金 劍，高雅碩

（河北大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，河北 保定071002）

一、引言

鄧聚龍教授于1982 年提出了灰色系統(tǒng)理論，將灰色系統(tǒng)定義為同時包含已知信息和未知信息的系統(tǒng)（Deng，1982）[1]，這為后來的灰色模型（Grey Model，GM）構(gòu)建奠定了理論基礎(chǔ)。與其他預(yù)測模型相比，灰色預(yù)測模型對樣本量較少、分布未知的數(shù)據(jù)預(yù)測準(zhǔn)確性更高。傳統(tǒng)的GM（1，1）模型即一階單變量灰色預(yù)測模型已經(jīng)在經(jīng)濟(jì)、社會、生態(tài)、醫(yī)療等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，但該模型對于千變?nèi)f化的數(shù)據(jù)來說是存在缺陷的。近年來，學(xué)者們依據(jù)不同領(lǐng)域數(shù)據(jù)的特征，將傳統(tǒng)的灰色預(yù)測模型與其他模型結(jié)合起來建立組合模型，大大提高了預(yù)測精度，如混合灰色模型、灰色動態(tài)模型、灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型等。

目前，以灰色系統(tǒng)理論為基礎(chǔ)的預(yù)測方法在經(jīng)濟(jì)活動和自然科學(xué)等領(lǐng)域的運(yùn)用已逐漸成熟。與其他模型相比，在小樣本、數(shù)據(jù)分布未知的情況下，灰色預(yù)測模型有著特殊的優(yōu)勢。鑒于以往的研究對方法改進(jìn)關(guān)注較多，而對數(shù)據(jù)的關(guān)注較少，也未探究灰色預(yù)測模型為何適用于小樣本預(yù)測，為了彌補(bǔ)已有研究的不足，本文以河北省城鎮(zhèn)居民實(shí)際人均可支配收入為例，對不同長度的樣本分別建立GM（1，1）模型，比較其預(yù)測效果，探究樣本長度對模型預(yù)測性能的影響，并基于合適的樣本長度建立模型，預(yù)測未來幾年河北省城鎮(zhèn)居民實(shí)際人均可支配收入的變化趨勢。這不僅為灰色預(yù)測模型研究提供了一定的理論支撐，也為今后的模型應(yīng)用提供了方法指導(dǎo)。

二、文獻(xiàn)綜述

灰色預(yù)測是對既含有確定信息、又含有不確定信息的系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測的方法，該方法已在醫(yī)療、經(jīng)濟(jì)及人力資本等諸多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用（Guo et al.，2014；Zhang et al.，2017；Hu，2017；Yin and Tang，2013）[2-5]。由于傳統(tǒng)模型存在缺陷，學(xué)者們將傳統(tǒng)的灰色預(yù)測理論與其他方法或理論結(jié)合起來構(gòu)建了新的模型。為了有效解決信息量較少的問題，Wang 等（2014）[6]將灰色理論與自助法相結(jié)合，提出了動態(tài)自助灰色預(yù)測方法（DBGM）。為了減少數(shù)據(jù)波動的影響，Wu 等（2016）[7]在模型中添加了時間的權(quán)重，提出了基于時變加權(quán)的灰色模型（WGM）。為了改善背景值的平滑效果，楊孝良（2018）[8]提出了基于三參數(shù)的背景值構(gòu)造方法，弱化了極端數(shù)據(jù)對預(yù)測性能的影響。此外，還有一些學(xué)者提出了預(yù)測季節(jié)波動序列的灰色建模方法DGGM（1，1）（Wang et al.，2017）[9]以及預(yù)測單峰序列或波動序列的融合自憶性原理的GM（1，1）冪模型（Guo et al.，2014）[2]。

目前，灰色預(yù)測法已經(jīng)從傳統(tǒng)的單一模型演變?yōu)榘鄠€模型的復(fù)雜方法體系，模型的預(yù)測精度不斷提高，而且衍生的灰色預(yù)測模型很好地解決了小樣本問題。然而，學(xué)者們在實(shí)證研究中使用的樣本長度是完全不同的。例如，Wu 等（2016）[7]使用長度為4、10、14 的樣本建立模型，Hu（2017）[4]使用長度為4 的樣本進(jìn)行滾動預(yù)測，Yin 和Tang（2013）[5]使用的是長度為22 的樣本，Wang 等（2017）[9]則使用了11 年的季度數(shù)據(jù)擬合模型，樣本長度達(dá)到43 個（第一年缺少第一季度的數(shù)據(jù)）?？梢姡F(xiàn)有研究主要關(guān)注模型對某一樣本的擬合程度和預(yù)測精度，很少關(guān)注選用的樣本長度是否恰當(dāng)，而實(shí)證中樣本長度的選擇由于受研究者的主觀影響或是數(shù)據(jù)可得性的限制，尚缺乏科學(xué)的依據(jù)和理論支撐。

樣本長度對模型的預(yù)測能力是有影響的，樣本量過多或過少都會影響模型的預(yù)測精度。Wu 等（2013）[10]利用矩陣攝動理論解釋了灰色預(yù)測應(yīng)使用小樣本的原因，并在不同的案例中分別使用長度為4 至9 以及14 的樣本建立模型，發(fā)現(xiàn)長度為4 的樣本預(yù)測效果較好，從而得出小樣本的GM（1，1）模型具有更高預(yù)測精度的結(jié)論。但是，Wu 等選取的樣本長度仍然不夠。為了彌補(bǔ)不足，本文以河北省城鎮(zhèn)居民實(shí)際人均可支配收入為例，增加樣本長度，研究不同的樣本長度對灰色預(yù)測模型GM（1，1）預(yù)測性能的影響，并選取合適長度的樣本建立模型，預(yù)測未來河北省城鎮(zhèn)居民實(shí)際人均可支配收入的發(fā)展趨勢。

與現(xiàn)有文獻(xiàn)相比，本文的貢獻(xiàn)主要體現(xiàn)在以下方面：一是利用R 軟件編寫了GM（1，1）模型的自編函數(shù)，在較短時間內(nèi)建立了多個GM（1，1）模型，提高了建模效率，克服了目前缺乏適合灰色預(yù)測建模軟件的缺陷；二是針對長度為3～35 的樣本分別建立了GM（1，1）模型，并對這33 個模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)模型的預(yù)測性能與樣本長度之間的關(guān)系是，隨著樣本長度的增加，模型預(yù)測的相對誤差并未呈現(xiàn)增加或減少的趨勢，而是呈現(xiàn)上下波動的周期性變化特征；三是根據(jù)預(yù)測誤差波動的幅度及樣本的預(yù)測結(jié)果，證實(shí)了GM（1，1）模型適合于較小樣本的預(yù)測，而對較大樣本的預(yù)測效果較差，這為以往研究提出的灰色預(yù)測模型適合小樣本的論斷提供了有力證據(jù)和理論支撐；四是通過比較不同樣本的多步預(yù)測結(jié)果，提出適合建立GM（1，1）模型的樣本長度，為灰色預(yù)測模型的使用提供了指導(dǎo)建議。

三、模型和數(shù)據(jù)

（一）GM（1，1）模型及評估方法

GM（1，1）模型是從原始數(shù)據(jù)中找出規(guī)律，針對生成數(shù)據(jù)建立灰色微分方程的一階單變量灰色時間序列預(yù)測方法。GM（1，1）括號中的第一個參數(shù)代表階數(shù)，第二個參數(shù)代表變量個數(shù)。該模型不需考慮相關(guān)因素對系統(tǒng)發(fā)展趨勢的影響，建模過程較為簡單（吳華安等，2018）[11]。模型應(yīng)用是以灰色系統(tǒng)理論為基礎(chǔ)，即由非負(fù)的原始數(shù)據(jù)累加生成的序列可以減少隨機(jī)因素的影響，故采用這種方法可以針對生成數(shù)據(jù)構(gòu)建模型。假定原始數(shù)據(jù)是長度為m 的時間序列：

我們分別將式（1）中的每個元素累加，得到生成列：

我們將式（2）序列每對相鄰的兩個元素相加，生成緊鄰均值序列：

根據(jù)式（1）和式（3），我們構(gòu)建了GM（1，1）模型的灰微分方程，公式如下：

其中，a 稱為發(fā)展灰數(shù)，b 稱為內(nèi)生控制灰數(shù)。當(dāng)-a≤0.3 時，模型的預(yù)測精度較高。

在X(0)（k）和Z(1)（k）已知的情況下，式（4）即為典型的一元線性回歸模型。因此，我們可以利用最小二乘法求解未知參數(shù)a、b，計(jì)算過程如式（5）、（6）所示：

就式（4）而言，如果將k 定義為連續(xù)變量t，則灰微分方程的白化方程為：

對式（7）求解并將連續(xù)變量t 轉(zhuǎn)換為原來的離散變量k，我們可以得到：

由于X(1)是序列X(0)的一次累加生成列，對預(yù)測序列X^(1)進(jìn)行逆運(yùn)算，即將相鄰兩個元素相減，我們就可得到預(yù)測序列X^(0)：

其中，X^(0)（1）=X(0)（1）。從式（9）中可以看出，GM（1，1）模型的預(yù)測序列是關(guān)于k 的指數(shù)型序列，適用于預(yù)測指數(shù)型的時間序列，但該模型對其他特征數(shù)據(jù)的預(yù)測存在一定的缺陷。因此，在傳統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上，新的灰色預(yù)測模型不斷衍生出來。

GM（1，1）模型的評估分為內(nèi)部評估和外部評估兩部分，內(nèi)部評估使用單個模型擬合程度的評價指標(biāo)，外部評估則需使用比較不同模型的評價指標(biāo)。

1.內(nèi)部評估。內(nèi)部評估的指標(biāo)有很多，如關(guān)聯(lián)度、平均相對誤差、均方差比值和小誤差概率等。

平均相對誤差是根據(jù)模型的擬合值和實(shí)際值計(jì)算得出的，即首先需要求出模型的絕對誤差序列：

將式（10）除以原始序列，即可得到相對誤差序列：

將相對誤差序列求取均值，即為平均相對誤差序列：

均方差比值是原始序列與絕對誤差序列的標(biāo)準(zhǔn)差之比，它反映了殘差的分布特性。均方差比值的計(jì)算方法是先求得原始序列和絕對誤差序列的標(biāo)準(zhǔn)差：

計(jì)算式（13）中兩個標(biāo)準(zhǔn)差之比，即可得出均方差比值：

根據(jù)式（10）的絕對誤差序列和式（13）的原始序列標(biāo)準(zhǔn)差，我們可以計(jì)算出小誤差概率：

小誤差概率是常用的GM 模型檢驗(yàn)指標(biāo)，其取值越大越好。

關(guān)聯(lián)度常用來分析不同序列之間的相似程度，以判斷不同序列之間的緊密性（沈頌東和亢秀秋，2018）[12]，利用關(guān)聯(lián)度可以判斷模型預(yù)測序列的擬合程度。關(guān)聯(lián)度的計(jì)算方法是先求出原始序列與擬合序列相應(yīng)元素之間的關(guān)聯(lián)系數(shù)，其公式如下：

計(jì)算上述關(guān)聯(lián)系數(shù)序列的均值，可以得出如下關(guān)聯(lián)度公式：

為了避免量綱的影響，關(guān)聯(lián)度的計(jì)算需要將每個序列初始化，即序列中的所有元素都要除以第一個元素。由于GM（1，1）模型的擬合序列與原始序列的第一個元素相同，故不需要進(jìn)行初始化。此外，當(dāng)ρ=0.5，關(guān)聯(lián)度大于0.6 時，模型是令人滿意的。

在上述指標(biāo)中，平均相對誤差和均方差比值是越小越好，而關(guān)聯(lián)度和小誤差概率是越大越好。通常來說，GM（1，1）模型的精度等級可以根據(jù)均方差比值和小誤差概率來評定，如表1 所示。

表1 GM（1，1）模型的精度等級評定

2. 外部評估。外部評估主要是比較不同的GM（1，1）模型的預(yù)測性能，即根據(jù)每個模型的預(yù)測結(jié)果，計(jì)算出模型的平均絕對百分比誤差（Mean absolute percentage error，MAPE）。MAPE 實(shí)際上是以百分比形式表示的平均相對誤差。為了便于區(qū)分，本文所說的平均相對誤差均為樣本內(nèi)誤差，是根據(jù)模型擬合值和實(shí)際值計(jì)算的，而MAPE 是指樣本外誤差，是根據(jù)模型的預(yù)測值和實(shí)際值計(jì)算得出的，即在式（11）的基礎(chǔ)上乘以100%，再計(jì)算其均值，即可得到MAPE。

（二）數(shù)據(jù)來源及處理

本文的數(shù)據(jù)來源于2018 年的《河北經(jīng)濟(jì)年鑒》以及國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)。我們對河北省城鎮(zhèn)居民人均可支配收入及其指數(shù)（1978=100）進(jìn)行計(jì)算，表2 即為以1978 年為基期的城鎮(zhèn)居民實(shí)際人均可支配收入。由于灰色預(yù)測模型適用于短期預(yù)測，故本文只研究GM（1，1）模型1～5 步的預(yù)測性能。為了便于比較，本文將數(shù)據(jù)分為兩個部分，即1978—2012 年為訓(xùn)練集，2013—2017 年為測試集。我們首先在訓(xùn)練集中提取不同長度的子集建立GM（1，1）模型，預(yù)測2013—2017 年的數(shù)據(jù)，然后計(jì)算每個模型的各項(xiàng)評估指標(biāo)，比較各模型的擬合程度和預(yù)測性能，最后根據(jù)分析結(jié)果，以1978—2017 年為訓(xùn)練集，從中選取合適長度的樣本對未來實(shí)際人均可支配收入的發(fā)展趨勢進(jìn)行預(yù)測。

受數(shù)據(jù)可得性的影響，本文的樣本長度最多為35 個，即利用1978—2012 年的全部數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測。樣本長度不夠會給預(yù)測方程的建立帶來困難，最少也得有3 個，即包括2009—2011 年的數(shù)據(jù)。因此，本文涉及的樣本長度為3～35 個，分別對應(yīng)2010—2012 年、2009—2012 年、2008—2012 年、……1978—2012 年的數(shù)據(jù)，通過建立GM（1，1）模型預(yù)測2013—2017 年的城鎮(zhèn)居民實(shí)際人均可支配收入。表2 中的第三列和第六列為實(shí)際收入序列的級比序列，即當(dāng)年的實(shí)際收入除以上年的實(shí)際收入?？梢钥闯?，級比序列中各元素的值相差不大，介于1.00～1.37 之間，說明1978—2017 年的河北省城鎮(zhèn)居民實(shí)際人均可支配收入呈現(xiàn)指數(shù)增長。

表2 河北省城鎮(zhèn)居民實(shí)際人均可支配收入（1978 年為基期）

四、實(shí)證結(jié)果

本文涉及的樣本長度為3～35 個，這就需要構(gòu)建33 個GM（1，1）模型。R 軟件能夠減少大量重復(fù)運(yùn)算并快速得到結(jié)果，根據(jù)公式（1）至公式（16），本文利用R 軟件創(chuàng)建了GM（1，1）模型的自編函數(shù)，得到不同樣本的擬合結(jié)果（見表3）?？梢钥闯?，發(fā)展灰數(shù)a的絕對值在0.106～0.123 之間，小于0.3，說明GM（1，1）模型是有意義的，可以用于預(yù)測。隨著樣本長度的增加，內(nèi)生控制灰數(shù)下降幅度較大，從14 125.6降到537.0，下降了96.20%。通過比較發(fā)展灰數(shù)和內(nèi)生控制灰數(shù)的變化范圍，本文發(fā)現(xiàn)樣本長度對模型內(nèi)生控制灰數(shù)的影響較大，對發(fā)展灰數(shù)的影響較小。

本文根據(jù)模型的內(nèi)部評估指標(biāo)評價模型的擬合程度，發(fā)現(xiàn)關(guān)聯(lián)度普遍不高，僅在0.557～0.699 之間，當(dāng)樣本長度為5～8、10～14、26～35 時，模型的關(guān)聯(lián)度才會大于0.6。除關(guān)聯(lián)度以外，其他指標(biāo)的結(jié)果較好。隨著樣本長度的增加，均方差比值大致呈現(xiàn)上升趨勢，從0.007 增加到0.236，小于0.35，而小誤差概率均為1。表1 的結(jié)果說明，GM（1，1）模型的精度等級為優(yōu)，即本文針對不同樣本建立的GM（1，1）模型是合理的。

通過比較各模型的平均相對誤差，本文發(fā)現(xiàn)，隨著樣本長度的增加，平均相對誤差越來越大。當(dāng)樣本長度在7 以下時，平均相對誤差在1%以內(nèi)，長度為8～15 的樣本平均相對誤差在5%以內(nèi)，而當(dāng)樣本長度大于24 時，平均相對誤差大于10%，長度為35 時的平均相對誤差甚至達(dá)到39.97%。模型的擬合結(jié)果說明，樣本長度越小，模型的樣本內(nèi)誤差就越小，擬合程度也越高。

表3 各樣本的GM（1，1）模型結(jié)果

本文對各模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行了比較。由于數(shù)據(jù)較多，為了更好地反映數(shù)據(jù)的分布特征，我們將數(shù)據(jù)以可視化的形式展現(xiàn)出來。根據(jù)公式（11），結(jié)合2013—2017 年模型的預(yù)測值和實(shí)際值，我們計(jì)算出每個模型的預(yù)測相對誤差序列（以百分比表示），分別繪出該序列中每一個元素的預(yù)測相對誤差與樣本長度之間的關(guān)系，如圖1 所示。

圖1 樣本長度與各年預(yù)測值相對誤差的關(guān)系

圖1的橫軸代表樣本長度，縱軸代表各年的預(yù)測相對誤差（單位為%，下同）。圖中不同的符號代表一定范圍的相對誤差，圓點(diǎn)代表相對誤差在（0%，2%）之間，三角代表相對誤差在（2%，5%）之間，加號代表相對誤差在5%及以上?？梢钥闯觯c表3 的平均相對誤差不同，各年預(yù)測相對誤差與樣本長度呈現(xiàn)非線性關(guān)系。與長度為15 以上的較大樣本相比，基于長度在15 以下的較小樣本建立的GM（1，1）模型，其預(yù)測相對誤差較為穩(wěn)定（為了便于說明，下文的較小樣本均指長度在15 以下的樣本，較大樣本均指長度在15 以上的樣本）。具體來看，隨著樣本長度的增加，預(yù)測相對誤差的變化呈現(xiàn)上下波動的趨勢。樣本長度超過30 之后，預(yù)測的相對誤差急劇增大。

從每次波動的最低點(diǎn)（波谷）來看，各年波谷出現(xiàn)的位置并不相同?？偟膩碚f，以各年預(yù)測值相對誤差為依據(jù)，2013—2015 年長度在15 以下及29 左右的樣本預(yù)測相對誤差較小，而2016—2017 年長度為17～26 的樣本預(yù)測相對誤差較小。對于長度在15 以下的樣本而言，2013—2015 年的相對誤差變動曲線較為平緩，2014 年和2015 年的預(yù)測誤差較小，2016—2017 年則出現(xiàn)波峰，超過了10%。對于長度在15～25 之間的樣本而言，隨著年份的增加，波峰越來越低，變動的幅度也越來越小，特別是在2016 年和2017 年，相對誤差大多在5%以下。對于長度在25 以上的樣本而言，隨著年份的增加，波谷出現(xiàn)的位置越來越靠近長度較小的樣本，2013 年的波谷在長度為30 的位置，2016 年的波谷則出現(xiàn)在長度為25 的位置。

根據(jù)不同樣本長度下各模型的預(yù)測相對誤差序列，本文分別計(jì)算了不同預(yù)測步長下的平均絕對百分比誤差MAPE，并針對每個步長繪出各模型MAPE與樣本長度之間的關(guān)系，如圖2 所示（圖2 中各符號的含義同圖1）?？梢钥闯觯S著樣本長度的增加，各步長預(yù)測的MAPE 變化與圖1 的趨勢大致相同，當(dāng)樣本長度超過30 之后，MAPE 急劇增大，而在長度為30 以下的樣本中，隨著步長的增加，MAPE 曲線越來越平緩。觀察多步預(yù)測中MAPE 在5%以下的樣本可以發(fā)現(xiàn)，三步和四步的預(yù)測效果最好，其次是二步，而一步和五步的預(yù)測效果最差。與其他長度的樣本相比，各步在長度為15 以下的樣本中，MAPE變化較為平緩，預(yù)測效果較好，而在長度為15 以上的樣本中，MAPE 變化較大，僅長度為29 左右的樣本預(yù)測效果較好。因此，長度在15 以下的較小樣本更適合建立灰色預(yù)測模型。

觀察圖1 和圖2 可以確定，GM（1，1）模型的預(yù)測性能與樣本長度之間的關(guān)系是非線性的，即隨著樣本長度的增加，模型預(yù)測性能在上下波動，且波動幅度越來越大。這進(jìn)一步表明，與較大樣本相比，GM（1，1）模型對較小樣本的預(yù)測能力是較好的。在較大樣本中，基于長度為29 左右的樣本建立的模型預(yù)測效果較好。長度為30 樣本的一步預(yù)測和二步預(yù)測MAPE 甚至在2%以下，其預(yù)測性能超過部分較小樣本的預(yù)測性能（圖2）。但表3 的結(jié)果顯示，在這一范圍內(nèi)，各模型的樣本內(nèi)誤差即平均相對誤差較大，均在10%以上，說明模型對原始序列的擬合較差。這也證明模型的外推能力與擬合程度并不是正相關(guān)的，外推能力較好的模型對原始序列的擬合并不一定表現(xiàn)更好。圖1 也顯示，在這一區(qū)間內(nèi)，各模型對各年的預(yù)測相對誤差變化較大，如長度為29 的樣本在2013—2015 年的相對誤差較小，但其在2016—2017年的相對誤差卻較大。

圖2 樣本長度與預(yù)測步長的平均絕對百分比誤差之間的關(guān)系

以上結(jié)果表明，GM（1，1）模型盡管在部分較大樣本中能夠取得較好的預(yù)測效果，但其并不穩(wěn)定，因此，該模型不適合較大樣本的預(yù)測，其僅對長度為15 以下的較小樣本預(yù)測效果較好。結(jié)合圖1 和圖2，本文試圖找出最適合建立GM（1，1）模型的樣本長度。首先，GM（1，1）模型適合于三步預(yù)測。圖1 中，2013—2015 年的小樣本預(yù)測效果較好，而2016—2017 年的預(yù)測效果較差。圖2 中，二步和三步預(yù)測的效果較好，而四步預(yù)測的MAPE 盡管較小，但2016年的相對誤差較大。其次，對于長度為8～13 的樣本，圖2 中一步、二步和三步預(yù)測的MAPE 較小，而圖1中2013 年和2014 年的預(yù)測相對誤差較小，2015 年的預(yù)測相對誤差雖然不如長度為8 以下樣本的相對誤差小，但這一區(qū)間長度的樣本誤差均在5%以下。因此，GM（1，1）模型適合采用長度為8～13 的樣本進(jìn)行三步以內(nèi)的預(yù)測。

五、模型的應(yīng)用

由前文的分析可知，長度為8～13 的樣本適用于三步預(yù)測，特別是長度為9 的樣本三步預(yù)測效果最好。因此，本文選用長度為9 的樣本預(yù)測河北省2018—2020 年的城鎮(zhèn)居民實(shí)際收入。結(jié)果顯示，其灰色微分方程的解為：

模型的發(fā)展灰數(shù)絕對值為0.097，小于0.3，說明GM（1，1）模型是有意義的。模型的內(nèi)部評估指標(biāo)顯示，關(guān)聯(lián)度為0.535，均方差比值為0.067，小誤差概率為1，樣本內(nèi)平均相對誤差為3.22%，說明模型的精度等級為優(yōu)。根據(jù)公式（19）進(jìn)行三步預(yù)測，計(jì)算k=9～11 的值，得出的預(yù)測結(jié)果即為以1978 年為基期的實(shí)際人均可支配收入，將其換算成以2017 年為基期的結(jié)果如表4 所示?？梢钥闯?，以2017 年為基期，未來三年的城鎮(zhèn)居民實(shí)際人均可支配收入將繼續(xù)增長，各年的增長率超過10%，2020 年的人均收入將超過40 000 元。2018 年的增長率也很高，達(dá)到13.50%，之后增長率穩(wěn)定在10%左右。

圖3 1978—2020 年河北省城鎮(zhèn)居民實(shí)際人均可支配收入

圖3是模型的預(yù)測結(jié)果，曲線是由模型的擬合值和預(yù)測值連接構(gòu)成的，即公式（19）所表達(dá)的指數(shù)曲線?？梢钥闯?，各點(diǎn)對曲線的偏離程度較低，說明GM（1，1）模型較好地?cái)M合了城鎮(zhèn)居民實(shí)際人均可支配收入的變化趨勢。

表4 2018—2020 年河北省城鎮(zhèn)居民實(shí)際人均可支配收入的預(yù)測結(jié)果

六、研究結(jié)論

灰色預(yù)測模型是在含有不確定成分的系統(tǒng)中，通過數(shù)據(jù)處理找出具有較強(qiáng)規(guī)律性的生成數(shù)據(jù)，建立微分方程預(yù)測未來的趨勢，其對樣本量小、分布未知的數(shù)據(jù)是適用的。本文以城鎮(zhèn)居民實(shí)際人均可支配收入為例，選取長度為3～35 的樣本，通過比較基于各樣本建立的GM（1，1）模型的預(yù)測結(jié)果，研究了樣本長度對GM（1，1）模型預(yù)測性能的影響，同時選取合適長度的樣本預(yù)測了2017 年以后中國城鎮(zhèn)居民實(shí)際人均可支配收入的變化趨勢。本文的研究結(jié)論如下：（1）樣本長度對灰色微分方程中的發(fā)展灰數(shù)影響較小，而對內(nèi)生控制灰數(shù)影響較大；（2）樣本長度與模型的預(yù)測相對誤差呈現(xiàn)非線性關(guān)系，即隨著長度的增加，模型的預(yù)測相對誤差上下波動，且波動幅度越來越大；（3）通過分析各步長MAPE 與樣本長度之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)與長度在15 以上的較大樣本相比，長度在15 以下的較小樣本更適用于建立灰色預(yù)測模型；（4）在較大樣本中，部分樣本的預(yù)測性能較好，其甚至與較小樣本的預(yù)測性能不相上下，但在較大樣本下，模型的樣本內(nèi)誤差較大，超過10%，且模型對各年預(yù)測的誤差不穩(wěn)定，因此，GM（1，1）模型不適合大樣本預(yù)測；（5）在較小樣本中，長度為8～13 的樣本適于建立GM（1，1）模型并進(jìn)行三步預(yù)測；（6）以2017 年為基期，未來三年的城鎮(zhèn)居民實(shí)際人均可支配收入將繼續(xù)增長，各年的增長率超過10%，2020 年的人均收入將超過40 000 元。

本文的研究彌補(bǔ)了已有文獻(xiàn)的不足，即考慮了樣本長度對預(yù)測性能的影響，利用R 軟件的優(yōu)勢，創(chuàng)建了GM（1，1）模型的自編函數(shù)，并計(jì)算出33 個模型的預(yù)測結(jié)果。從可視化的模型結(jié)果中可以看出，樣本長度與灰色預(yù)測性能之間存在非線性關(guān)系，某些樣本長度是適合建模的，這為灰色預(yù)測模型更適用于小樣本數(shù)據(jù)預(yù)測提供了充足的證據(jù)。當(dāng)然，本文的研究尚存在一些缺陷，如僅使用了傳統(tǒng)的GM（1，1）模型進(jìn)行分析，而未涉及灰色模型體系中的其他衍生模型，今后應(yīng)進(jìn)一步擴(kuò)展對灰色預(yù)測及其應(yīng)用模型的研究。