陳曉玥

(吉林師范大學 數(shù)學學院，吉林 長春 130012)

0 引言

在當前經(jīng)濟飛速發(fā)展的時代，人口的流動也越發(fā)的頻繁，而人口流動所面臨的首要問題就是住房.對于流動人口來說，租房成了理想選擇.根據(jù)租房大數(shù)據(jù)報告顯示，租房市場處于持續(xù)增長的狀態(tài)，租房也成為人們備受關注的熱點問題.隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，多款租房app也相繼上線，如房天下、百姓網(wǎng)、58網(wǎng)、口碑網(wǎng)等.網(wǎng)上租房作為一種新潮租賃方式，依托互聯(lián)網(wǎng)的優(yōu)勢，可隨時隨地看房節(jié)省時間、房源量多選擇廣泛，省去中介環(huán)節(jié)，更加省時省錢，減去了不必要的資源和人力浪費.由于網(wǎng)上租房和中介租房所面對的需求群體基本一致，必將產(chǎn)生資源競爭，從而導致經(jīng)濟競爭問題.為了獲取最大的經(jīng)濟效益，研究網(wǎng)上租房和中介租房合理共存是關鍵.利用兩個群體間關系建立生物數(shù)學模型，研究兩群體動態(tài)系統(tǒng).

為了研究方便，給出相關定理：

平面考慮自治系統(tǒng)[1]：

(1)

定理1若對一切t∈(-,+)，x(t)≡x*，y(t)≡y*(x*,y*)∈D，則稱x=x*,y=y*為(1)的一個定常解,它所對應的積分曲線是(t,x,y)空間中平行于t軸的直線x=x*,y=y*.對應此解的軌線是相平面中一個點(x*,y*)，稱(x*,y*)為奇點(或平衡點).顯然(x*,y*)是(1)的一個奇點(或平衡點)的充分必要條件是P(x*,y*)=Q(x*,y*)=0.

1 系統(tǒng)分析

近年來，隨著居民對住房消費觀念的轉(zhuǎn)變，“買改租”之風逐步興起.數(shù)據(jù)顯示，自2017年起我國房屋租賃市場一直處于增長的狀態(tài)，而到了2019年約2.2億人口通過租賃市場解決居住問題，尤其在“北上廣深”等城市，房屋租賃市場更加廣闊.租賃人口的增加，使“找房難”成了熱點問題.隨著計算機技術手段的提升，網(wǎng)絡滲透到各個行業(yè)，走進國民生活，對提高國民生活水平起著至關重要的作用.與此同時，租房app也融入了人們的生活，由于網(wǎng)上租房消耗的人力和物力資源更小，租房app數(shù)量不斷增長，這對傳統(tǒng)的房屋租賃公司造成了前所未有的沖擊，也對中介人員的利益造成了損失.因而建立網(wǎng)上租房和中介租房的數(shù)學模型并對其動態(tài)系統(tǒng)進行分析，使得租房軟件數(shù)量和房屋租賃公司成立數(shù)量達到穩(wěn)定和平衡，從而取得最大的經(jīng)濟效益，使得資源得到有效配置.建立中介租房和網(wǎng)上租房在t時刻同時增長的經(jīng)濟競爭模型，如下

(2)

其中x(t)表示租賃公司數(shù)量；y(t)表示租房app數(shù)量；K表示社會對租賃公司的最大需求；A表示租房app的Allee系數(shù)，也是開發(fā)租房app的最小數(shù)量；r3表示使用租房app的系數(shù).

為了便于模型的分析，令

可將模型轉(zhuǎn)化為：

(3)

以下是關于正平衡點穩(wěn)定性討論

[H1] 系統(tǒng)(3)存在唯一正平衡點[2]C(x*,y*).

[H2] 平衡點C(x*,y*)是穩(wěn)定結點.

證明 系統(tǒng)(3)在(x*,y*)處的Jacobi矩陣

有Δ=a11a22-a12a21=(p1q2-p2q1)x*y*>0δ=-(a11+a22)=p1x*+q2y*>0 故平衡點C(x*,y*)是穩(wěn)定[3]結點.綜上所述平衡點C(x*,y*)是局部漸進穩(wěn)定的.

圖1 系統(tǒng)(3)的軌跡示意圖

用Matlab模擬系統(tǒng)(3)的的穩(wěn)定平衡點，如圖1所示.

[H3] 系統(tǒng)(3)在區(qū)域D內(nèi)無閉軌跡[4]

2 生物學意義

在系統(tǒng)(3)中，中介租房和網(wǎng)上租房在所面對的需求和經(jīng)濟群體相同的條件下，兩個群體隨時間t的變化而變化，系統(tǒng)明確二者的曲線變化，無論兩個群體的初始值為何，最終二者都會達到各自的平衡點x*和y*.

租房問題[6]已經(jīng)成為人們關注的焦點，對于傳統(tǒng)的中介租房，中介提供全程服務，其中包括咨詢、看房、成交、售后等，而且為客戶的整個交易提供安全保障，與此同時需要的資源和人員更多，中介租房費用更大.而網(wǎng)上租房房源多，不受地域影響可隨時瀏覽房源信息，方便又快捷，但房源的真實性難以保障，相對于中介租房虛擬成分過多.綜合二者的優(yōu)缺點，利用所建立的數(shù)學模型，找到平衡點C(x*,y*)，以此進行人為干涉，使兩個群體達到最合理共存狀態(tài)，更好地為國民服務，并獲得經(jīng)濟最大化.