念,分別研究了τ-extending模,τ-半單模,τ-連續(xù)模,τ-擬連續(xù)模等.2014年,Hatipoˇglu[8]研究了穩(wěn)定撓理論和單模的內(nèi)射包,給出了左單模的內(nèi)射包是局部Artinian的左Noetherian環(huán)的撓理論刻畫.文[1]中作者舉例說明了τ-閉子模不一定是閉子模,從而extending模未必是τ-extending模.一個自然的問題是,什么情況下τ-閉子模是閉子模? 這是一個值得研究的問題.本文以此為啟發(fā),從穩(wěn)定撓理論的角度對問題進行了研究.設(shè)τS表示穩(wěn)定撓理論,給出了τS-本質(zhì)子模的等價刻畫,討論了τS-閉子模和閉子模之間的關(guān)系,證明了K是M的τS-閉子模當且僅當K是M的包含τS(M)的閉子模.進而,給出了τS-extending模的等價刻畫,證明了M 是τS-extending模當且僅當M=τS(M)⊕M',其中M'是(τS-撓自由)extending模.本文中的環(huán)都是有單位元的結(jié)合環(huán),模指酉右R-模.除特別聲明外,撓理論均指穩(wěn)定撓理論.

設(shè)τ是遺傳撓理論,稱N是M的τ-本質(zhì)子模,是指對任意A≤M,若N∩A≤τ(M),則A≤τ(M),記為N?τM,此時也稱M是N的τ-本質(zhì)擴張.如果N沒有真τ-本質(zhì)擴張,則稱N是M的τ-閉子模,記為N≤tcM.設(shè)K,N≤M,稱K是N在M中的τ-補,如果K是{L≤M|L∩N≤τ(M)}中的極大元.稱M是τ-extending模,如果M的每個τ-閉子模是M的直和因子.稱撓理論是穩(wěn)定的,如果撓類關(guān)于內(nèi)射包封閉;等價地說,τ(M)是M的閉子模.用τ和τS分別表示遺傳撓理論和穩(wěn)定撓理論.用N≤M和N≤eM分別表示N是M的子模和N是M的本質(zhì)子模.

1 預備知識

引理1[1]設(shè)τ是任意的遺傳撓理論,則以下對模M成立:

(1)若N?τM,則對任意L≤M,都有N∩L?τN;

(2)若K?τK'≤M,L?τL'≤M,則K∩L?τK'∩L';

(3)設(shè){Ai}i∈I和{Bi}i∈I分別是M的相互獨立的子模族.則⊕IAi?τ⊕IBi當且僅當對任意i∈I,Ai?τBi;

(4)設(shè)f:M→N是R-同態(tài)映射.若W?τN,則f-1(W)?τM.

引理2[9]設(shè)C≤M,則以下等價:(1)C是M的補子模;(2)C是M的閉子模;(3)存在E(M)的直和因子X,使得C=X∩M.

引理3[10]設(shè)A,B≤M.則A是B在M中的補當且僅當A∩B=0,且A⊕B≤eM.

引理4 設(shè)M=M1⊕M2,A,B≤M1.則A是B在M1中的補,當且僅當A⊕M2是B在M中的補.

證明:必要性.設(shè)A是B在M1中的補,則由引理3知,A∩B=0,且A⊕B≤eM1.于是(A⊕M2)∩B=0,(A⊕M2)⊕B=(A⊕B)⊕M2≤eM1⊕M2=M.因此A⊕M2是B在M中的補.

充分性.與必要性的證明是類似的.

引理5[1]設(shè)M=M1⊕M2,A,B≤M1.則A是B在M1中的τ-補,當且僅當A⊕M2是B在M中的τ-補.

2 主要結(jié)論

下面給出τS-本質(zhì)子模的等價條件.

性質(zhì)1 設(shè)N≤M,考慮以下條件:

(1)N≤τSM;

(2)對任意m∈MτS(M),存在r∈RτS(R),使得mr∈NτS(N);

(3)(N+τS(M))/τS(M)≤eM/τS(M);

(4)N+τS(M)≤eM.

證明 :(1)?(2)由引理1得證.

(1)?(3)由文獻[11]性質(zhì)2.2得證.

(3)?(4)由文獻[12]性質(zhì)1.5得證.

(4)?(3)因為τS是穩(wěn)定的撓理論,所以τS(M)是M的閉子模,由文獻[12]性質(zhì)1.10知,若N+τ(M)≤eM,則

(N+τS(M))/τS(M)≤eM/τS(M).

下面例子說明,對于任意遺傳撓理論τ,τ-閉子模不一定是閉子模.

一個自然的問題是,什么情況下τ-閉子模是閉子模.下面結(jié)論表明,當τ是穩(wěn)定撓理論τS時,τS-閉子模是閉子模.

定理1 設(shè)K≤M,則以下等價:

(1)K是M的τS-補子模;

(2)K在M中是τS-閉的;

(3)τS(M)≤K,且K/τS(M)在M/τS(M)中是閉的;

(4)τS(M)≤K,且K在M中是閉的;

(5)K是M的一個τS-撓自由子模的補.

證明:(1)?(2)由文[1]性質(zhì)2.11得證.

(2)?(3)設(shè)K在M中是τS-閉的,則由文[1]知,K在M中是τS-純的.所以τS(M)=τS(K)≤K.

設(shè)存在L≤M,使得K/τS(M)≤eL/τS(M).由性質(zhì)1知,K?τSL,因此K=L.從而K/τS(M)=L/τS(M).

(3)?(4)設(shè)存在L≤M,使得K≤eL.由于τS(M)≤K,且τS(M)在M中是閉的,由[12]知,K/τS(M)≤eL/τS(M).因此由(3)知K/τS(M)=L/τS(M),從而K=L.

(4)?(5)設(shè)τS(M)≤K,且K在M中是閉的.由引理2知,存在E(M)的直和因子X和Y,使得K=X∩M,E(M)=X⊕Y.令H=M∩Y,則K∩H=0.于是τS(H)=H∩τS(M)?H∩K=0,故H是M的一個τS-撓自由子模.由引理2中(3)?(1)的證明過程可得,K是H在M中的補.

(5)?(2)設(shè)W≤M,τS(W)=0,且K是W在M中的補.設(shè)存在K'≤M,使得K?τSK'.下證K=K'.因為τS(W)=W∩τS(M)=0,所以τS(M)≤K.于是由性質(zhì)1知,K≤eK'.從而K=K'.

由定理1知,τS-閉子模的是閉子模,故extending模是τS-extending模.下面給出τS-extending模的等價刻畫.

定理2 以下對模M等價:

(1)M是τS-extending模;

(2)M=τS(M)⊕M',其中M'是(τS-撓自由)extending模;

(3)M的包含τS(M)的任意子模是其直和因子的本質(zhì)子模;

(4)對M的任意子模H,存在M的直和因子K,使得H?τSK.

證明:(1)?(2)設(shè)M是τS-extending模.因為τS(M)是M的τS-閉子模,所以存在M的直和因子M',使得M=τS(M)⊕M'.由于M'?M/τS(M),故M'是τS-撓自由的.

下面只需證M'是extending模.

設(shè)K是M'的閉子模.由引理4知,τS(M)⊕K是M的閉子模.于是由性質(zhì)1知,τS(M)⊕K是M的τ-閉子模.因此存在M的子模N,使得M=(τS(M)⊕K)⊕N.從而M'=M'∩ ((τS(M)⊕K)⊕N)=K⊕(M'∩(τS(M)⊕N)),即K是M'的直和因子.因此M'是extending模.

(2)?(3)設(shè)N≤M,且τS(M)≤N.則N=N∩(τS(M)⊕M')=τS(M)⊕(N∩M').故存在M'的直和因子L,使得N∩M'≤eL.因此N=τS(M)⊕(N∩M')≤eτS(M)⊕L,而τS(M)⊕L是M的直和因子,所以結(jié)論成立.

(3)?(4)設(shè)H≤M,由(3)知,存在M的直和因子K,使得τS(M)+H≤eK.由性質(zhì)1知,H?τSK.

(4)?(1)由[1]引理3.2得證.

下面給出幾個τS-extending模的例子.

例2由于任意撓自由有限生成Z-模是extending模,故由定理2可知,任意撓自由有限生成Z-模是τS-extending模.

例3設(shè)M是R-模.因為M/τS(M)是τS-撓自由的,內(nèi)射模是extending模,所以E(M/τS(M))是τS-撓自由的extending模.從而由定理2知,E(M/τS(M))⊕τS(M)是τS-extending模.

下面結(jié)論說明τS-extending性質(zhì)關(guān)于直和因子和τS-閉子模是遺傳的.

性質(zhì)2 設(shè)M是τS-extending模,則以下結(jié)論成立:

(1)M的任意直和因子是τS-extending模;

(2)M的任意τS-閉子模是τS-extending模.

證明:(1)設(shè)N是M的直和因子,L是N的τS-閉子模.不妨設(shè)M=N⊕N',由引理5知,L⊕N'是M的τS-閉子模,所以L⊕N'是M的直和因子.故L是N的直和因子,從而N是τS-extending模.

(2)顯然的.

設(shè)M,N是R-模.稱N是M-jective的,如果N在M⊕N中的任意補是M⊕N的直和因子.由[13]知,M=M1⊕M2是extending模當且僅當對任意i≠j∈{1,2},Mi是extending模且Mj-jective的.類似地,下面給extending模與τS-extending模之間的一個關(guān)系.

性質(zhì)3 M=τS(M)⊕N是extending模當且僅當M是τS-extending模,τS(M)是extending模以及τS(M)是N-jective的.

證明:必要性.設(shè)M=τS(M)⊕N是extending模,易知M是τS-extending模,τS(M)是extending模.設(shè)K是τS(M)在M中的補,則K是M的閉子模,故K是M的直和因子.從而τS(M)是N-jective的.

充分性.設(shè)M是τS-extending模,則由定理2知,M=τS(M)⊕N,其中N是extending模.下面只需證N是τS(M)-jective的.設(shè)L是N在M中的補,則τS(M)≤L.由定理1知,L是M的τS-閉子模.所以L是M的直和因子.從而N是τS(M)-jective的.