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在“過程”中推理

2020-12-21 03:37:01張琴
教育研究與評論(課堂觀察) 2020年5期
關(guān)鍵詞:推理能力過程

張琴

摘要:推理能力的發(fā)展不是一蹴而就的,而是一個長期的、循序漸進的過程。教學中,教師要把推理能力的培養(yǎng)滲透到學生數(shù)學學習的各個階段。具體來說,可以在知識的形成過程中發(fā)展歸納推理能力,在知識的聯(lián)系過程中發(fā)展類比推理能力,在知識的應用過程中發(fā)展演繹推理能力。

關(guān)鍵詞:推理能力 知識形成 知識聯(lián)系 知識應用

推理是數(shù)學的基本思維方式,也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式?!读x務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》把“推理能力”作為核心概念之一。

推理一般包括合情推理和演繹推理:合情推理是從已有的事實出發(fā),憑借經(jīng)驗和直覺,通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果;演繹推理是從已有的事實(包括定義、公理、定理等)和確定的規(guī)則(包括運算的定義、法則、順序等)出發(fā),按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中,兩種推理的功能相輔相成:合情推理用于探索思路,發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理用于證明結(jié)論。

推理能力的發(fā)展不是一蹴而就的,而是一個長期的、循序漸進的過程。因而,教學中,教師要把培養(yǎng)推理能力滲透到學生數(shù)學學習的各個階段,應特別注意引導學生經(jīng)歷知識的形成過程、聯(lián)系過程、應用過程,從而提高推理能力。

一、在知識的形成過程中發(fā)展歸納推理能力

數(shù)學知識具有抽象性和一般化的特征,它通常(或者說最初)來源(形成)于具體的、特殊的事實或現(xiàn)象。因此,教師要引導學生對具體的、特殊的事實或現(xiàn)象進行分析和抽象,去除其物理的、非本質(zhì)的屬性,揭示其數(shù)學的、本質(zhì)的屬性,即數(shù)和形方面的一般規(guī)律。而這一知識形成的過程,是學生思維從具體走向抽象、從特殊走向一般的過程,也是其歸納推理能力發(fā)展的過程。

例如,教學“小數(shù)的認識”,教師引導學生從具體、特殊的例子入手,經(jīng)過有層次的、有梯度的歸納與提升,獲得抽象的、一般的數(shù)學知識——

師如果用一個長方形表示1元,那么怎么表示0.1元呢?

生把長方形平均分成10份,其中的1份就是0.1元。

師(出示圖1)看到這個圖,你還能想到什么數(shù)?

圖1

生我還想到了1/10。

生我發(fā)現(xiàn)1/10元=0.1元。

師如果涂其中的3份呢,我們可以得到怎樣的式子?

生3/10元=0.3元。

師如果涂其中的9份呢?

生9/10元=0.9元。

師觀察這三道算式,你有什么發(fā)現(xiàn)?

生十分之幾元都可以寫成零點幾元。

師如果把這個長方形壓縮,這就好像一把——

生尺子。

師你能在這把尺子上畫一畫,寫出像前面一樣的式子嗎?

生1/10米=0.1米。

生5/10米=0.5米。

……

師由這幾道算式,你又有怎樣的發(fā)現(xiàn)?

生十分之幾米都可以寫成零點幾米。

師再把這個長方形壓縮,發(fā)現(xiàn)什么了?

生一條線段。

師如果把這條線段也平均分成10份,你想表示怎樣的算式,又能發(fā)現(xiàn)什么?

生1/10=0.1,2/10=0.2,4/10=0.4,…,我發(fā)現(xiàn),十分之幾都可以寫成零點幾。

上述教學中,有三個層次的歸納。前兩個層次是借助生活情境對十分之幾元可以寫成零點幾元、十分之幾米可以寫成零點幾米的歸納;不同的是,相對而言,第二層次比第一層次更具一般性,第一層次中的數(shù)是離散的,第二層次中的數(shù)是連續(xù)的。第三層次則是對前兩個層次歸納的“再抽象”,即去除量的特征,進一步聚焦數(shù),這種歸納真正抵達了“數(shù)學的高度”。

二、在知識的聯(lián)系過程中發(fā)展類比推理能力

不同領(lǐng)域的數(shù)學內(nèi)容之間往往也會有內(nèi)在的關(guān)聯(lián)。因此,教師不能通過“切片”的方式機械地教學,而要關(guān)注知識的聯(lián)系,引導學生比較和聯(lián)想,完善認知結(jié)構(gòu)。而這一知識聯(lián)系的過程,是學生思維由此及彼、舉一反三的過程,也即類比推理能力發(fā)展的過程。

例如,教學“圓錐的體積”,教師引導學生利用知識間的聯(lián)系,展開類比推理——

師我們怎么通過圖形的運動得到一個圓柱和圓錐呢?

生以長方形的任意一條邊為軸,旋轉(zhuǎn)一周就可以得到一個圓柱,以直角三角形的任意一條直角邊為軸,旋轉(zhuǎn)一周就可以得到一個圓錐。

生如果以長為軸旋轉(zhuǎn),圓柱的底面半徑和高分別等于長方形的寬和長;如果以寬為軸旋轉(zhuǎn),圓柱的底面半徑和高分別等于長方形的長和寬。

師考慮得真細致!

生圓錐的底面半徑和高分別等于三角形的底和高。

師這里有一個長方形和一個直角三角形,你有什么發(fā)現(xiàn)?

生長方形的長和寬分別等于直角三角形的高和底。

師長方形和直角三角形的面積有什么關(guān)系呢?

生直角三角形的面積等于長方形的面積的1/2。

師(分別以長方形的長和直角三角形的高為軸旋轉(zhuǎn)得到圓柱和圓錐)想一想,圓柱和圓錐之間有什么聯(lián)系?

生圓柱和圓錐等底等高。

師猜想一下,等底等高的圓柱和圓錐體積有怎樣的關(guān)系?

生我覺得圓錐的體積是和它等底等高的圓柱的體積的1/2。

生我覺得圓錐的體積是和它等底等高的圓柱的體積的1/3。

生我覺得圓錐的體積是和它等底等高的圓柱的體積的1/4。

……

師到底是多少,我們不妨用等底等高的圓柱和圓錐來做個實驗。

(學生用手中的材料做實驗,驗證自己的猜想。)

教學“圓錐的體積”,教師通常會直接提供等底等高的圓柱和圓錐,讓學生進行倒沙或倒水的實驗,最終得出圓錐的體積計算公式。因此,對于用等底等高的圓柱和圓錐做實驗,學生往往會有“從帽子里跑出一個兔子”一般的驚奇感。上述教學中,教師很好地運用了知識間的聯(lián)系,發(fā)展了學生的類比推理能力:從圓柱與長方形、圓錐與三角形的關(guān)系出發(fā),由長方形面積和三角形面積的關(guān)系,類比推理圓柱體積和圓錐體積的關(guān)系。這樣,自然、合理地引入了等底等高的圓柱和圓錐的實驗。

三、在知識的應用過程中發(fā)展演繹推理能力

知識應用是利用知識(概念、定理、等式等)解決問題的過程。顯然,這一過程通常是從抽象走向具體、從一般走向特殊的演繹推理過程。一方面,教師要精心設(shè)計問題,可以設(shè)置判斷題、說理題、探究題、證明題等,引導學生利用演繹推理解決問題;另一方面,教師還要指導學生演繹推理的方法,不僅要言之有據(jù),還要言之有理,進而言之有序。

雖然小學數(shù)學并不強調(diào)演繹推理,但是在很多內(nèi)容的教學中都可以設(shè)置演繹推理的相關(guān)問題。

例如,教學“3的倍數(shù)特征”,教師可設(shè)置這樣一道題目:舉例想一想,連續(xù)三個偶數(shù)的和是幾的倍數(shù)?為什么?學生不僅能舉出“2+4+6=12,是3的倍數(shù);98+100+102=300,也是3的倍數(shù)”這樣的例子,歸納得到結(jié)論,而且能開展演繹推理的證明:假設(shè)中間數(shù)為a,則另外兩數(shù)分別為a-2、a+2,三個數(shù)的和是a-2+a+a+2=3a,顯然,3a是3的倍數(shù)。

再如,教學“三角形的三邊關(guān)系”,教師可設(shè)置這樣一道題:一個等腰三角形的周長是40厘米,較長邊是較短邊的2倍,它的腰和底分別是多少厘米?此題符合條件的答案只有一種,但是有學生給出了“腰是10厘米,底是20厘米”的錯誤答案,于是其他學生反駁:因為三角形任意兩邊之和大于第三邊,而10+10=20,兩邊之和不大于第三邊,所以這三條邊不能圍成三角形,這個答案錯誤。這就是非常典型的演繹推理。

又如,教學“平均數(shù)”,教師可設(shè)置這樣一道題:小明班數(shù)學考試的平均分是92,小華班數(shù)學考試的平均分是90,小明的分數(shù)一定比小華高嗎?請說明理由。充分思考后,學生這樣表達:小明班數(shù)學考試的平均分是92,小明的分數(shù)有可能比92低,比如82;小華班數(shù)學考試的平均分是90,小華的分數(shù)有可能比90高,比如100,按照這樣的假設(shè),小明的分數(shù)就比小華低。這其實就是從平均數(shù)定義出發(fā)的一種演繹推理——盡管不那么嚴謹。

最后,需要指出的是,以上數(shù)學學習的三個階段與三種推理形式之間的對應關(guān)系并不絕對,有時甚至是為了敘述的方便。事實上,在數(shù)學學習的各個階段,各種推理形式不是單獨出現(xiàn)的,而是表現(xiàn)出綜合性和交替性。

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