李敏 陳佑軍

【摘要】通過(guò)對(duì)線性代數(shù)教學(xué)改革成果的研究，我們發(fā)現(xiàn)線性代數(shù)立體化教學(xué)模式是以簡(jiǎn)捷、應(yīng)用性強(qiáng)、容易理解為目標(biāo)，應(yīng)用于教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)手段等方面的教學(xué)模式.該模式能夠讓學(xué)生全面掌握所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)使用數(shù)學(xué)軟件，受到學(xué)生歡迎.通過(guò)思維導(dǎo)圖，學(xué)生可以多角度、立體化地理解所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，從而把零碎的概念及知識(shí)點(diǎn)整合起來(lái)，這樣學(xué)習(xí)起來(lái)更方便，不但減少了煩瑣過(guò)程，而且能夠增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高其解決實(shí)際問(wèn)題的能力.線性代數(shù)立體化教學(xué)研究，彌補(bǔ)了單一教學(xué)方式的局限性、片面性，為線性代數(shù)教學(xué)改革提供了新的方向.

【關(guān)鍵詞】

教學(xué)法;矩陣;MATLAB;思維導(dǎo)圖

線性代數(shù)在教學(xué)改革中取得了一系列成就，如分層教學(xué)法、對(duì)分課堂、翻轉(zhuǎn)課堂等教學(xué)法在課堂教學(xué)實(shí)踐中取得了令人矚目的成績(jī).教師利用信息技術(shù)，將慕課、微課等教學(xué)方式融入線性代數(shù)的日常學(xué)習(xí)，極大地拓寬了同學(xué)們的學(xué)習(xí)視野，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高了線性代數(shù)教學(xué)的實(shí)效性.

教學(xué)有法，教無(wú)定法.單一的教學(xué)方式有其局限性.在多種教學(xué)手段下，線性代數(shù)立體化教學(xué)彌補(bǔ)了這種片面性，使教學(xué)效果更圓滿，提高了學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性.

1 線性代數(shù)立體化教學(xué)模式

依據(jù)線性代數(shù)的教學(xué)大綱，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的不同，利用信息技術(shù)，采用不同的教學(xué)方法、教學(xué)手段，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基本內(nèi)容、基本技能，達(dá)到教學(xué)要求，完成教學(xué)任務(wù)的方法稱為線性代數(shù)立體化法.其特點(diǎn)是：

1.目標(biāo)明確，以簡(jiǎn)捷、易接受的教學(xué)手段、方法，使學(xué)生掌握知識(shí).

2.因材施教，方法靈活，不拘一格.

3.充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

4.通過(guò)學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握MATLAB等數(shù)學(xué)軟件，提高學(xué)生掌握信息技術(shù)的能力.

5.注重理論與實(shí)際相結(jié)合，提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.線性代數(shù)立體化法的必要條件是教師精通多種教學(xué)方法，掌握先進(jìn)的教學(xué)手段，熟悉教學(xué)內(nèi)容;教師熱愛(ài)教學(xué)研究，教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富.

2 線性代數(shù)立體化教學(xué)模式應(yīng)用

2.1 教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法上的立體化教學(xué)應(yīng)用

線性代數(shù)矩陣的乘法是很重要也是非常獨(dú)特的運(yùn)算方法.教師若正常講授，學(xué)生也很容易掌握，但教師如果采用啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，會(huì)得到很多意想不到的結(jié)論.教材中介紹矩陣的乘法的定義是Am×s×Bs×n=Cm×n，即第一個(gè)矩陣的列數(shù)與第二個(gè)矩陣的行數(shù)相同時(shí)，矩陣乘法成立，新矩陣的行數(shù)、列數(shù)分別等于第一個(gè)矩陣行數(shù)、第二個(gè)矩陣的列數(shù).

教師啟發(fā)學(xué)生思考如下問(wèn)題：①As×m×Bn×s=？，如果能運(yùn)算，怎樣定義乘法運(yùn)算，有什么規(guī)律？

②一個(gè)下標(biāo)交叉位置數(shù)字不變，即Am×s×Bn×s=？成立，或者As×m×Bs×n=？成立，怎樣定義乘法運(yùn)算，有什么結(jié)果，這兩個(gè)結(jié)果之間有什么關(guān)系？同學(xué)們被這些問(wèn)題吸引了，找出不同類型的實(shí)際例子，闡述自己的想法.

教師在這一基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出矩陣相乘.這種運(yùn)算規(guī)律在其他領(lǐng)域中應(yīng)用，結(jié)果如何，值得同學(xué)們進(jìn)一步思考.

2.2 知識(shí)點(diǎn)橫向、縱向相關(guān)聯(lián)思維導(dǎo)圖

學(xué)生由于受各種原因影響，對(duì)所學(xué)知識(shí)掌握得比較片面、零碎，根據(jù)這一特點(diǎn)，教師在教學(xué)中應(yīng)注意把知識(shí)點(diǎn)橫向、縱向及時(shí)貫通，利用思維導(dǎo)圖，把知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系在一起，幫助學(xué)生建立系統(tǒng)的、完整的線性代數(shù)理論體系.教師通過(guò)建立完整的理論體系，幫助學(xué)生完成對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的理解，解決其學(xué)習(xí)中遇到的各種困惑，協(xié)助學(xué)生排憂解難，達(dá)到融會(huì)貫通的目標(biāo).

由于學(xué)生對(duì)線性方程組的解、矩陣的秩、向量組的線性相關(guān)性這些概念理解得不全面，因此教師應(yīng)建立橫向思維導(dǎo)圖，學(xué)生根據(jù)圖示描述就很快能掌握它們之間的關(guān)系，并能根據(jù)它們之間的關(guān)系解決相應(yīng)的問(wèn)題，如圖1.

矩陣是貫串于線性代數(shù)各章節(jié)的概念，在不同的章節(jié)，定義了相應(yīng)的矩陣.因此學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，感覺(jué)概念多，知識(shí)點(diǎn)分散，掌握難度比較大.教師在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)在詳細(xì)剖析各類矩陣的概念之后，把各類矩陣縱向聯(lián)系起來(lái)，這樣可以幫助學(xué)生把各類零碎的矩陣概念統(tǒng)一起來(lái)，建立完整的矩陣體系，如圖2.

2.3 教學(xué)手段上立體化教學(xué)應(yīng)用

實(shí)對(duì)稱矩陣可以對(duì)角化這個(gè)原理，由于解題量大，步驟比較多，學(xué)生容易對(duì)其產(chǎn)生厭煩心理.在學(xué)生掌握概念及解題思想的基礎(chǔ)上，教師可以教學(xué)生使用數(shù)學(xué)軟件MATLAB，

幫助學(xué)生樹(shù)立使用數(shù)學(xué)技術(shù)及現(xiàn)代工具思想，讓計(jì)算機(jī)技術(shù)真正走進(jìn)我們的教學(xué).學(xué)生在學(xué)習(xí)軟件的同時(shí)，感受新技術(shù)的便捷，領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力，這樣有利于增強(qiáng)其學(xué)習(xí)興趣.

在教學(xué)中，教師要求學(xué)生用正交矩陣將實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化.例如，對(duì)對(duì)稱矩陣 進(jìn)行對(duì)角化.在學(xué)生全面掌握計(jì)算方法，正確求解后，教師可以要求學(xué)生在數(shù)學(xué)軟件MATLAB中演示用正交矩陣將實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化的算法.學(xué)生通過(guò)以下操作，對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣A進(jìn)行對(duì)角化.

解：在MATLAB命令窗口中輸入命令

計(jì)算結(jié)果中，矩陣P的列向量就是正交化向量組，D就是對(duì)角化的結(jié)果.

學(xué)生通過(guò)操作，深感計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的計(jì)算能力，也為自己掌握一門軟件技術(shù)感到自豪，增強(qiáng)了學(xué)好線性代數(shù)的自信心.

3 線性代數(shù)立體化教學(xué)模式應(yīng)用效果

通過(guò)多年的教學(xué)研究，線性代數(shù)立體化教學(xué)模式應(yīng)用效果比較明顯，表現(xiàn)在如下方面：卷一的通過(guò)率由原來(lái)的65[WTB3]%[WTBX]提升到78[WTB3]%[WTBX];卷二的通過(guò)率由最初的62.5[WTB3]%[WTBX]逐年遞增4[WTB3]%[WTBX]，個(gè)別好的班級(jí)，超過(guò)85[WTB3]%[WTBX];課程組平均通過(guò)率保持在75[WTB3]%[WTBX]左右;學(xué)生在考研中，線性代數(shù)的得分率逐年提高.部分學(xué)生受到學(xué)習(xí)線性代數(shù)的影響，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與熱情得到提升，學(xué)習(xí)成績(jī)提高，自信心增加，在老師的鼓勵(lì)下，參加MATLAB選修課、數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)的人數(shù)增多，參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的積極性提高.2018年全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，我校學(xué)生獲得國(guó)家級(jí)一等獎(jiǎng)1名、二等獎(jiǎng)3名、三等獎(jiǎng)11名，獲獎(jiǎng)率6.8[WTB3]%[WTBX]，獲山東省一等獎(jiǎng)6名、二等獎(jiǎng)9名、三等獎(jiǎng)37名，獲獎(jiǎng)率23.6[WTB3]%[WTBX].線性代數(shù)立體化教學(xué)模式，使學(xué)生全面掌握了數(shù)學(xué)基本內(nèi)容、基本方法，學(xué)會(huì)使用數(shù)學(xué)軟件，增強(qiáng)了解決實(shí)際問(wèn)題的能力.學(xué)生通過(guò)思維導(dǎo)圖，多角度、立體化理解所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，把零碎的概念及知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái).這樣學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)既方便又效果好，減少了煩瑣過(guò)程.這種方式受到了學(xué)生的歡迎，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)線性代數(shù)立體化教學(xué)模式的研究，我們?nèi)〉昧艘欢ǖ某煽?jī)，教師的教學(xué)方法、教學(xué)手段不斷提高、完善，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣得到增強(qiáng)，主動(dòng)學(xué)習(xí)的人數(shù)不斷增多.我們也發(fā)現(xiàn)了一些需要進(jìn)一步提高的方面，如教師在課堂教學(xué)方面需不斷調(diào)整，教學(xué)手段需進(jìn)一步更新，要以簡(jiǎn)捷、高效、易理解的方式，使學(xué)生領(lǐng)會(huì)所講知識(shí).線性代數(shù)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課急需進(jìn)一步完善，要和教材相結(jié)合，形成系統(tǒng)的、操作性強(qiáng)的、配套的統(tǒng)一體.

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