李瑞芬

【摘要】不定積分是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，而第一類換元積分法（湊微分）又是不定積分中的一個(gè)難點(diǎn).本文從第一類換元積分法的基本原理出發(fā)，重點(diǎn)分析將被積函數(shù)寫成因子相乘的形式，然后對因子當(dāng)中的復(fù)合函數(shù)進(jìn)行研究，隨后引入中間變量將復(fù)合函數(shù)變成基本初等函數(shù)來積分的過程.這種簡明有效的教學(xué)方法可以幫助學(xué)生迅速接受并掌握湊微分，本文還詳述了湊微分在換元積分、分部積分中的運(yùn)用.

【關(guān)鍵詞】不定積分;湊微分;乘法

在高等數(shù)學(xué)的課程中，一元函數(shù)不定積分的計(jì)算是微積分計(jì)算中的重要內(nèi)容之一，是學(xué)習(xí)定積分、微分方程、多元函數(shù)積分學(xué)的基礎(chǔ).不定積分的求解方法主要有：直接積分法、第一類換元法（湊微分法）、第二類換元法、分部積分法四種.其中，湊微分法應(yīng)用極其廣泛，在換元積分法和分部積分法中，湊微分均是核心，是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)[1]，下面我們將對湊微分的教學(xué)方法進(jìn)行進(jìn)一步的探索.

湊微分法的基本原理為：設(shè)f（u）具有原函數(shù)F（u），即F′（u）=f（u），∫f（u）du=F（u）+C.如果u是中間變量，u=φ（x）且設(shè)φ（x）可微，那么根據(jù)復(fù)合函數(shù)微分法，有dF[φ（x）]=f[φ（x）]φ′（x）dx.從而根據(jù)不定積分的定義得：∫f[φ（x）]·φ′（x）dx=F[φ（x）]+C=∫f（u）du（u=φ（x））.

在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生往往對用湊微分原理解題理解困難.因此為了讓學(xué)生能準(zhǔn)確且更快地掌握湊微分，我們對第一類換元法中第一步把被積函數(shù)分解成因子乘積的形式進(jìn)行強(qiáng)調(diào)再隨之解題.由于同學(xué)們對基本初等函數(shù)的不定積分公式掌握得相對牢固，因此我們只要先把復(fù)合函數(shù)變形成積分表中的基本初等函數(shù)再來解不定積分的話就會容易很多.現(xiàn)在我們通過以下幾個(gè)例題對這種方法進(jìn)行詳細(xì)的闡述.

由于湊微分方式靈活多樣，單單依靠幾個(gè)常見的湊微分習(xí)題并不能給學(xué)生足夠的啟示，因此在講解過程中我們將方法歸結(jié)為三種，更便于學(xué)生掌握.

一、被積函數(shù)可化成若干個(gè)因子的乘積，研究其中的復(fù)合函數(shù)，進(jìn)行湊微分

例1求不定積分∫2xex2dx.

分析被積函數(shù)直接是幾個(gè)因子乘積的形式，且其中有一個(gè)是常數(shù).常數(shù)因子可以不用考慮，因?yàn)槌?shù)可以直接提到不定積分的前面.剩下一個(gè)基本初等函數(shù)x，一個(gè)復(fù)合函數(shù)ex2.我們只研究復(fù)合函數(shù)，引入中間變量把復(fù)合函數(shù)變成基本初等函數(shù)，即令x2=u，則ex2=eu，那么原題當(dāng)中的積分變量就由x變成了u，為了保證變量的統(tǒng)一，剩下的2xdx需要湊成du.而我們發(fā)現(xiàn)du恰好等于2xdx，故解題過程如下.

解∫2xex2dx=∫ex2dx2=∫eudu=eu+C=ex2+C.

例2求不定積分∫cosxsin2xdx.

分析被積函數(shù)是乘積的形式，且其中一個(gè)是基本初等函數(shù)cosx，另一個(gè)是復(fù)合函數(shù)sin2x.我們只研究復(fù)合函數(shù)，引入中間變量把復(fù)合函數(shù)變成基本初等函數(shù).即令sinx=u，則sin2x=u2，那么原題當(dāng)中的積分變量就由x變?yōu)閡了，為了保證變量的統(tǒng)一，剩下的cosxdx要湊成du.而我們發(fā)現(xiàn)du恰好等于cosxdx.

解∫cosxsin2xdx=∫sin2xdsinx=13sin3x+C.

例3求不定積分∫sinxxdx.

分析被積函數(shù)是相除的形式，根據(jù)上述分析，首先需要將被積函數(shù)寫成幾個(gè)因子乘積的形式.被積函數(shù)可寫為sinx乘1x，其中只有sinx為復(fù)合函數(shù)，故令x=u，則sinx=sinu，剩下的1xdx需要湊成du.

解∫sinxxdx=2∫sinxdx=-2cosx+C.

對于湊微分解題，剛開始的時(shí)候老師可以和同學(xué)們強(qiáng)調(diào)上述解法，也就是把被積函數(shù)寫成幾個(gè)因子乘積的形式，接下來研究是復(fù)合函數(shù)的那個(gè)因子，剩下的因子和dx湊成du.等學(xué)生熟練了之后再引入公式，他們接受起來就會容易很多，從而避免了對湊微分公式的死記硬背.

對于簡單的被積函數(shù)可以這么做，但是對于復(fù)雜的被積函數(shù)，也就是被積函數(shù)當(dāng)中不止一個(gè)復(fù)合函數(shù)的，應(yīng)該怎么做呢？先來看如下兩個(gè)例題.

例4求不定積分∫（arctanx）3x（1+x）dx.

分析被積函數(shù)是相除的形式，根據(jù)上述分析，首先需要將被積函數(shù)寫成幾個(gè)因子乘積的形式.

（arctanx）3乘1x乘11+x.寫成乘法之后，被積函數(shù)雖然是三個(gè)因子乘積的形式，但是只有（arctanx）3是復(fù)合函數(shù).而1x是基本初等函數(shù)，11+x是簡單函數(shù).故研究（arctanx）3，但是這個(gè)函數(shù)是由三層函數(shù)復(fù)合而成的，故我們要引入兩個(gè)中間變量把它逐步變成基本初等函數(shù).但是這里需要注意的是要從內(nèi)到外依次改變積分變量.

解∫（arctanx）3x（1+x）dx=∫（arctanx）3·1x·11+xdx=2∫（arctanx）3·11+xdx=2∫（arctanx）3darctanx=12（arctanx）4+C.

例5求不定積分∫ln2tanxcosxsinxdx.

分析被積函數(shù)是相除的形式，根據(jù)上述分析，首先需要將被積函數(shù)寫成幾個(gè)因子乘積的形式.被積函數(shù)可寫為ln2tanx乘1cosx乘1sinx.這三個(gè)函數(shù)均為復(fù)合函數(shù)，那么我們應(yīng)該選取哪個(gè)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行研究呢？這里我們歸納總結(jié)，遵循一個(gè)原則：選取復(fù)合層數(shù)最多的，也就是最復(fù)雜的那個(gè)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行研究.這里選取ln2tanx進(jìn)行研究.這個(gè)復(fù)合函數(shù)是由三層函數(shù)復(fù)合而成的，和例4一樣，根據(jù)從內(nèi)到外的原則，分別用湊微分將其解出.具體過程如下：∫ln2tanxcosxsinxdx=∫ln2tanx·1cosx·1sinxdx=∫ln2tanx·1tanxdtanx=∫ln2tanxdlntanx=13ln3tanx+C.

由此可見，在用湊微分解不定積分的時(shí)候，將被積函數(shù)轉(zhuǎn)化成乘積的形式再來求解，學(xué)生更容易掌握，且避免了傳統(tǒng)的對公式的死記硬背的方法.針對被積函數(shù)的形式和特點(diǎn)，我們歸納出以下幾種選擇方法和技巧.

1.被積函數(shù)只有一個(gè)復(fù)合函數(shù)時(shí)，引入中間變量，將復(fù)合函數(shù)變成我們熟悉的基本初等函數(shù)，再來求解.

如：∫（4x+3）2dx=14∫（4x+3）2d（4x+3）=112（4x+3）3+C.

2.被積函數(shù)是幾個(gè)函數(shù)相乘時(shí)，只需研究其中的復(fù)合函數(shù).如例1，例2.

3.被積函數(shù)是幾個(gè)函數(shù)相乘除時(shí)，將被積函數(shù)統(tǒng)一寫成相乘的形式，再來研究它們之中的那個(gè)復(fù)合函數(shù).如例3，例4.

4.被積函數(shù)為多個(gè)復(fù)合函數(shù)相乘的時(shí)候，選擇復(fù)合層數(shù)最多的也就是最復(fù)雜的那個(gè)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行研究.需注意的是由內(nèi)而外分別進(jìn)行湊微分.如例5.

二、變量代換法中的湊微分

變量代換法主要用于被積函數(shù)中含有根式的情況，我們解題時(shí)一個(gè)重要的思路就是將未知向已知轉(zhuǎn)化，故解決此類問題的首要任務(wù)是用變量代換將根式化成整式，化成我們熟悉的形式，再來求解.在化成整式后的求解過程中，湊微分又是一個(gè)主要的解題思路.

例6求不定積分∫1x+3xdx.

分析令3x=t，則x=t3，dx=3t2dt，于是原積分可化為

∫1x+3xdx=∫1t3+t·3t2dt=3∫tt2+1dt.到這一步為止，又變成了我們熟悉的形式，故將除法寫成乘法的形式，研究被積函數(shù)當(dāng)中的復(fù)合函數(shù)，再來求解.

解∫1x+3xdx=∫1t3+t·3t2dt=3∫tt2+1dt=3∫1t2+1·tdt=32∫1t2+1d（t2+1）=32ln（t2+1）+C，最后將變量t換成3x即可.

三、分部積分法中的湊微分

分部積分法主要適用于被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)乘積形式的不定積分，分部積分法關(guān)鍵是湊微分，將f（x）拆分成uv′.如求∫xcosxdx.設(shè)u=x，dv=cosxdx=d（sinx），∫xcosxdx=∫xd（sinx）=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C，則容易求解.在實(shí)際教學(xué)中我們總結(jié)出一個(gè)比較實(shí)用的方法：對拆分成乘積的兩個(gè)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，若求導(dǎo)后函數(shù)類型發(fā)生變化則選此函數(shù)為u，若類型沒有發(fā)生變化則選此函數(shù)為v′，兩個(gè)函數(shù)類型均未發(fā)生變化則任選一個(gè)作為u即可，從而總結(jié)一個(gè)口訣“三指動，反對不動”，即三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)可以作為v′，反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)不能作為v′.

例7求不定積分∫excosxdx.

分析被積函數(shù)為excosx，而（ex）′=ex，（cosx）′=-sinx，求導(dǎo)后函數(shù)的類型均沒有發(fā)生改變，仍為指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù).故根據(jù)上文總結(jié)，可任選一個(gè)函數(shù)作為v′.這里不妨取ex為v′.

解∫excosxdx=∫cosxdex=excosx-∫exd（cosx）=excosx+∫exsinxdx

=excosx+exsinx-∫exdsinx=excosx+exsinx-∫excosxdx，

再將式子中的∫excosxdx移項(xiàng)、合并，即可得∫excosxdx=12ex（sinx+cosx）+C.

此種方法實(shí)用性較強(qiáng)，但在各方面亦具有一定的局限性.

如求解不定積分∫x2exdx，被積函數(shù)為x2和ex，（x2）′=2x，（ex）′=ex.求導(dǎo)后的函數(shù)類型沒有發(fā)生變化，故可任意選取一個(gè)函數(shù)為u，但通過求解發(fā)現(xiàn)并非如此.

解法1∫x2exdx=13∫exd（x3）=13x3ex-13∫x3exdx=13x3ex-112∫exd（x4）（陷入無限循環(huán)）.

解法2∫x2exdx=∫x2d（ex）=x2ex-2∫xexdx=x2ex-2∫xd（ex）=x2ex-2xex+2∫exdx=x2ex-2xex+2ex+C（簡單明了）.

為了解決此類缺陷，我們再給出一個(gè)選取u及v′的簡單方法：將被積函數(shù)化成兩個(gè)函數(shù)相乘的形式，按照“反對冪指三”或者“反對冪三指”的順序，優(yōu)先選取u.如求解不定積分∫x2lnxdx，被積函數(shù)為冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的乘積，故應(yīng)選取對數(shù)函數(shù)lnx為u，即可解出.分析分部積分法中選取u的兩種方法，各有利弊.第一種方法利用湊微分，使學(xué)生的發(fā)散思維得以拓展，但對于某些題目不能應(yīng)用.第二種方法簡潔且應(yīng)用廣泛，但在一定程度上限制了同學(xué)們發(fā)散思維的培養(yǎng).因此在實(shí)際教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)將上述兩種方法相互結(jié)合、補(bǔ)充，使教學(xué)效果最大化.

綜上，在不定積分的求解中，湊微分方法非常重要，學(xué)生應(yīng)該領(lǐng)略湊微分的精髓，從而體會微積分的系統(tǒng)性，感受微積分的魅力.

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