何 明 (江蘇省南京市大廠高級(jí)中學(xué) 210044)

從1978年恢復(fù)高考時(shí)起，高考數(shù)學(xué)試卷中就開始有數(shù)學(xué)應(yīng)用題，而這僅持續(xù)到1984年，之后的高考試題中應(yīng)用題銷聲匿跡達(dá)八年之久．由于數(shù)學(xué)教育界嚴(yán)士健、張奠宙、蘇式冬三位老前輩的遠(yuǎn)見卓識(shí)與積極努力，自1993年起在高考中恢復(fù)了數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，作為培養(yǎng)中學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的題型——數(shù)學(xué)應(yīng)用題已成為每年數(shù)學(xué)高考的一道“大菜”．回顧1999—2020年高考數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)用題的考查貼近課本、貼近生活、貼近學(xué)生實(shí)際、貼近問題的實(shí)際，逐步形成了有數(shù)學(xué)內(nèi)涵和教育功能的命題風(fēng)格.數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，以及用數(shù)學(xué)思想與方法解決實(shí)際問題的能力．

1 高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題內(nèi)容分析

從表1中發(fā)現(xiàn)，高考應(yīng)用題的題型更多地偏向選擇題與解答題，每年應(yīng)用題一般約占12分到22分不等，其中2018年和2019年應(yīng)用題分值高達(dá)27分.按照目前高考試卷呈現(xiàn)的特點(diǎn)可分為客觀應(yīng)用題和主觀應(yīng)用題：客觀應(yīng)用題一般是單項(xiàng)選擇題、填空題；主觀應(yīng)用題是高考應(yīng)用題的主要表現(xiàn)形式，需要書寫必要的解答過程．

表1 1999-2020年全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)應(yīng)用題的測試題型及分值

表2 1999-2020年全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)應(yīng)用(解答)題的測試內(nèi)容

縱觀高考數(shù)學(xué)應(yīng)用(解答)題的背景，最突出的一點(diǎn)就是引領(lǐng)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)向著培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)——市場經(jīng)濟(jì)、環(huán)境保護(hù)、資源利用、社會(huì)服務(wù)意識(shí)、產(chǎn)品監(jiān)督、大數(shù)據(jù)意識(shí)等，特別是引導(dǎo)中學(xué)生要建立經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中追求最優(yōu)化的思想；數(shù)學(xué)應(yīng)用題的數(shù)學(xué)內(nèi)涵也從初期的函數(shù)、數(shù)列模型過渡到以數(shù)學(xué)各塊內(nèi)容為模型，例如概率模型、正態(tài)分布模型、數(shù)據(jù)擬合模型．按照高考應(yīng)用題的來源來分類，有對(duì)教材或者教師參考書中應(yīng)用問題的改編，也有對(duì)國外相關(guān)資料的改編或?qū)?bào)紙雜志中情境問題的改造，有的來源于生活、生產(chǎn)實(shí)際問題的模型，有的是貼近學(xué)生個(gè)人的生活經(jīng)歷的反映．

2 高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題變化規(guī)律

對(duì)1999—2020年高考全國Ⅰ卷的研究發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用題小題的數(shù)量有所增加.2017年以來，全國Ⅰ卷都是兩個(gè)選擇題.同時(shí)，主觀應(yīng)用題考查的數(shù)學(xué)內(nèi)容也發(fā)生了巨大變化：新課程改革后，逐漸過渡到以考查概率統(tǒng)計(jì)方面的知識(shí)為主，更加突出地考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，對(duì)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等方面提出了更高的要求．近幾年的全國Ⅰ卷考查的是回歸方程、均值、方差問題，都是統(tǒng)計(jì)范疇的知識(shí)，從而我們能發(fā)現(xiàn)主觀應(yīng)用題以概率統(tǒng)計(jì)問題為背景己經(jīng)成為近幾年高考中較為穩(wěn)定的趨勢．

(1) 著重考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力

每個(gè)行業(yè)都離不開對(duì)數(shù)據(jù)的整理與分析，如今經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展更是對(duì)人的數(shù)據(jù)分析能力提出了更高要求，要求人們擁有用數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題的能力、用數(shù)據(jù)思考的能力，積極根據(jù)數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)，找尋活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).這對(duì)于學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力提出了相應(yīng)的要求．在近幾年的高考試題中，大多是給考生呈現(xiàn)記錄信息的載體(莖葉圖、條形圖、頻率分布直方圖或者是收集、整理、統(tǒng)計(jì)的相關(guān)數(shù)據(jù)等)，要求考生對(duì)數(shù)據(jù)運(yùn)用恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)方法或圖表進(jìn)行歸類分析，通過直觀的分析和推斷，獲得有用信息．

(2) 注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力

最近幾年，應(yīng)用題著重考查考生把握題設(shè)中數(shù)學(xué)關(guān)系的能力，不看具體數(shù)據(jù)，把實(shí)際問題變成數(shù)學(xué)模型．除此之外，還把一些已知的抽象條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)數(shù)學(xué)關(guān)系，進(jìn)而對(duì)題設(shè)中的要素加以整合．試題公平、客觀，避免用較長的語言表述背景、描述模型，有利于側(cè)重考查學(xué)生的建模能力.如2019年高考中斷臂維納斯身高估算(全國Ⅰ卷文理4)，古代典籍《周易》算卦(全國Ⅰ卷理6)，2020年(全國Ⅰ卷文理3、理5)要求學(xué)生通過研讀文本，對(duì)內(nèi)容加以整合，在思維活動(dòng)中抽象出事物的本質(zhì)屬性，抽象出幾何模型、數(shù)據(jù)模型等．

(3) 注重現(xiàn)實(shí)生活背景考查

近年來，高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題一般都來源于現(xiàn)實(shí)背景，幾乎所有的應(yīng)用題都包含背景問題，并且取材非常廣泛，多是社會(huì)熱點(diǎn)問題，貼近生活，帶有強(qiáng)烈時(shí)代氣息．如今，高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用題逐漸關(guān)注經(jīng)濟(jì)發(fā)展以及民生發(fā)展，時(shí)常還會(huì)包含經(jīng)濟(jì)和社會(huì)生活方面的知識(shí)．隨著國家對(duì)于教育提出的“文明其精神，野蠻其體魄”政策的落地與實(shí)施，高考應(yīng)用題以體育賽事為背景的概率計(jì)算問題逐漸成為高考的熱點(diǎn)．如籃球賽勝負(fù)概率(2019全國Ⅰ卷理15)、羽毛球勝負(fù)概率(2020全國Ⅰ卷理19).

3 高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)備考策略

高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題著重考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等方面提出了更高的教學(xué)要求．在平時(shí)的教學(xué)中，我們應(yīng)該更加著重培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，加強(qiáng)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)．

(1)重視學(xué)生閱讀理解能力,突出數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

閱讀是一個(gè)復(fù)雜的信息加工過程，是個(gè)體通過圖片、文字、公式等材料提取信息，整合并重組信息的過程．?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用題的最大特點(diǎn)就是文字信息量大，這就需要學(xué)生主體在解答應(yīng)用題的過程中簡化問題，通過閱讀將有效的數(shù)學(xué)信息從中抽象概括出來形成數(shù)學(xué)問題，然后建構(gòu)新的數(shù)學(xué)模型，選取恰當(dāng)?shù)牟呗越鉀Q問題．教學(xué)中，應(yīng)讓學(xué)生獨(dú)立分析理解題目信息，并讓學(xué)生把他覺得重要的信息提取出來，再將這些信息與之前學(xué)過的知識(shí)建立聯(lián)系，最后讓學(xué)生表達(dá)自己的解題思路，通過自己的閱讀，分析獲得了哪些重要的信息、材料中包含了怎樣的等量關(guān)系和數(shù)量關(guān)系或者內(nèi)在聯(lián)系、能夠運(yùn)用什么樣的數(shù)學(xué)思想和方法、還有什么樣的困惑沒有解決、有沒有其他補(bǔ)充.學(xué)生只有經(jīng)歷嘗試和實(shí)踐才能夠?qū)⒅R(shí)內(nèi)化為數(shù)學(xué)知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)，在做題的時(shí)候才能逐步提高學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力，將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，從而培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．

(2)發(fā)展學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)

在這個(gè)信息技術(shù)高速發(fā)展的時(shí)代，大量新鮮事物的出現(xiàn)體現(xiàn)了當(dāng)代的時(shí)代特征．?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用題也體現(xiàn)著時(shí)代特點(diǎn)，以時(shí)代為背景的考題不斷涌現(xiàn)，比如華為、小米手機(jī)的生產(chǎn)率問題，全球化貿(mào)易利潤問題，新冠病毒感染模型，其中還伴隨著專業(yè)名詞出現(xiàn).這樣的情況也為學(xué)生解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題提供了難度.“兩耳不聞窗外事，一心只讀圣賢書”的時(shí)代已然過去，固步自封只會(huì)限制社會(huì)的發(fā)展，限制學(xué)生的發(fā)展.例如，平時(shí)可以看看體育賽事：世界職業(yè)棒球賽采用全美籃球總冠軍7強(qiáng)決賽制，美國網(wǎng)球決賽女子采用3強(qiáng)賽，男子采用5強(qiáng)賽，如果某隊(duì)隊(duì)員實(shí)力較弱，哪種賽制獲勝的可能性較大？若學(xué)生在課下對(duì)這些比賽規(guī)則有過了解，那么對(duì)與體育賽事有關(guān)的概率計(jì)算就相當(dāng)于會(huì)了一半．教師要經(jīng)常在課上課下滲透當(dāng)下生活和科學(xué)等方面的熱點(diǎn)問題，幫助學(xué)生了解時(shí)政新聞，與世界接軌、與時(shí)代接軌，進(jìn)一步減小應(yīng)用題的難度.但畢竟在校時(shí)間有限，目前各類信息量大，還需要學(xué)生自主學(xué)習(xí)了解當(dāng)下時(shí)代發(fā)展前沿.學(xué)生可以通過互聯(lián)網(wǎng)、圖書館報(bào)刊、講座等方式獲得新鮮事物的信息，通過對(duì)外面新鮮事物的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步豐富現(xiàn)有的各類數(shù)學(xué)模型．

(3)重視建模思想的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模思想在解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的作用上是至關(guān)重要的，也是數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的重要體現(xiàn)．?dāng)?shù)學(xué)建模思想是指通過將現(xiàn)實(shí)的問題或者情境抽象為數(shù)學(xué)問題，建立方程、不等式、函數(shù)等模型來表現(xiàn)數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系以及變化規(guī)律，然后利用數(shù)學(xué)思想方法解決這類問題的方法策略和意識(shí)．如2018年全國Ⅰ卷第15題是工作安排方案問題，考查學(xué)生建立排列組合模型的能力，考查計(jì)數(shù)原理和排列組合的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)；2019年全國Ⅰ卷解答題21題是藥物有效性問題，與之對(duì)應(yīng)的是概率模型考查分布列和數(shù)學(xué)期望的相關(guān)內(nèi)容；2020年全國Ⅰ卷選擇題第5題是種子發(fā)芽率問題，與之對(duì)應(yīng)的是根據(jù)散點(diǎn)圖的分布選擇合適的函數(shù)模型．高考題雖沒有建?；顒?dòng)，卻在題目中滲透了建模思想，需要學(xué)生有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題．?dāng)?shù)學(xué)創(chuàng)新型應(yīng)用題涉及到的數(shù)學(xué)模型主要有概率統(tǒng)計(jì)模型、排列組合模型、解析幾何模型、數(shù)列模型、線性規(guī)劃模型、函數(shù)模型和立體幾何模型，所以教師要以相關(guān)模型為背景設(shè)置練習(xí)題，重視建模思想的運(yùn)用，鍛煉學(xué)生熟練掌握建模思想的能力，進(jìn)而培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力．

縱觀1999—2020年高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題，其主要體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模這一核心素養(yǎng).我們要重視數(shù)學(xué)實(shí)際問題與生活生產(chǎn)的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生建立正確數(shù)學(xué)模型的能力.在解決應(yīng)用題的過程中，要先分析材料，將有效數(shù)學(xué)信息抽象提取出來，再根據(jù)知識(shí)的背景進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．正確進(jìn)行數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)，注重核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，對(duì)學(xué)生解題能力、思維能力和創(chuàng)新能力都有很大提高．