徐咪咪 (江蘇省蘇州市第五中學(xué)校 215008)

概率的教學(xué)歷來是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個難點．概率內(nèi)容看似簡單，但如何讓教師教好概率、學(xué)生學(xué)好概率并不是一件很容易的事情．作為一種“不確定性數(shù)學(xué)”的內(nèi)容，概率與傳統(tǒng)的“確定性數(shù)學(xué)”內(nèi)容有較大區(qū)別．在概率教學(xué)過程中，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的隨機意識、應(yīng)用意識和對不確定事件的決策和判斷能力．但是現(xiàn)階段概率教學(xué)中，由于抱著以考試為中心的思想，很多教師在概率教學(xué)中仍以講題為主，學(xué)生學(xué)習(xí)概率卻不知如何用概率知識去思考問題、處理問題．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》(簡稱“17標(biāo)準(zhǔn)”)在概率的教學(xué)方面，從廣度和深度上都提出了更高的要求．在課程設(shè)置上，將概率與統(tǒng)計、函數(shù)、幾何與代數(shù)、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動作為課程結(jié)構(gòu)的四條主線，貫穿必修課程、選擇性必修課程和選修課程．在教學(xué)要求上，更強調(diào)概率概念的嚴(yán)謹(jǐn)性和概率教學(xué)的實用性．相信這將一定程度上改變目前概率教學(xué)的現(xiàn)狀．

古典概型是人們最早研究的一個模型，是最簡單又最常用的一個數(shù)學(xué)模型．對比《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》(簡稱“03標(biāo)準(zhǔn)”)與“17標(biāo)準(zhǔn)”中與此相關(guān)的內(nèi)容發(fā)現(xiàn)，古典概型是“17標(biāo)準(zhǔn)”必修課程中隨機事件和樣本空間教學(xué)的重要模型，也為后續(xù)選擇性必修課程中概率的深入學(xué)習(xí)提供了范例．

內(nèi)容“03標(biāo)準(zhǔn)”目標(biāo)表述“17標(biāo)準(zhǔn)”目標(biāo)表述隨機事件了解隨機事件發(fā)生的不穩(wěn)定性理解樣本點和有限樣本空間的含義,理解隨機事件與樣本點的關(guān)系古典概型理解古典概型及其概率計算公式,會用列舉法計算一些隨機事件數(shù)及事件發(fā)生的概率理解古典概型,能計算古典概型中簡單隨機事件的概率事件獨立性了解兩個事件獨立性的概念結(jié)合有限樣本空間,了解兩個隨機事件獨立性的含義,結(jié)合古典概型,利用獨立性計算概率條件概率了解條件概率的概念結(jié)合古典概型了解條件概率,能計算簡單隨機事件的條件概率全概率無結(jié)合古典概型,會利用全概率公式計算概率

本文以“古典概型”的教學(xué)設(shè)計為例，以“17標(biāo)準(zhǔn)”為指導(dǎo)，參考人教版新教材，對高中概率的教學(xué)設(shè)計提出自己的一些看法．

1 教學(xué)過程

1.1 情境引入，提出問題

師：俗話說,“龍生龍，鳳生鳳，老鼠生兒會打洞！”可見基因的強大性.關(guān)于遺傳，這里有個問題：一對雙眼皮的夫婦生了一個單眼皮的男孩，于是丈夫怨妻子不忠而提出離婚．如果你是法官，你會怎么判定？

生1(笑著搶答)：有這種可能??！我們家就是．

生2：根據(jù)生物學(xué)知識，這對夫婦如果攜帶了隱性遺傳因子，那孩子就可能會出現(xiàn)這種情況．

師：從兩位同學(xué)的回答，我們可以看出這是一個“可能”會發(fā)生的問題．今天我們就來研究這個可能性的大?。鋵?，同學(xué)們在初中就學(xué)習(xí)過概率，這節(jié)課我們就從初中教材中的兩個問題說起！

師：請問這種說法正確嗎？

生3：這不對的!只投一次不能說明問題．

生4：是啊，就算姚明，你讓他投一次，他也不一定會投中??！

生5：這個就像拋硬幣試驗，要多投幾次．

師：是的，我們需要通過多次投籃，用投中的頻率來近似地估計．但是這樣不僅工作量太大，而且結(jié)果具有一定的擺動性，有些試驗甚至還具有破壞性．

師：那這種說法正確嗎？

生6：感覺不對，不同顏色球的個數(shù)不一樣，不可能摸到的概率一樣?。?/p>

師：如何求摸出一個球是白球的概率呢？

師：為什么呢？

生7：說不清楚……我覺得是這樣的．

師：如果我們將“從6個球中任意摸出1個”看作一次隨機試驗，可能的結(jié)果為(摸到)“白球1”“白球2”“白球3”“黃球1”“黃球2”“紅球1”共6種．每一個球被摸到的概率是多少呢？

學(xué)生們不由自主地點頭．

設(shè)計意圖從生物遺傳學(xué)中的具體情境出發(fā)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．回顧初中教材中的兩個問題，創(chuàng)設(shè)“惑”境，用問題引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，促進(jìn)概念的深度學(xué)習(xí)．其中問題2引出了本節(jié)課的核心問題：不進(jìn)行試驗如何求概率？師生共同分析解題過程，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊．

1.2 自主探究，建構(gòu)理論

師：看過了初中教材中的兩個問題，我們現(xiàn)在來看看今天要研究的新問題．

問題3一個口袋內(nèi)裝有3個白球、2個黃球和1個紅球，它們除顏色外完全相同.現(xiàn)從袋子中摸出2個球，問摸出的2個球都是白球的概率是多少？

生8：可以像剛才的問題一樣，給6個球先進(jìn)行編號．

師：不妨記白球為1，2，3號，黃球為4，5號，紅球為6號，請說說可能的結(jié)果有哪些？

師：一個是“無順序摸取”，另一個是“有順序摸取”，都是可以的．解決了問題2和問題3，我們發(fā)現(xiàn)，有一類概率問題可以通過對隨機試驗的結(jié)果進(jìn)行分析解決．那么請同學(xué)們說說這類問題具有什么共同的特征呢？

生眾：每一個可能的基本結(jié)果發(fā)生的可能性都相等．

生11(補充)：結(jié)果還得有限多個，否則列也列不完?。?/p>

師：很好！這樣我們就找到了一個理想的數(shù)學(xué)模型來解決這類等可能條件下的概率問題——我們稱之為古典概型．我們知道隨機試驗的每個可能結(jié)果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為樣本空間．因此可以從這個角度去定義古典概型．

數(shù)學(xué)理論1滿足以下兩個條件的隨機試驗的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型(classical probability model)：

(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；

(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等．

問題4如何求解古典概型的概率呢？

師：我們一起來分析一下前面講述的兩個問題．對于問題2，用數(shù)字m表示摸到的球號，則該試驗的樣本空間是什么呢？符合古典概型嗎？

生12：{1,2,3,4,5,6}，共有6個樣本點．由于樣本點出現(xiàn)的可能性相等，因此是古典概型．

師：很好！我們把上述兩個問題的結(jié)論一般化，就可以得到以下結(jié)論．

師：數(shù)學(xué)史上，古典概型是最早出現(xiàn)的．概率論這門學(xué)科源于賭博，大量的分賭金問題迫使人們給出一種合理、公平的方式．帕斯卡、費馬、伯努利等數(shù)學(xué)家都在古典概率的計算、公式推導(dǎo)、應(yīng)用等方面做出了貢獻(xiàn)．但直到1812年法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯在《概率分析理論》中才給出了概率的古典定義．

設(shè)計意圖將問題2進(jìn)一步深入，提出新的問題．引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)這些問題具有的共同特點，尋找解決問題的一般方法，建立數(shù)學(xué)模型．?dāng)?shù)學(xué)史的適當(dāng)融入，讓學(xué)生了解概率在人類文明發(fā)展史的應(yīng)用，體驗數(shù)學(xué)史的文化魅力．

1.3 數(shù)學(xué)運用，鞏固新知

例1拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子(標(biāo)記為I號和II號)，觀察向上的點數(shù).

(1)寫出這個試驗的樣本空間，并判斷這個試驗是否為古典概型；

(2)求兩個點數(shù)之和等于5的概率；

(3)求I號骰子的點數(shù)大于II號骰子的點數(shù)的概率．

思考：如果不給骰子標(biāo)記號，會出現(xiàn)什么情況？你能解釋其中原因嗎？

設(shè)計意圖以學(xué)生熟悉的拋骰子試驗為例，第(1)問是鞏固新學(xué)的概念，第(2)(3)問是在不同情境下考查學(xué)生的抽象能力、應(yīng)用新知解決問題的能力．思考題則是通過對比，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解古典概型中的等可能性．

例2從兩名男生、兩名女生中任意抽取兩人.

(1)分別寫出有放回簡單隨機抽樣、不放回簡單隨機抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間；

(2)在三種抽樣方式下，分別計算抽到的兩人都是男生的概率．

設(shè)計意圖例2體現(xiàn)了概率學(xué)與統(tǒng)計學(xué)之間的密切聯(lián)系．抽樣方法不同，則樣本空間不同，同一個事件發(fā)生的概率也可能不同．不同的統(tǒng)計目的需要選取不同抽樣方法，確保其合理性．

例3人眼的虹膜有褐色的和藍(lán)色的兩種，褐色是有顯性遺傳因子D控制的，藍(lán)色是有隱性遺傳因子d控制的．已知一個藍(lán)眼男人與一個褐眼女人(這個女人的母親是藍(lán)眼)結(jié)婚，求這對夫婦生下藍(lán)眼小孩的概率(只要有基因D就是褐色，只有兩個基因全是d時才是藍(lán)色)．

討論：利用概率知識，如何提高優(yōu)生優(yōu)育的概率？

設(shè)計意圖例3改編自高中生物教材中的一個練習(xí)題，是概率在生物遺傳中的應(yīng)用，與課題的引入相呼應(yīng)．?dāng)?shù)學(xué)是一種科學(xué)的共同語言，跟其他學(xué)科的交融，進(jìn)一步體現(xiàn)出其科學(xué)價值和應(yīng)用價值．

2 教學(xué)反思

概率教學(xué)的核心是運用數(shù)學(xué)方法去研究不確定現(xiàn)象的規(guī)律．本節(jié)課的設(shè)計遵循數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，從直觀感知、操作確認(rèn)到邏輯論證，從思維的低階向高階遞進(jìn)，既符合知識的形成與發(fā)展規(guī)律，也體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實，用于現(xiàn)實”的理念．結(jié)合這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計，筆者認(rèn)為，概率教學(xué)中有兩個方面需要關(guān)注．

(1)注重概念建構(gòu)，加深概念理解

在初中時學(xué)生對概率就有了初步認(rèn)識，了解事件發(fā)生的可能性．初中的教學(xué)內(nèi)容注重實例，往往以豐富的例子為載體，讓學(xué)生體會概率的研究內(nèi)容，不追求形式化的數(shù)學(xué)定義．然而高中概率的知識更加注重知識的系統(tǒng)性與完整性，從概率的定義到古典概型，再到隨機變量，從具體到抽象，學(xué)生對概率的認(rèn)識逐步深入．適度的形式化、符號化有助于學(xué)生理解概念的本質(zhì)，實現(xiàn)知識的真正內(nèi)化．

“03標(biāo)準(zhǔn)”出于將抽象概念具體化的目的，用“基本事件”“基本等可能事件”來引出古典概型．然而由于很多版本的教材對基本事件的本質(zhì)屬性解讀不夠，使得學(xué)生對概念的理解往往停留于記憶性理解．在教學(xué)中還發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生甚至對這個概念產(chǎn)生了偏差，誤以為一個試驗只有一種構(gòu)造基本事件的方式，從而對古典概型的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了負(fù)面影響．

正確地定義一個數(shù)學(xué)概念，特別是概率中的概念，最佳的途徑是進(jìn)行嚴(yán)格、準(zhǔn)確的描述．在大學(xué)教材《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》第一章中是以樣本點和樣本空間來描述事件的．“17標(biāo)準(zhǔn)”將大學(xué)部分內(nèi)容下放，明確把“樣本點”“樣本空間”這些作為最基本的概念提出，用集合的觀點來處理事件及事件間的關(guān)系，把事件的運算歸結(jié)為集合的運算．事實上，集合語言對高中學(xué)生而言一點也不陌生，學(xué)生進(jìn)入高中學(xué)習(xí)的第一章就是集合．作為近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言，用集合論可以簡潔、準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)對象．因此“17標(biāo)準(zhǔn)”中這一改變完全符合高中學(xué)生的認(rèn)知特點，遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律．

本節(jié)課從兩個來源于初中教材的實際生活問題(問題1、問題2)出發(fā)，喚醒學(xué)生對古典概型的直觀認(rèn)識．通過問題3、問題4的設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生把對問題的表述，從文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)字語言，最后轉(zhuǎn)化到符號語言，將對古典概率的認(rèn)識逐步提升到一定的理性高度，以期加深學(xué)生對概率論中概念的理解，幫助學(xué)生透過表面的文字看到事物的本質(zhì)．

(2)注重模型建立，發(fā)展應(yīng)用意識

史寧中教授認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的之一是用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界，數(shù)學(xué)的語言就是模型．無論是自然界的問題還是生活中的問題，提出數(shù)學(xué)模型都是非常重要的．只有通過數(shù)學(xué)模型，人們才可能清晰地刻畫那些規(guī)律性的東西，才能認(rèn)清事物的本質(zhì)．古典概型是概率研究中的一個重要模型，我們要在教學(xué)過程中加強對隨機試驗的分析，注重挖掘試驗的來龍去脈，關(guān)注模型建立的合理性，讓學(xué)生明白對同一現(xiàn)實對象也可以用不同的模型來描述.比如本文中問題3，既可以是“有順序地摸取”，也可以是“無順序地摸取”．只要是符合古典概型特征的，都可以用古典概型求解．本節(jié)課的設(shè)計重在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷模型建立、應(yīng)用的全過程，提高學(xué)生利用隨機思想的觀念分析現(xiàn)象和解決問題的能力，幫助學(xué)生積累建立數(shù)學(xué)模型的思維經(jīng)驗．

概率的研究對象是隨機現(xiàn)象，在生活中有很多實例，涉及稅收、機器人、人口統(tǒng)計、利息等方方面面．除了貼近生活，它和其他學(xué)科的教學(xué)也存在著一定的聯(lián)系，具有知識的發(fā)散性和滿足事物的普遍聯(lián)系的原理．因此本節(jié)課除了選用投籃、摸球、拋骰子等經(jīng)典古典概型的例子之外，還選擇了兩個體現(xiàn)概率廣泛應(yīng)用的例子：例2體現(xiàn)的是概率與統(tǒng)計之間的聯(lián)系——概率為統(tǒng)計的發(fā)展提供理論基礎(chǔ)；例3則選用了生物中遺傳學(xué)的例子，是數(shù)學(xué)與生物學(xué)科之間的交叉．這兩個例子符合新課標(biāo)中培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識的理念，有利于學(xué)生形成系統(tǒng)、整合的知識體系，提高綜合解決問題的能力．