黃曉悅

【摘要】高職院校中，高等數(shù)學(xué)是公共基礎(chǔ)課，學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的目的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，更好地為專業(yè)服務(wù).本文以復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)為例，從教師教學(xué)的視角簡(jiǎn)要分析復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)內(nèi)容，希望學(xué)生在學(xué)習(xí)中，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，將數(shù)學(xué)知識(shí)融入專業(yè)課中，為專業(yè)服務(wù).

【關(guān)鍵詞】復(fù)合函數(shù);求導(dǎo);教學(xué)

在高職院校，部分專業(yè)會(huì)開設(shè)高等數(shù)學(xué)課程.高等數(shù)學(xué)是公共基礎(chǔ)課，學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的目的是

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

，更好地為專業(yè)服務(wù).眾所周知，函數(shù)在數(shù)學(xué)中的地位舉足輕重，它涉及的知識(shí)點(diǎn)繁多，綜合性強(qiáng)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容.在微分學(xué)中，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t是函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算的基本工具.下面，本文就以復(fù)合函數(shù)為例，簡(jiǎn)要闡述關(guān)于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)教學(xué)的思考.

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)包括兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，一個(gè)是復(fù)合函數(shù)，另一個(gè)則是求導(dǎo).學(xué)生只有將這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)都掌握，才能夠順利地求解復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的題目.那么，什么是復(fù)合函數(shù)？如何認(rèn)識(shí)復(fù)合函數(shù)？怎樣求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)？

我們先來談?wù)劦谝粋€(gè)問題：什么是復(fù)合函數(shù)？

學(xué)生理解和掌握復(fù)合函數(shù)概念的前提是充分掌握基本初等函數(shù)，而基本初等函數(shù)又有哪些呢？現(xiàn)在我們來整理一下，基本初等函數(shù)包括指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù).基本初等函數(shù)和復(fù)合函數(shù)之間的關(guān)系是什么呢？如果基本初等函數(shù)的自變量位置不是自變量自己，而是自變量的一個(gè)函數(shù)，那么此函數(shù)必為復(fù)合函數(shù).或者說，復(fù)合函數(shù)就是一個(gè)“函數(shù)的函數(shù)”.接下來，我們來舉一些例子認(rèn)識(shí)一下復(fù)合函數(shù).

例1y=（1-x2）5是復(fù)合函數(shù)嗎？如果是，請(qǐng)問它由哪些基本初等函數(shù)構(gòu)成？

例1中的函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，它是由y=u5和u=1-x2這兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的，前者是冪函數(shù)，后者是二次函數(shù).u起到橋梁的作用，稱為中間變量.

例2y=2sin2x是復(fù)合函數(shù)嗎？如果是，請(qǐng)問它由哪些基本初等函數(shù)構(gòu)成？

例2中的函數(shù)也是復(fù)合函數(shù)，它是由y=2u，u=v2，v=sinx這三個(gè)基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，其中y=2u是指數(shù)函數(shù)，u=v2是冪函數(shù)，v=sinx是正弦函數(shù).u和v起到橋梁的作用，稱為中間變量.

在以上兩個(gè)例子當(dāng)中，我們介紹了復(fù)合函數(shù)和基本初等函數(shù)的關(guān)系.教師在講解時(shí)，需要幫助學(xué)生復(fù)習(xí)基本初等函數(shù)的類型及表達(dá)式等內(nèi)容，鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí).在學(xué)習(xí)中，學(xué)生要能夠從一個(gè)較為復(fù)雜的函數(shù)表達(dá)式中通過引入中間變量分解出基本初等函數(shù)，并且能說明基本初等函數(shù)的類型及表達(dá)式，而且能夠舉一反三，反過來，也能將基本初等函數(shù)組合成復(fù)合函數(shù)，從而使逆向思維得到鍛煉.

在學(xué)生充分掌握復(fù)合函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)該怎樣講解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，學(xué)生才能容易理解呢？教師在講解復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)概念之前，可以先給學(xué)生下發(fā)一些預(yù)習(xí)材料，如閱讀材料——《事物的相對(duì)性》，這篇閱讀材料從“牛頓力學(xué)認(rèn)為空間是絕對(duì)的”出發(fā)，穿插“宇宙中不存在絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，只有相對(duì)于另一體系的相對(duì)運(yùn)動(dòng)概念”，同時(shí)列舉了“絕對(duì)時(shí)間是錯(cuò)誤的”“愛因斯坦相對(duì)論”等材料，最終闡明一個(gè)觀點(diǎn)，那就是對(duì)于人們的日常工作、生活來講，事物的相對(duì)性說明我們看問題、做事情應(yīng)該因時(shí)、因地、因人而異.

有了這篇閱讀材料，教師在講解復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)概念時(shí)，應(yīng)該著重強(qiáng)調(diào)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)過程中的相對(duì)概念，也就是“誰對(duì)誰的求導(dǎo)”，換句話說，誰是自變量，誰是函數(shù)，誰是中間變量.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)是函數(shù)y對(duì)自變量x求導(dǎo)，而不是函數(shù)y對(duì)中間變量u求導(dǎo)，也不是中間變量u對(duì)自變量x求導(dǎo).因此，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則是鏈?zhǔn)椒▌t（y′x=y′u·u′x），也就是說，學(xué)生在求解復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)題目時(shí)，需要分別求出函數(shù)y對(duì)中間變量u的導(dǎo)數(shù)和中間變量u對(duì)自變量x的導(dǎo)數(shù)，然后再將兩者相乘，才能夠得到函數(shù)y對(duì)自變量x的導(dǎo)數(shù).

接下來，我們簡(jiǎn)要證明一下鏈?zhǔn)椒▌t，證明過程如下：dydx=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0（ΔyΔu·ΔuΔx）=limΔx→0ΔyΔu·limΔx→0ΔuΔx=dydu·dudx.在學(xué)生理解并掌握鏈?zhǔn)椒▌t的前提下，教師可以列舉幾個(gè)例子來引導(dǎo)學(xué)生使用鏈?zhǔn)椒▌t.

例3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

（1）y=ex2（2）y=sin（1-2x）（3）y=cos2x

解（1）函數(shù)y=ex2由函數(shù)y=eu和u=x2復(fù)合而成.

因此，由鏈?zhǔn)椒▌t可知，

y′=（eu）′·（u）′=（eu）′·（x2）′=eu·2x=ex2·2x=2xex2.

（2）函數(shù)y=sin（1-2x）由函數(shù)y=sinu和u=1-2x復(fù)合而成.

因此，由鏈?zhǔn)椒▌t可知，

y′=（sinu）′·（u）′=（sinu）′·（1-2x）′=cosu·（-2）=-2cosu=-2cos（1-2x）.

（3）函數(shù)y=cos2x由函數(shù)y=u2和u=cosx復(fù)合而成.

因此，由鏈?zhǔn)椒▌t可知，

y′=（u2）′·（u）′=（u2）′·（cosx）′=2u·（-sinx）=2cosx·（-sinx）=-2sinx·cosx=-sin2x.

在求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，學(xué)生需要仔細(xì)觀察復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)引入中間變量，首先將復(fù)合函數(shù)進(jìn)行拆分，從外向內(nèi)逐層拆分.然后，使用鏈?zhǔn)椒▌t對(duì)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo).但學(xué)生初學(xué)時(shí)，在求導(dǎo)過程中，應(yīng)寫清楚每一步，熟練后則可以省略簡(jiǎn)要步驟，由外層向內(nèi)層逐層求導(dǎo)，直到關(guān)于自變量求導(dǎo).最后，要將求導(dǎo)結(jié)果進(jìn)行化簡(jiǎn)還原，結(jié)果中不能出現(xiàn)還未化簡(jiǎn)的表達(dá)式，同時(shí)不能出現(xiàn)中間變量.

如果學(xué)生對(duì)以上三道練習(xí)題已經(jīng)充分掌握，那么教師可以嘗試加大難度，將復(fù)合次數(shù)增加，或者提高函數(shù)形式的復(fù)雜性.

例4求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

（1）y=（lnlnx）3（2）y=x·sin1x

解（1）函數(shù)y=（lnlnx）3由y=u3，u=lnv，v=lnx復(fù)合而成.

因此，由鏈?zhǔn)椒▌t可知，

y′=（u3）′·（lnv）′·（lnx）′=3u2·1v·1x=3（lnv）2·1v·1x=3（lnlnx）2·1lnx·1x=3（lnlnx）2lnx·x.

（2）在函數(shù)y=x·sin1x中，sin1x是復(fù)合形式，我們可以先求出sin1x的導(dǎo)數(shù)，假設(shè)f=sin1x，則

f′=sin1x′=cos1x·-1x2=-1x2cos1x

利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式，可以進(jìn)一步求出

y′=（x）′·sin1x+xsin1x′=1·sin1x+x-1x2cos1x=sin1x-1xcos1x

相較于之前例3中的三個(gè)練習(xí)題，例4中的兩個(gè)練習(xí)題難度明顯增加.第一個(gè)題目中復(fù)合函數(shù)的復(fù)合次數(shù)是三次，因此學(xué)生在求解題目時(shí)，必須先從外到內(nèi)，將復(fù)合函數(shù)拆分，再進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算;第二個(gè)題目是初等函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算，需要使用復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，以及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式的乘積運(yùn)算法則.學(xué)生在求解題目時(shí)，要把握好函數(shù)的整體結(jié)構(gòu)，分析出哪部分表達(dá)式是復(fù)合的，并且能靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，否則極有可能出錯(cuò).

除此之外，還有一類題目非常常見，也是求導(dǎo)題目中的核心內(nèi)容，我們一起來看一個(gè)例子.

例5求曲線y=e2x+x2過點(diǎn)（0，2）的切線方程.

這道例題的形式與之前都不同，之前的例題都是直接告訴函數(shù)表達(dá)式，請(qǐng)學(xué)生求出對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，而例5是求曲線的切線方程，那么，切線方程和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)之間又有什么聯(lián)系呢？

下面，我們就一起來求解這道例題.

解y′=（e2x+x2）′=（e2x）′+（x2）′=e2x·2+2x=2e2x+2x

切線的斜率為k=y′x=0=2e2x+2x=2.

利用直線的點(diǎn)斜式方程可得，切線的方程為

y-2=2（x-0），化簡(jiǎn)可得，y=2x+2.

因此，切線方程為y=2x+2.

在例5中，曲線的表達(dá)式是復(fù)合函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義我們知道，過點(diǎn)（0，2）的切線的斜率就是該復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此教師在講解這道例題時(shí)，有必要幫助學(xué)生復(fù)習(xí)一下導(dǎo)數(shù)的幾何意義，但不必長(zhǎng)篇大論，這樣學(xué)生就可以理解為什么需要先求導(dǎo)，才能求出切線的斜率.另外，由題目的已知條件可判斷出利用直線的點(diǎn)斜式方程可以順利求出過點(diǎn)（0，2）的切線方程，因此教師需要帶領(lǐng)學(xué)生分析題目已知條件.當(dāng)然，這個(gè)教學(xué)過程應(yīng)該在第一步進(jìn)行.題目中已經(jīng)告訴切線上一點(diǎn)的坐標(biāo)，就是（0，2），并且切線的斜率也是可以求出來的，因此使用直線的點(diǎn)斜式方程來求解題目最合適不過，這個(gè)步驟可以讓學(xué)生自己思考，得出求解切線方程最恰當(dāng)?shù)姆椒?

教師在講解時(shí)，可以帶領(lǐng)學(xué)生參照例5的分析過程，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，踴躍提出自己的想法和見解.教師對(duì)獨(dú)到的見解應(yīng)加以鼓勵(lì)，對(duì)不正確的想法應(yīng)加以糾正，逐步地引導(dǎo)學(xué)生完成題目，并總結(jié)同類型題目的求解方法和解題過程.學(xué)生在獨(dú)立完成題目后，自信心會(huì)大大增強(qiáng)，學(xué)習(xí)熱情也會(huì)高漲，對(duì)今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)大有幫助.

最后，總結(jié)一下關(guān)于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)教學(xué)的思路.

一、學(xué)情分析.教師需要提前了解學(xué)生對(duì)復(fù)合函數(shù)概念的掌握情況，不同院系、不同專業(yè)的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)存在差異，因此教師充分分析學(xué)生基礎(chǔ)是進(jìn)行復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)教學(xué)的前提條件之一.

二、復(fù)合函數(shù)概念復(fù)習(xí).在學(xué)情分析過后，教師對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)有了整體把握，并發(fā)現(xiàn)這時(shí)能夠掌握復(fù)合函數(shù)概念的學(xué)生占全部學(xué)生的一少部分，因此教師有必要帶領(lǐng)學(xué)生共同復(fù)習(xí)復(fù)合函數(shù)的概念，并加以練習(xí)，鞏固學(xué)生對(duì)復(fù)合函數(shù)概念的理解.

三、教師通過材料引入，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則.在這一環(huán)節(jié)，教師需要提前將課外閱讀材料下發(fā)給學(xué)生，學(xué)生在課前學(xué)習(xí)材料，討論交流，體會(huì)事物的相對(duì)性這一概念，為后續(xù)學(xué)習(xí)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則打下基礎(chǔ).課堂上，教師可以根據(jù)學(xué)生課前的閱讀心得，引導(dǎo)學(xué)生探討復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算中的相對(duì)性概念，即函數(shù)y對(duì)自變量x求導(dǎo).在相對(duì)性概念中，學(xué)生能夠理解復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中使用鏈?zhǔn)椒▌t的原因.

四、學(xué)習(xí)例題，完成練習(xí)，鞏固鏈?zhǔn)椒▌t.學(xué)生學(xué)習(xí)鏈?zhǔn)椒▌t后，需要趁熱打鐵，學(xué)習(xí)例題，掌握鏈?zhǔn)椒▌t的解題格式，并在練習(xí)題中加以運(yùn)用，這樣學(xué)生對(duì)鏈?zhǔn)椒▌t的認(rèn)識(shí)會(huì)更加透徹.

五、增加難度，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解題能力.學(xué)生在學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單使用鏈?zhǔn)椒▌t后，教師可以適當(dāng)增加難度，幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)鏈?zhǔn)椒▌t.在整個(gè)運(yùn)算過程中，學(xué)生的解題能力、分析能力都會(huì)得到鍛煉和培養(yǎng)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心也會(huì)增強(qiáng).

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的題目千變?nèi)f化，本文無法一一列舉，僅列舉了一些具有代表性的例題，但萬變不離其宗，教師在講授復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)題目時(shí)，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確把握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)題目的類型，選擇典型例題進(jìn)行主要分析和講解，在講解時(shí)需要注重學(xué)生在課堂中的主體性，帶領(lǐng)學(xué)生分析題目，把握重點(diǎn)，規(guī)范解題格式.教師在課堂上適當(dāng)穿插練習(xí)，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題，及時(shí)鞏固新知，最后達(dá)到舉一反三的目的.學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，通過獨(dú)立思考、類比歸納、合作交流等方式，學(xué)習(xí)例題，完成隨堂練習(xí)，大大提升學(xué)習(xí)效率，有效激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，同時(shí)學(xué)生的情感世界獲得發(fā)展和提升，并為專業(yè)課的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

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