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探尋“數(shù)學(xué)規(guī)定”的理與美

2020-12-21 03:37:01杜海良沈俊杰
關(guān)鍵詞:小括號(hào)括號(hào)算式

杜海良 沈俊杰

摘要:《含有中括號(hào)的三步混合運(yùn)算》一課教學(xué),在確保教學(xué)內(nèi)容科學(xué)性的同時(shí),又讓形式化的數(shù)學(xué)符號(hào)活躍于課堂,使學(xué)生禁不住要探尋“數(shù)學(xué)規(guī)定”之理,括號(hào)的產(chǎn)生和使用自然而然:“襯衣外套”析層次,“哥哥弟弟”明順序;應(yīng)用深化價(jià)值,練習(xí)提升素養(yǎng)。同時(shí),貫穿始終的簡(jiǎn)潔美、規(guī)范的指導(dǎo)和循序漸進(jìn)的教學(xué)結(jié)構(gòu),使學(xué)生感受數(shù)學(xué)之美。

關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)規(guī)定 結(jié)合符號(hào) 數(shù)學(xué)美 《含有中括號(hào)的三步混合運(yùn)算》

一、課堂實(shí)錄

(一)感受學(xué)習(xí)需求:經(jīng)歷“中括號(hào)”的產(chǎn)生

1.不含括號(hào)。

師(出示算式60÷6+4×2)這題會(huì)算嗎?等于多少?

生18。

師咦,我怎么算出是28呀?大家看,60÷6=10,10+4=14,14×2=28。

生老師,你算的順序不對(duì),不是從左往右,而是應(yīng)該先乘除后加減。

師原來(lái)如此,先乘除后加減是四則混合運(yùn)算的一個(gè)法則,既然是法則,人人都要遵守,也包括老師。

2.添加小括號(hào)。

師還是這個(gè)算式,如果把得數(shù)18改成12,這個(gè)等式肯定是錯(cuò)誤的,但有什么辦法讓這個(gè)等式仍舊成立嗎?

生添一個(gè)括號(hào),變成60÷(6+4)×2=12。

師添了括號(hào),怎么算?

生先算括號(hào)里的加法,再除,最后乘,得數(shù)就是12了。

師括號(hào)在這兒起了什么作用?

生算的順序變了。

師非常好!括號(hào)是一個(gè)特殊的數(shù)學(xué)符號(hào),它可以改變運(yùn)算順序。括號(hào)里的必須先算,這也是四則混合運(yùn)算的一個(gè)法則。

3.添加中括號(hào)。

師[指算式60÷(6+4)×2,并板書(shū)“=3”]還是這個(gè)算式,你能添上一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào),使這個(gè)算式的得數(shù)等于3嗎?

(學(xué)生獨(dú)立嘗試,教師巡視,指名學(xué)生上臺(tái)板演。)

生60÷((6+4)×2)=3。

生60÷[(6+4)×2]=3。

師(指著中括號(hào))這是什么符號(hào)?

生中括號(hào)。

師也是括號(hào),這里已經(jīng)有了括號(hào)了,為什么還要再添一個(gè)?

生括號(hào)可以改變運(yùn)算順序。當(dāng)一個(gè)括號(hào)不夠用時(shí),我們可以再添一個(gè)。

師[指算式60÷((6+4)×2)]那為什么不像這樣,繼續(xù)添小括號(hào),非要用一個(gè)新的符號(hào)呢?

生小括號(hào)已經(jīng)用過(guò)了。

生兩個(gè)小括號(hào)混在一起會(huì)搞不清。

師大家的意思是,小括號(hào)外面如果還要加一個(gè)括號(hào)的話,得換一種形式了,就像襯衣外面不能再穿襯衣了,得穿外套。這樣,就產(chǎn)生了中括號(hào)。這樣表示是不是更有層次、更清楚?

生(齊)是。

(二)豐富運(yùn)算法則:明晰含“中括號(hào)”算式的運(yùn)算順序

1.明確運(yùn)算順序。

師現(xiàn)在這個(gè)算式,既有小括號(hào),又有中括號(hào),我們知道括號(hào)里的要先算,那到底應(yīng)該先算哪個(gè)呢?

生先算小括號(hào)里面的,再算中括號(hào)里面的。

師是的,中括號(hào)是小括號(hào)的哥哥,并且還是個(gè)好哥哥,先算弟弟小括號(hào)里面的,再算自己里面的。誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)怎么算出3的?

生先算小括號(hào)里的,6+4=10;再算中括號(hào)里的,10×2=20;最后,60÷20=3。

師得數(shù)果然是3了,大家這個(gè)中括號(hào)添得真靈!現(xiàn)在我們知道了,當(dāng)算式中既有小括號(hào)又有中括號(hào)時(shí),我們應(yīng)該怎么算?

生先算小括號(hào)里的,再算中括號(hào)里的,最后算括號(hào)外的。

師這同樣是四則混合運(yùn)算的法則,我們都要遵守。

2.比一比。

師現(xiàn)在,大家對(duì)四則混合運(yùn)算的順序能搞得清嗎?我們來(lái)試一試,(出示算式,如圖1)說(shuō)說(shuō)這三道算式的運(yùn)算順序,再算出得數(shù)。

(學(xué)生分別說(shuō)出三道算式的運(yùn)算順序與結(jié)果。)

師比較一下,這三道算式有什么相同的地方,又有什么不同的地方?

(學(xué)生回答略。)

師是的,雖然數(shù)相同,運(yùn)算符號(hào)也相同,但因?yàn)橛辛死ㄌ?hào),改變了運(yùn)算順序,結(jié)果就不同了,這就是括號(hào)的作用。

(三)體驗(yàn)學(xué)習(xí)價(jià)值:用含“中括號(hào)”的算式解決問(wèn)題

師括號(hào)的這個(gè)作用能幫助我們解決生活中的一些問(wèn)題。比如——

(教師出示題目:小明帶了210元錢(qián),買(mǎi)8個(gè)網(wǎng)球后還剩42元,你能提出哪些可以解決的問(wèn)題?學(xué)生回答略。)

師老師這有兩個(gè)問(wèn)題,你能列綜合算式解答嗎?

(教師出示:1.每個(gè)網(wǎng)球的單價(jià)是多少?)

生(210-42)÷8。

師這里為什么要用到小括號(hào)?

生必須要先算出已經(jīng)用去的錢(qián),然后才能除以8,算出每個(gè)網(wǎng)球多少元。

(教師出示:2.剩下的錢(qián)可以買(mǎi)幾個(gè)這樣的網(wǎng)球?)

生42 ÷[(210-42)÷8]。

師這里除了小括號(hào),為什么還要用到中括號(hào)?

生要求還能買(mǎi)幾個(gè)網(wǎng)球,需先求出每個(gè)網(wǎng)球的單價(jià),就要先算后面,所以這時(shí)我們就需要中括號(hào)來(lái)幫忙。

師如果沒(méi)有這個(gè)中括號(hào)呢?

生算式就不符合題目要求了。

師我們可以發(fā)現(xiàn),中括號(hào)與小括號(hào)一樣,都是為了解決問(wèn)題,用來(lái)改變運(yùn)算順序。

(四)規(guī)范運(yùn)算流程:明確含“中括號(hào)”算式的遞等式運(yùn)算規(guī)則

師要求剩下的錢(qián)還能買(mǎi)幾個(gè)網(wǎng)球,算式有點(diǎn)復(fù)雜了,你會(huì)用遞等式計(jì)算嗎?

(學(xué)生獨(dú)立嘗試,教師指名兩名學(xué)生上黑板演算。)

師先算什么?

生小括號(hào)里的。

師沒(méi)輪到算的應(yīng)該怎么樣?

生照抄下來(lái)。

師中括號(hào)直接抄下來(lái),還是寫(xiě)成小括號(hào)?

(學(xué)生交流。)

師大家的意見(jiàn)不一致。這樣,我們一起請(qǐng)教身邊的“老師”!打開(kāi)課本,翻到74頁(yè),看看書(shū)上是怎么寫(xiě)的。

生還是寫(xiě)中括號(hào)。

師其實(shí),兩種做法都可以!不過(guò),保留中括號(hào)能夠表達(dá)更多的信息??吹竭@個(gè)中括號(hào),我們就知道,它的上一步剛剛完成了小括號(hào)里的運(yùn)算;我們還知道,下一步就要算中括號(hào)里的了。而且,這么寫(xiě),不需要改變數(shù)學(xué)符號(hào),所以也就不容易出錯(cuò)。我這么說(shuō),大家同意嗎?

生同意!

師好,我們就這么做,請(qǐng)完成例3和“練一練”。

(學(xué)生獨(dú)立練習(xí)后交流。)

(五)總結(jié)提升:反思本節(jié)課所學(xué)并完成針對(duì)性練習(xí)

1.回顧拓展。

師今天我們學(xué)習(xí)了“含有中括號(hào)的三步混合運(yùn)算”。學(xué)到這,你還有什么不明白的或者有什么想法嗎?

生有沒(méi)有大括號(hào)?

(其他學(xué)生齊答“有”。)

生括號(hào)是怎么產(chǎn)生的,為什么這么寫(xiě)?

生要改變運(yùn)算順序就產(chǎn)生括號(hào)了。

生有的時(shí)候,在解決問(wèn)題列出綜合算式時(shí),要先算加減后算乘除,就要用到括號(hào)了。

師的確,括號(hào)就是這樣應(yīng)“需”而生。而且,有時(shí)光有小括號(hào)還不夠用,所以又有了中括號(hào)。那是不是有了中括號(hào),以后所有的問(wèn)題都能解決了呢?

生不是的,還有大括號(hào)。

師的確如此,以后的生活、學(xué)習(xí)中我們還會(huì)遇到需要用到大括號(hào)的情況??磥?lái)中括號(hào)也只是小括號(hào)的二哥,大括號(hào)才是他們的大哥。具體的,請(qǐng)大家打開(kāi)課本,閱讀《你知道嗎》的內(nèi)容。

(學(xué)生讀課本。)

師同學(xué)們,一個(gè)括號(hào)的產(chǎn)生,其實(shí)也經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的發(fā)展歷程,凝聚著人類(lèi)無(wú)窮的智慧。

2.練習(xí)提升。

師(出示練習(xí),如圖2)我們繼續(xù)來(lái)讓括號(hào)大顯身手。

二、教學(xué)評(píng)析

運(yùn)算順序“從左到右”和“先乘除后加減”都不是以客觀規(guī)律為基礎(chǔ)的定理或定律,而是一種人為的關(guān)于數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的規(guī)定,目的在于盡可能減少算式中的括號(hào)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,這樣的“數(shù)學(xué)規(guī)定”往往被生搬硬套;為避免教學(xué)中的知識(shí)性錯(cuò)誤,課堂上引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行深度思考的案例更是少之又少。杜海良老師執(zhí)教的這節(jié)課,在確保教學(xué)內(nèi)容科學(xué)性的同時(shí),讓形式化的數(shù)學(xué)符號(hào)活躍于課堂,使學(xué)生禁不住要探尋“為什么是這樣”“是誰(shuí)規(guī)定的”“還可能是怎樣”,即“數(shù)學(xué)規(guī)定”之理,括號(hào)的產(chǎn)生和使用自然而然。同時(shí),通過(guò)貫穿始終的簡(jiǎn)潔美、規(guī)范的指導(dǎo)和循序漸進(jìn)的教學(xué)結(jié)構(gòu),讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)之美。

(一)括號(hào)之理

1.“襯衣外套”析層次,“哥哥弟弟”明順序。

細(xì)品杜老師課上的語(yǔ)言:“小括號(hào)外面如果還要加一個(gè)括號(hào)的話,得換一種形式了,就像襯衣外面不能再穿襯衣了,得穿外套。這樣,就產(chǎn)生了中括號(hào)?!睂W(xué)生在經(jīng)歷了中括號(hào)產(chǎn)生的過(guò)程、體會(huì)了中括號(hào)產(chǎn)生的必要后,這種清晰的層次感了然于心。這不僅僅是“含有中括號(hào)的三步混合運(yùn)算”的教學(xué),也很好地溝通了其他結(jié)合符號(hào)產(chǎn)生的必要性——說(shuō)明所需的運(yùn)算順序,進(jìn)一步明確了中括號(hào)在其中的位置與順序。整節(jié)課也在分明的教學(xué)層次中展開(kāi)。

“中括號(hào)是小括號(hào)的哥哥,并且還是個(gè)好哥哥,先算弟弟小括號(hào)里面的,再算自己里面的。”又一個(gè)比方,賦予了數(shù)學(xué)符號(hào)生命。既然括號(hào)的產(chǎn)生是運(yùn)算順序的需要,那么順序的明確就是學(xué)習(xí)括號(hào)的關(guān)鍵。區(qū)別于語(yǔ)文中的標(biāo)點(diǎn)符號(hào),數(shù)學(xué)結(jié)合符號(hào)(如小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)等)與運(yùn)算順序有關(guān)。兩個(gè)比喻,從符號(hào)到物,從物到人,形象生動(dòng)地明晰了中括號(hào)的運(yùn)算順序。

2.應(yīng)用深化價(jià)值,練習(xí)提升素養(yǎng)。

杜老師引導(dǎo)學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中理解運(yùn)算順序的合理性。在同一個(gè)問(wèn)題情境中,因所求問(wèn)題的不同選擇,使用的括號(hào)也不相同,既與之前所學(xué)的小括號(hào)呼應(yīng),又為后續(xù)學(xué)習(xí)多步計(jì)算的解決問(wèn)題埋下伏筆?!澳鞘遣皇怯辛酥欣ㄌ?hào),以后所有的問(wèn)題都能解決了呢?”將學(xué)生的思維再次引向深入,讓整節(jié)課有了整體感和結(jié)構(gòu)性。

整體性、結(jié)構(gòu)性是數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特性。用整體建構(gòu)的理念指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)一系列的數(shù)學(xué)結(jié)合符號(hào),創(chuàng)建出結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)課堂,引領(lǐng)學(xué)生在完善知識(shí)結(jié)構(gòu)、豐富學(xué)習(xí)感受、發(fā)展思維素養(yǎng)的過(guò)程中,逐步地從自主走向自為。這,既符合數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì),又符合兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的規(guī)律,更符合信息時(shí)代素養(yǎng)教育的大方向。

(二)數(shù)學(xué)之美

1.貫穿始終的簡(jiǎn)潔美。

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò):“就數(shù)學(xué)本身而言,是壯麗多彩、千姿百態(tài)、引人入勝的……認(rèn)為數(shù)學(xué)枯燥乏味的人,只是看到了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,而沒(méi)有體會(huì)出數(shù)學(xué)的內(nèi)在美?!崩ㄌ?hào)的使用也有美感嗎?這一點(diǎn),杜老師早就洞察到了,并讓這種美貫穿始終。“簡(jiǎn)潔美是數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)追求的目標(biāo)?!睌?shù)學(xué)用空間形式和數(shù)量關(guān)系譜寫(xiě)了自然界和人類(lèi)社會(huì)的內(nèi)在旋律,以其簡(jiǎn)潔、優(yōu)美的公式與定理揭示了世界的本質(zhì),給人以美感。結(jié)合符號(hào)是有限的,隨著解題步驟的增多,算式也會(huì)變得龐大,杜老師適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生:括號(hào)的使用不在于豐富,而是在于簡(jiǎn)潔。作為人類(lèi)智慧結(jié)晶的數(shù)學(xué)再次與美密切聯(lián)系在了一起。

2.規(guī)范的指導(dǎo)和循序漸進(jìn)的教學(xué)結(jié)構(gòu)。

遞等式計(jì)算中,是否保留中括號(hào)引發(fā)了學(xué)生的爭(zhēng)議。然而,杜老師包容的點(diǎn)評(píng)中,既肯定了學(xué)生的多樣化表達(dá),也進(jìn)一步明確了保留中括號(hào)做法的有益之處,更為練習(xí)提升做好了規(guī)范表達(dá)的準(zhǔn)備。

全課的設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)也處處彰顯美感。從“感受中括號(hào)產(chǎn)生的必要”到“明晰含中括號(hào)的順序”“應(yīng)用中深化價(jià)值”,再到“遞等式計(jì)算”和“練習(xí)提升”,輪廓清晰,又絲絲入扣、緊密相連,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的基本思想和學(xué)科核心素養(yǎng)。不僅在教學(xué)內(nèi)容本身把握得當(dāng),還在教學(xué)設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)之中力求向?qū)W生展現(xiàn)數(shù)學(xué)本身的魅力——高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性、廣泛的應(yīng)用性,讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)潤(rùn)物無(wú)聲。

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