趙福

【摘要】在初中的數(shù)學學科中，關于幾何部分，學生主要學習平面圖形，而線段是構成平面圖形的要素，因此解析初中幾何時，學生必須熟練掌握線段長度的解決方法.在中考中，幾何計算占比較大，屬于重點得分項.本文就中考題中解析線段長度的方法進行分析，旨在為今后的教學提供幫助.

【關鍵詞】中考題;線段;求解

在初中階段，平面幾何為數(shù)學中的重點，在考試中占比較大.而解決此類問題時最常見的是求解線段長度.因此，本文就線段長度的求解方式總結出以下方法.

一、在一條線段上同時存在多條線段

例1如圖1所示，已知線段AB的長度為20，AC的長度為7，求BC的長度.

分析這道題屬于平面幾何中最簡單的求線段長度問題.通過觀察線段，學生可以發(fā)現(xiàn)C在AB上，AC+BC=AB，因此BC=AB-AC.解這類題的關鍵就在于讀圖，確定點與線段的位置[1].

二、求解三角形的邊長或高

例2如圖2所示，在直角三角形ABC中，已知AB長度為10，AC長度為8，求BC的長度.

分析在直角三角形中，已知斜邊長與一條直角邊長，求另一條直角邊長，學生可以果斷利用勾股定理進行求解.這類題的解析思路是依據(jù)圖形的性質(zhì).

例3如圖3所示，在等腰三角形中，AC長度為6，AB長度為10，求三角形AB邊上的高.

分析解析這道題需要根據(jù)圖形性質(zhì).因為它是等腰三角形，所以AC=BC=6，且AB上的高將三角形ABC分為兩個完全一樣的直角三角形.因此，AB2是分割后小直角三角形的一條直角邊.因為已知斜邊長，所以學生可以利用勾股定理算出高.

三、將問題轉化為直角三角形求解

例4如圖4所示，在△ABC中，∠A=30°，tanB=13，BC=10，求AB的長.

解過點C作CD⊥AB于點D，這樣就構造了兩個直角三角形.在△BCD中，tanB=CDBD，所以DB=3CD.由勾股定理，得CD=1，BD=3，在△ACD中，易求AD=3，所以AB=3+3.

此題為作輔助線引出直角三角形的線段長度問題，在中考中十分常見，如學生不能有效利用轉換思維，將無法求得這道題的答案，因此教師在實際教學中應給予學生引導，幫助學生掌握輔助線應如何建立.

四、利用基本圖形定理求出結果

例5如圖5所示，已知四邊形ABCD為正方形，DF垂直于CE，且DF=10，求CE.

分析解決這類題時，學生如果對基本圖形定理的知識掌握不清晰，就無從下手，因為題目表面所給出的數(shù)據(jù)少得可憐.在掌握定理后，解題要容易很多.本題中，已知三角形BCE與三角形CDF為直角三角形，且DF垂直于CE，因此可以利用“AAS”定理證明這兩個三角形全等，那么CE的長度就可以輕松求出了.

通過這道題我們可以看出基本圖形定理對于線段的長度的求解有至關重要的幫助，如果掌握不清，就難以下手[2].

五、利用幾何直觀性確定已知量關系

幾何直觀性是將抽象的數(shù)學知識與數(shù)學語言通過直觀圖形進行展示.幾何直觀性的具體應用在于將幾何圖形與代數(shù)問題相結合，從而使數(shù)學問題具體化，讓線段長度的抽象問題變得清晰化，進而使問題更容易解決.幾何直觀性思想的應用可以有效提高學生對線段知識的理解能力，可以幫助學生

熟練掌握

課堂教學中有關線段長度的重點知識.

例6如圖6所示，點C分線段AB為5∶7，點D分線段AB為5∶11，若CD=10cm，求AB.

分析觀察圖形可知DC=AC-AD，根據(jù)已知的線段比的關系，AC，AD均可用所求量AB表示，這樣通過已知量DC，即可求出AB.

解因為點C分線段AB為5∶7，點D分線段AB為5∶11，

所以AC=512AB，AD=516AB，

所以DC=AC-AD=512

AB-516AB=548AB，

又因為CD=10cm，所以AB=96cm.

在教學中遇到此類問題時，教師可以通過對學生進行幾何直觀性的引導，使學生學會利用幾何直觀性的思想將線段視為圖像與代數(shù)的組合，這樣解題會變得更加簡便.因此，利用幾何直觀性可以有效提高學生的圖形拼接解題能力，使學生形成固定的解題規(guī)律.通過在解題中有效應用幾何直觀性思想，學生對線段長度知識的掌握得到了有效提高.

六、利用線段中點性質(zhì)進行長度變換

傳統(tǒng)初中數(shù)學線段長度問題整體教學內(nèi)容較為“抽象”，且整體概括性較強，學生難以通過傳統(tǒng)的教學深入理解教學內(nèi)容.學生習慣于用慣性思維來思考所遇到的數(shù)學問題，這樣導致了學生逐漸出現(xiàn)“數(shù)學思維障礙”.而且初中數(shù)學線段長度問題的內(nèi)容通?；逎y懂，學生更習慣從問題的表面理解問題，以習慣的認知來解決數(shù)學問題，這樣的情況導致學生缺乏數(shù)學思維能力.學生在接受新知識的過程中，長期缺乏系統(tǒng)性認知，從而導致存在知識認知差異，這樣給提升學生的數(shù)學思維帶來了影響.因此，教師在中考線段長度習題教學中應利用線段中點性質(zhì)進行長度變換，以此使抽象的線段知識變得更加直觀.

例7如圖7所示，已知線段AB=80cm，M為AB的中點，P在MB上，N為PB的中點，且NB=14cm，求PA的長.

分析從圖形可以看出，線段AP等于線段AM與MP的和，也等于線段AB與PB的差，所以，欲求線段PA的長，只要能求出線段AM與MP的長或者求出線段PB的長即可.

解因為N是PB的中點，NB=14cm，

所以PB=2NB=2×14=28（cm），

又因為AP=AB-PB，AB=80cm，

所以AP=80-28=52（cm）.

提升學生的數(shù)學思維是當前時期教學改革的整體目標，因此在例題解答和課堂教學中，教師應為學生提供相關的數(shù)學示例，然后讓學生分組或獨立分析這些示例以找出所需的數(shù)學元素，學生可以通過分析示例獲得相關的數(shù)學概念和定律.在此類線段問題的幾何計算中，教師的解答和教學必須要結合圖形中已知線段和所求線段的位置關系，且習題解答必須按照步驟進行.

七、利用方程求解線段長度

例8如圖8所示，O為弧CD所在圓的圓心，CD長度為600，E在弧CD上，OE垂直于CD，垂足為F，EF的長度為90，求CO.

分析已知三角形OCF為直角三角形，CD=600，F(xiàn)點為垂足，則CF=DF=300，OF=CO-90.有了這些數(shù)據(jù)就可以列出方程了，設CO為x，則OF=x-90.根據(jù)勾股定理可得x2=3002+（x-90）2，解出x的值即可.

八、利用相似三角形求解線段長度

相似三角形擁有對應邊成比例的性質(zhì)特征，所求線段是其中一個三角形的一條邊，然后在另一三角形中找到相似的邊元素，依此羅列出計算等式，最后求出線段的具體長度.

例9如圖9所示，AB為圓的直徑，BC為圓的切線，D是圓上一點，并且AD平行于CO，AB=6，BC=4，求線段AD的長度.

分析在本題中，所求線段AD為三角形ABD的一條邊，已知三角形ABD一條邊AB長度為6，三角形OBC一條邊BC長度為4，AB為圓的直徑，因此可得：OB=12AB=3，∠ADB=90°.由BC是圓的切線，可得∠OBC=90°，利用勾股定理可以得出OC的長度：OC2=OB2+BC2=32+42=25，OC=5.由AD平行于OC，可知∠DAB=∠BOC，因此可得三角形ABD∽三角形OCB，可以得出ADOB=ABOC，在這個等式中，其他三項都是已知元素，只有AD一個未知元素，運算即可得出AD=3.6.

利用相似三角形對應邊成比例的性質(zhì)求解線段長度，這是很常見的方法之一，難點在于找到所求線段和已知線段是屬于哪兩個三角形的邊，再找出證明這兩個三角形相似的條件，即可求出線段的長度.

九、根據(jù)圖形已知條件，利用方程方法求解

興趣是最好的老師，興趣同時也是學生學習的基本動力，因此教師可以利用這一點在課前首先提出問題讓學生思考，建立相關的教學活動吸引學生的注意力，利用活動內(nèi)容的豐富性提升學生的學習興趣，這樣可以使學生伴著愉快的心情參與到數(shù)學課堂中來.

例10如圖10，C，D，E將線段AB分成2∶3∶4∶5四部分，M，P，Q，N分別是AC，CD，DE，EB的中點，且MN=21，求PQ的長.

分析教師可以根據(jù)學生的興趣將線段想象為其他事物，如尺子等進行解題.根據(jù)線段比及中點性質(zhì)，可以設AC=2x，則AB上每一條短線段都可以用含x的代數(shù)式表示.觀察圖形，MN=MC+CD+DE+EN，學生可以將其轉化成關于x的方程，先求出x，再求PQ的長.

解若設AC=2x，則CD=3x，DE=4x，EB=5x，MC=x，EN=52x，于是根據(jù)MN=MC+CD+DE+EN得到21=x+3x+4x+52x，解得x=2.所以PQ=PD+DQ=12（CD+DE）=72x=7.

在習題解答完成后，教師可以為學生講授方程法的由來，使學生加深對方程法的印象，進而有效掌握此類習題的解答方式.

由于初中學生年齡較小且自控能力差，天生活潑好動，因此如何集中學生注意力是當前初中數(shù)學教學的重點問題.在線段長度教學的準備上，教師需要多費心思，努力提升學生的課堂學習興趣，進而使學生可以將注意力全部放在課堂學習中.

結語

求解線段的長度其實有很多方法，以上只是筆者歸納總結的常見的幾種方法.對于一些中考常見的重點題型，老師務必引導學生去練習.學生只有掌握越來越多的技巧，對于幾何學習的邏輯思維程度才會越來越高，解題的靈活性也會越來越好.

【參考文獻】

[1]周麗芳.建立數(shù)學模型思想，提升問題解決能力——以初中數(shù)學線段和的最值問題為例[J].中學數(shù)學，2018（16）：88-90.

[2]王霞.初中數(shù)學二次函數(shù)中一類線段最值問題的快速求解方法[J].數(shù)學教學通訊，2018（17）：79-80.