汪久根, 戴雨靜, 洪玉芳, 陳芳華

(1.浙江大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 杭州 310027；2.浙江省機(jī)電產(chǎn)品質(zhì)量檢測(cè)所， 杭州 310051)

目前，國(guó)內(nèi)外大部分學(xué)者在對(duì)關(guān)節(jié)軸承進(jìn)行熱分析時(shí)，將內(nèi)外圈球面的摩擦副考慮為光滑接觸. 而在現(xiàn)實(shí)情況下，內(nèi)外圈接觸面是粗糙的，表面分布有很多微凸體. 這些微凸體相互接觸，接觸面積總和即為實(shí)際接觸面積，其遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于名義接觸面積，微凸體峰頂實(shí)際的接觸壓力通常大于光滑接觸時(shí)的壓力，會(huì)產(chǎn)生大量的摩擦熱. 因此，在對(duì)關(guān)節(jié)軸承進(jìn)行熱分析時(shí)有必要考慮微凸體的影響.

在法向載荷作用下，兩個(gè)粗糙表面相接觸時(shí)，首先是微凸體開始互相接觸. 微凸體開始接觸時(shí)為彈性變形，而后當(dāng)載荷加載到某個(gè)臨界數(shù)值后變成塑性變形,此時(shí)微凸體是塑性變形而基體材料仍是彈性變形[1].

針對(duì)微凸體接觸問(wèn)題的建模及摩擦熱的分析，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了一系列研究. 對(duì)單個(gè)微凸體在圓形靜止熱源作用下的熱問(wèn)題，Gecim等[2]建立了二維瞬態(tài)熱方程，分析了微凸體在幾種不同邊界條件下的溫度分布. Ting等[3]分析了單個(gè)微凸體由于滑動(dòng)摩擦熱而導(dǎo)致的表面溫升以及熱應(yīng)力問(wèn)題. 李隆球等[4]提出了一種在全滑移接觸條件下，球形粗糙表面與剛性平面的彈塑性接觸模型. Smith等[5]用有限元方法，研究了微凸體滑動(dòng)接觸過(guò)程中的閃點(diǎn)溫度，并提出影響閃點(diǎn)溫度的主要因素包括熱導(dǎo)率、硬度、速度、摩擦因數(shù)、微凸體半徑和微凸體磨損深度. Lee等[6]用數(shù)值方法分析了單對(duì)微凸體滑動(dòng)接觸過(guò)程中的瞬態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)無(wú)量綱閃點(diǎn)溫度僅僅是Peclet數(shù)的函數(shù). Mate等[7]研究了磁記錄頭與磁記錄盤上的微凸體在高速碰撞下的閃點(diǎn)溫度.

在滑動(dòng)摩擦過(guò)程中，滑動(dòng)接觸點(diǎn)成為熱源，計(jì)算由摩擦熱源引起的表面溫升是研究熱膠合的基礎(chǔ). Jaeger[8]計(jì)算了移動(dòng)均勻熱源作用下的半無(wú)限體的表面溫升問(wèn)題. Ashby等[9]給出了銷盤模型干摩擦過(guò)程的閃溫及體積溫度的計(jì)算公式. Tian和Kennedy[10]基于Carslaw等[11]的熱源法對(duì)不同形狀熱源下的半無(wú)限固體的最大閃溫和平均溫度進(jìn)行了計(jì)算，并給出了微凸體接觸過(guò)程中的最大閃溫的近似表達(dá)式. Gao等[12]運(yùn)用FFT方法求解了粗糙表面滑動(dòng)摩擦的瞬態(tài)溫度場(chǎng). Bansal等[13]通過(guò)假設(shè)接觸面對(duì)應(yīng)各點(diǎn)溫度相等，計(jì)算了一個(gè)球體相對(duì)平面滑動(dòng)時(shí)的熱流分配系數(shù)，并由此計(jì)算出接觸面穩(wěn)態(tài)溫度分布. 上述研究為進(jìn)一步分析微凸體的滑動(dòng)摩擦熱問(wèn)題提供了基礎(chǔ).

本文建立了關(guān)節(jié)軸承中的微凸體相對(duì)光滑平面滑動(dòng)的模型，利用對(duì)點(diǎn)熱源進(jìn)行積分的方法分別計(jì)算了微凸體在彈性和塑性接觸下的滑動(dòng)接觸面的穩(wěn)態(tài)溫度分布. 并繪制了兩種型號(hào)軸承在不同速度與載荷下接觸面最高閃溫圖.

1 微凸體理論建模與求解

如圖1所示，當(dāng)內(nèi)圈承受徑向軸承力且繞軸線旋轉(zhuǎn)時(shí)，接觸面中心點(diǎn)處的線速度最大，接觸壓力較大，pv值較高，易出現(xiàn)熱失穩(wěn). 對(duì)該處的微凸體進(jìn)行理論建模, 為了方便計(jì)算，對(duì)模型進(jìn)行了如下簡(jiǎn)化：

1)忽略潤(rùn)滑劑的影響，研究單個(gè)微凸體與平面接觸的情況，微凸體出現(xiàn)在內(nèi)圈上，形狀為半球狀，承受法向載荷W, 平面假設(shè)為光滑, 接觸區(qū)的半徑為R;

2)由于微凸體尺度遠(yuǎn)小于軸承實(shí)體的尺度，故認(rèn)為與微凸體相接觸的外圈表面為平面，并且兩個(gè)物體可以視為半無(wú)限體間接觸;

3)假設(shè)內(nèi)外圈初始溫度相等.

該圓形接觸區(qū)為熱源區(qū)，熱源相對(duì)平面運(yùn)動(dòng)，相對(duì)微凸體靜止. 從相對(duì)運(yùn)動(dòng)的角度看，可認(rèn)為該問(wèn)題等價(jià)于微凸體靜止而平面以速度V運(yùn)動(dòng)：

V=ω·R0.

(1)

式中ω為軸承角速度，R0為內(nèi)圈球半徑.

圖1 微凸體-平面接觸模型

當(dāng)材料的熱物性參數(shù)為常數(shù)時(shí)，直角坐標(biāo)下的導(dǎo)熱微分方程[14]為

式中：θ為溫升(℃)；(x,y,z)為所計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)；t為時(shí)間(s)；a為材料的熱擴(kuò)散系數(shù)(m2·s-1)，a=λ·ρ-1cp-1；λ為材料導(dǎo)熱系數(shù)(W·m-1·℃-1)；ρ為密度(kg·m-3)；cp為比定壓熱容(J·kg-1·℃-1).

兩表面相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，假設(shè)摩擦力所做的功都轉(zhuǎn)化為摩擦熱，則接觸面上單位面積產(chǎn)生的熱流量為

q=μpV.

式中：q為熱流密度(W·m-2),μ為摩擦因數(shù),p為接觸壓力(Pa),V為兩表面相對(duì)滑動(dòng)速度(m·s-1).

接觸面的熱量將以一定比例分給上下兩個(gè)物體：

q1=K1μpV,q2=(1-K1)μpV.

(2)

式中，q1、q2分別為分配給物體1、2的熱流密度，K1為物體1的熱量分配系數(shù). 本文約定變量中下標(biāo)為1表示微凸體，下標(biāo)為2表示平面.

根據(jù)Carslaw和Jaeger[11]的研究：一個(gè)固定的點(diǎn)熱源持續(xù)在一個(gè)移動(dòng)半無(wú)限體表面上發(fā)熱，將點(diǎn)熱源坐標(biāo)設(shè)定為笛卡爾坐標(biāo)系的原點(diǎn)，則移動(dòng)表面任意一點(diǎn)P(x,y,z)的穩(wěn)態(tài)溫升可以表示為

式中：Q為該點(diǎn)熱源產(chǎn)生的熱流量(W)；r=(x2+y2+z2)1/2，即為P點(diǎn)到該點(diǎn)熱源的距離, 本文研究移動(dòng)物體表面的溫升，可令z=0；U為相對(duì)于熱源的移動(dòng)速度(m·s-1).

針對(duì)圓形熱源作用的情況，可將熱源區(qū)看成由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)熱源組成，對(duì)每個(gè)點(diǎn)熱源導(dǎo)致的溫升進(jìn)行積分，即可得到接觸區(qū)各點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)溫升. 如圖2所示，利用極坐標(biāo)對(duì)圓形熱源區(qū)進(jìn)行幾何關(guān)系分析[10].

圖2 熱源區(qū)極坐標(biāo)示意圖

B點(diǎn)處的點(diǎn)熱源產(chǎn)生的熱流量為

dQ=qdS=qds·sdφ.

式中：dS為B點(diǎn)處熱源微元的面積，q為該點(diǎn)的熱流密度. 將P(x,y)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)P(r,α)，B點(diǎn)的熱源對(duì)P點(diǎn)造成的穩(wěn)態(tài)溫升可表示為

P點(diǎn)在整個(gè)圓形熱源作用下的溫升可表示為

(3)

式中:s1為熱源點(diǎn)與P點(diǎn)距離的積分上限，數(shù)值上等于直線BP與圓周交點(diǎn)到P點(diǎn)的距離：

(4)

q(r,α,s,φ)為熱源點(diǎn)的熱流密度，大小和微凸體的變形狀態(tài)有關(guān).

彈性變形狀態(tài)下，接觸壓力為赫茲分布，因此熱流密度可以寫為

(5)

式中pm為接觸面平均接觸壓力.

塑性變形狀態(tài)下，接觸面的壓力可以看作恒定，平均接觸壓力等于兩物體中較軟材料的顯微硬度H[1]. 因此熱流密度可以寫為

q(r,α,s,φ)=μpmV=μHV.

(6)

可以看出，彈性接觸和塑性接觸下的熱源分別為拋物線分布和均勻分布. 二者的最大表面溫升經(jīng)驗(yàn)公式如下[10]：

彈性接觸,

(7)

塑性接觸,

(8)

式中，q為表面平均熱流密度(W·m-2)，Pe=UR·(2a)-1，是熱力學(xué)中常用的無(wú)量綱數(shù).

兩個(gè)滑動(dòng)體之間的熱流分配采用的原則是：兩表面最大溫度相等[15]. 聯(lián)立式(2)、(7)、(8)可以得到熱流分配系數(shù)：

彈性接觸,

(9)

塑性接觸,

(10)

關(guān)于式(3)，令U=0，可以算出微凸體在接觸區(qū)域的表面溫升. 令U=V，可以算出平面在接觸區(qū)域的表面溫升.

聯(lián)立式(1)～(5)、(9)可算出彈性接觸狀態(tài)下微凸體與平面的穩(wěn)態(tài)溫升，聯(lián)立式(1)～(4)、(6)、(10)可算出塑性接觸狀態(tài)下微凸體與平面的穩(wěn)態(tài)溫升.

2 計(jì)算結(jié)果分析

P26090B-G型航空用關(guān)節(jié)軸承材料參數(shù)如表1所示，該軸承摩擦副為銅對(duì)鋼，脂潤(rùn)滑狀態(tài)下取摩擦因數(shù)μ=0.06，內(nèi)圈球半徑R0=1.98×10-2m. 對(duì)關(guān)節(jié)軸承內(nèi)圈進(jìn)行高速精車，粗糙度達(dá)到Ra1.6，精度等級(jí)達(dá)到IT7～I(xiàn)T8左右，可以查閱得對(duì)應(yīng)的微凸體折合曲率半徑在20～55 μm[1]，這里取40 μm.

表1 P26090B-G型關(guān)節(jié)軸承材料參數(shù)

2.1 彈性接觸

彈性接觸狀態(tài)下，利用球體與平面接觸的赫茲公式,可得到接觸半徑和平均接觸壓力分別為

(11)

pm=W/(πR2).

(12)

式中，r0為微凸體球半徑，E1、E2為微凸體和平面的彈性模量，υ1、υ2為兩者的泊松比.

下面的算例中，取ω=20 rad·s-1，微凸體承載W=0.20 N，由式(11)、(12)可算出接觸半徑R=4.13 μm，平均接觸壓力pm=3.72 GPa. 利用matlab編程并繪制出微凸體和平面在接觸區(qū)的表面穩(wěn)態(tài)溫升，如圖3所示.

(a) 內(nèi)圈

(b) 外圈

由圖3可知，內(nèi)圈微凸體在接觸區(qū)的溫升云圖在x和y方向上都是對(duì)稱的，最大溫升Δθ=3.54 ℃，位于中心點(diǎn). 這是因?yàn)槲⑼贵w相對(duì)于接觸區(qū)的熱源是靜止的，熱量的傳遞不會(huì)受到相對(duì)滑動(dòng)速度的影響. 外圈接觸區(qū)的溫升云圖在移動(dòng)方向上(x軸方向)是非對(duì)稱的，最大溫升Δθ=3.53 ℃，位于中心點(diǎn)偏后沿的位置. 并且，接觸區(qū)后沿的溫升明顯大于前沿的溫升. 這是因?yàn)樵谶\(yùn)動(dòng)過(guò)程中，前沿總是最后才與熱源接觸，熱源作用時(shí)間短，溫升小于已經(jīng)率先與熱源作用的接觸區(qū)后沿.

由式(2)可知，摩擦熱的產(chǎn)生與接觸壓力和相對(duì)速度有關(guān)，下面研究不同的載荷與速度下，外圈接觸區(qū)沿x軸的的溫升情況.

圖4為載荷0.20 N時(shí)，不同角速度ω(rad·s-1)下外圈接觸區(qū)沿x軸處的溫升情況. 可以看出，隨著速度的增加，溫升增加，且后沿溫升大于前沿溫升的趨勢(shì)越來(lái)越明顯. 這是因?yàn)榛瑒?dòng)速度越大，所產(chǎn)生的摩擦熱越多. 且前沿與熱流作用時(shí)間越短，導(dǎo)致前后沿溫差越大.

圖4 彈性接觸時(shí)不同角速度下的溫升分布

Fig.4 Temperature rise distribution under different angular velocity during elastic contact

圖5為ω=20 rad·s-1時(shí)，不同載荷下的溫升情況. 可以看出，隨著載荷的增加，溫升增加. 這是因?yàn)檩d荷越大，接觸壓力越大，摩擦熱越多.

圖5 彈性接觸時(shí)不同載荷下的溫升分布

Fig.5 Temperature rise distribution under different load during elastic contact

2.2 塑性接觸

塑性接觸時(shí)pm恒為4.018 GPa，接觸區(qū)半徑

R=(W/pm·π)1/2.

(13)

取ω=20 rad·s-1，W=2 N. 由式(13)求得R=12.59 μm. 計(jì)算出溫升圖如圖6所示.

由圖6可知，內(nèi)圈微凸體的最大溫升Δθ=9.72 ℃，位于中心點(diǎn). 外圈的最大溫升Δθ=9.50 ℃，位于中心點(diǎn)偏后沿的位置. 接觸區(qū)后沿的溫升明顯大于前沿的溫升.

圖7為載荷2 N時(shí)，不同角速度下外圈接觸區(qū)沿x軸的溫升情況. 圖8為ω=20 rad·s-1時(shí)，不同載荷下的溫升情況. 二者的變化趨勢(shì)與彈性狀態(tài)下的類似.

(a) 內(nèi)圈

(b) 外圈

圖7 塑性接觸時(shí)不同角速度下的溫升分布

Fig.7 Temperature rise distribution under different angular velocity during plastic contact

圖8 塑性接觸時(shí)不同載荷下的溫升分布

Fig.8 Temperature rise distribution under different load during plastic contact

3 最高閃溫圖

由計(jì)算結(jié)果得知，塑性變形狀態(tài)下最大閃溫出現(xiàn)在x軸上. 現(xiàn)給定線速度在0～5 m·s-1范圍內(nèi)變化，微凸體承載在0～30 N內(nèi)變化，計(jì)算并繪制出最大閃溫圖見圖9.

圖9 最大閃溫map圖(P26090B-G型)

由圖9可知，當(dāng)載荷與速度較高時(shí)，最大閃溫值較大. 而關(guān)節(jié)軸承往往在低速重載下工作，線速度通常不會(huì)超過(guò)1 m/s，因此微凸體的最大閃溫值通常不會(huì)很大. 但是有些偶發(fā)的工況值得考慮. 以起落架用關(guān)節(jié)軸承為例，當(dāng)飛機(jī)剛好落地時(shí)，軸承會(huì)承受較大沖擊載荷，瞬時(shí)線速度也會(huì)很大. 而根據(jù)Hou[16]的研究，移動(dòng)熱源作用的表面達(dá)到準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)溫度的時(shí)間為：

t=20a/V2.

(14)

式中：a為材料的熱擴(kuò)散系數(shù)，V為速度. 由式(14)可求出，當(dāng)速度為1 m·s-1時(shí)，t=0.098 ms.

在速度較大時(shí)，微凸體接觸面會(huì)在極短的時(shí)間內(nèi)達(dá)到最大溫度. 因此，在這些特殊工況下，微凸體接觸面的最大閃溫值較大. 在實(shí)際的內(nèi)外圈接觸面上會(huì)有很多微凸體接觸斑點(diǎn)，當(dāng)它們達(dá)到最大閃溫后，會(huì)加快表面損傷的劣化，影響潤(rùn)滑劑性能，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)斐奢S承膠合. 而降低閃溫值的方法主要有：改善潤(rùn)滑結(jié)構(gòu)，提高關(guān)節(jié)軸承摩擦副的加工精度等.

同理，可繪制出型號(hào)為WMLS17R型關(guān)節(jié)軸承的微凸體最大閃溫圖(圖10).

圖10 最大閃溫map圖(WMLS17R型)

關(guān)節(jié)軸承的材料參數(shù)如表2所示. 摩擦因數(shù)μ=0.12，內(nèi)圈球半徑R0=1.35×10-2m.

由圖10可知，在相同的速度和載荷下，WMLS17R型關(guān)節(jié)軸承的最大閃溫值要明顯大于P26090B-G型軸承. 原因主要有：WMLS17R型軸承的摩擦因數(shù)大于P26090B-G型軸承，相同條件下會(huì)產(chǎn)生更多的摩擦熱；WMLS17R型軸承內(nèi)外圈摩擦副為鋼對(duì)鋼，而P26090B-G型為銅對(duì)鋼. 銅的導(dǎo)熱系數(shù)大于鋼，更利于摩擦熱的傳播. 因此，WMLS17R型軸承更易發(fā)生熱問(wèn)題，不宜長(zhǎng)期在高載荷和高轉(zhuǎn)速的工況下工作.

表2 WMLS17R型關(guān)節(jié)軸承材料參數(shù)

4 結(jié) 論

1)在彈性和塑性接觸狀態(tài)下，內(nèi)圈微凸體在接觸區(qū)的穩(wěn)態(tài)溫升分布形狀為旋轉(zhuǎn)體，最大溫升位于中心點(diǎn). 外圈接觸區(qū)的溫升分布在移動(dòng)方向上是非對(duì)稱的，接觸區(qū)后沿的溫升大于前沿的溫升，最大溫升出現(xiàn)在中心點(diǎn)偏后沿的位置.

2)微凸體載荷一定時(shí)，角速度越大，外圈接觸區(qū)的溫升越大，且前后沿的溫差越大. 角速度一定時(shí)，載荷越大，溫升越大.

3)低速重載工況下，微凸體最大閃溫值較低;而在高速情況下，最大閃溫較大，會(huì)影響軸承性能. 應(yīng)注意這些情況下閃溫值的控制. WMLS17R型軸承應(yīng)比P26090B-G型軸承更易發(fā)生熱問(wèn)題，不宜長(zhǎng)期在高載荷和高轉(zhuǎn)速的工況下工作.