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巧用辯證思維 提升解題能力

2020-12-17 07:10:10馮建國江蘇省淮安市教學研究室223000
中學數學月刊 2020年12期
關鍵詞:數學題元件子系統(tǒng)

馮建國 (江蘇省淮安市教學研究室 223000)

辯證思維方法是人們正確認識世界的媒介,是人們正確進行理性思維的方法.辯證思維方法是一個整體,它是由一系列既相區(qū)別又相聯(lián)系的方法所組成的.數學解題既需要邏輯思維也需要辯證思維.歸納演繹、分析綜合、具體抽象、歷史和邏輯等辯證思維方法對數學解題有重要的指導作用.本文結合教學實踐,對用辯證思維的方法培養(yǎng)學生數學解題能力作一探討.

1 歸納和演繹:尋找解題的方向——到何處去?

歸納和演繹是最基本的思維方法.歸納是從個別上升到一般的方法,即從個別事實中概括出一般的原理;演繹是從一般到個別的方法,即從一般原理推導出個別結論.歸納和演繹的客觀基礎是事物本身固有的特殊和一般、個性和共性的關系.歸納和演繹是方向相反的兩種思維方法,但兩者又是互相依賴、互相滲透、互相促進的.

一般與特殊是對立統(tǒng)一的關系.解數學題時,有時會從特殊情況出發(fā),通過推理解決一般問題;有時會從一般情況出發(fā),通過一般結論來解決特殊問題.

例1在等差數列{an}中,已知S10=100,S100=10,求S110的值.

評析多數情況下特殊要比一般簡單.但事物是辯證的,就本題而言,先考慮一般再考慮特殊反而是走了捷徑.這是因為有時具體數的聯(lián)系看起來并不比用字母表示來得清晰和簡單.

2 分析和綜合:尋找解題的路徑——從何處來?

在數學解題過程中,分析一般是從目標出發(fā),執(zhí)果索因;綜合一般是從條件出發(fā),由因導果.分析與綜合的關系既相互區(qū)別又相互聯(lián)系,二者是對立統(tǒng)一關系.解數學題時,有時可以用綜合法,有時可以用分析法,有時還可以將兩者結合起來使用.

例2已知函數f(x)=lnx-x+1,g(x)=xex-2x(x∈(0, +∞)),求證:f(x)≤g(x).

辯證思維告訴我們,在解數學題時既要關注問題的一般性,也要關注問題的特殊性,堅持具體問題具體分析,不能照搬照抄.

分析和綜合是兩種常見的思維方法.對一些較難的題目,往往會先分析后綜合.又由于一些學生在使用分析法時會將執(zhí)果索因寫成由因導果,故提倡用分析法尋找思路,用綜合法表述解題過程,有時也會將執(zhí)果索因和由因導果同步進行,在中間尋找交匯點.總之,無論是分析還是綜合,都是尋找解題路徑的有效手段.

3 具體和抽象:尋找解題的策略——怎么做?

在數學教與學中,學生的數學學習要經歷具體表象抽象的過程,教學時要在直觀物體和抽象概念之間構建橋梁,從而引導學生把握事物最主要、最本質的數學屬性. 抽象應有一個學生經歷的過程,而不是直接告訴學生抽象的結果.數學抽象本身又是一個不斷提高的過程,這一過程永無止境.

例3“石頭、剪子、布”是大家熟悉的二人游戲,其規(guī)則是:在石頭、剪子和布中,二人各隨機選出一種,若相同則平局;若不同,則石頭克剪子,剪子克布,布克石頭.甲、乙兩人玩一次該游戲,則甲不輸的概率是.

評析具體和抽象是兩種常見的思維方法,決定解題的策略.在解決應用問題,特別是關于概率與統(tǒng)計的有關問題時,首先需要將實際的、具體的問題抽象為數學問題,然后再思考數學問題的解決辦法.本題采用的方法是枚舉法,體現具體本身也是解決問題的一種很好的思維方法.

4 歷史和邏輯:尋找解題的原則——為什么?

邏輯指的是理性思維或抽象思維,它以理論的形態(tài)反映客觀事物的規(guī)律性.歷史包括兩層意思:一是指客觀事物的歷史發(fā)展過程,二是指人類認識的歷史發(fā)展過程.真正科學的認識是現實是歷史發(fā)展的反映,要求思維的邏輯與歷史的進程相一致.歷史是邏輯的基礎和內容,邏輯是歷史在理論上的再現,是“修正過”的歷史.邏輯和歷史的一致是辯證思維的一個根本原則.

(1)聯(lián)系法:就是運用普遍聯(lián)系的觀點來考察思維對象的一種觀點方法,是從空間上來考察思維對象的橫向聯(lián)系的一種觀點.

通常像遞增與遞減、升維與降維、有限與無限、連續(xù)與離散、運動與靜止、正數與負數、展開與化簡等都讓人聯(lián)想到某種聯(lián)系.張景中院士認為:“一個事物的性質最終可以用一串數描述,它可以看成是一個有窮維或無窮維的以時間為自變量的向量值函數.事物的變化,無非是向量的各個分量的變化——增加與減少.”[1]增加與減少既相互區(qū)別又相互聯(lián)系,二者是對立統(tǒng)一關系.在解數學題時,有時會從增加的角度來考慮,有時又會從減少的角度來考慮.

思路探求 原式中的三項都是正弦的2次冪形式,可以考慮降冪.

解題時通常采用的取導數法、取對數法、平面化法、坐標化法等都體現了聯(lián)系的觀點,而數形結合更是典型的代表.

(2) 發(fā)展法:就是運用辯證思維的發(fā)展觀來考察思維對象的一種方法,是從時間上來考察思維對象的過去、現在和將來的縱向發(fā)展過程的一種方式.

評析此類問題被稱為結構不良問題,其特點是問題所給條件不全,解決問題必須另外補充條件,使得問題和解法均存在變數,問題是否有解與選擇的條件密切相關.

(3)全面法:就是運用全面的觀點去考察思維對象的一種觀點或方法,即從時空整體上全面地考察思維對象的橫向聯(lián)系和縱向發(fā)展過程.換言之,就是對思維對象作多方面、多角度、多側面、多方位的考察的一種觀點或方法.

通常所說的直接與間接、分類討論等是全面法的典型代表.解數學題時,有時要用直接法,有時要用間接法.解題的原則一般是正難則反,避實就虛.分類討論就是將復雜問題進行分類,要求科學準確、不重不漏.

例6用2n(n∈N*,且n>1)個相同的元件組成一個系統(tǒng)N,前面n個元件串聯(lián)成一個子系統(tǒng)A,后面n個元件并聯(lián)成一個子系統(tǒng)B,再將兩個子系統(tǒng)串聯(lián)起來.各個元件能否正常工作是相互獨立的,每個元件能正常工作的概率均為r(0

思路探求 對于子系統(tǒng)A,由于是串聯(lián),只要每一個元件都能正常工作方可,故系統(tǒng)A能正常工作的概率為rn.對于子系統(tǒng)B,正面考慮比較困難,可以采用間接法:不能正常工作的概率為(1-r)n,故能正常工作的概率為1-(1-r)n.于是整個系統(tǒng)N能正常工作的概率為P=rn[1-(1-r)n].

評析求子系統(tǒng)A,B的概率時分別用了直接法和間接法.如果我們將子系統(tǒng)B中的n個元件也串聯(lián),然后再將A,B兩個子系統(tǒng)并聯(lián),那么每個子系統(tǒng)能正常工作的概率都是rn.于是系統(tǒng)N能正常工作的概率為P=rn(2-rn).這里用直接法和間接法都可以.若用直接法,需要考慮3種情況;若用間接法,則需考慮1種情況.其本質就是不重不漏的分類討論,前者體現不同思維角度的全面,后者體現同一種方法的全面.

總之,辯證思維蘊含的對立統(tǒng)一規(guī)律對數學解題具有很強的指導作用,無論是解題的方向、路徑,還是解題的策略、原則.為了適應核心素養(yǎng)導向的新高考,提升學生的核心素養(yǎng)勢在必行,而通過辯證思維提高學生的數學批判質疑能力,也是體現突出核心素養(yǎng)導向的重要策略之一.為此,教師需要在數學解題教學中引導學生多用辯證的思維方法解決問題.

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