張利亞 杜 川 逯鵬

【摘 要】近年來，全世界爆發(fā)了多種全球性傳染病，這使得研究者們開始更多地關(guān)注病毒的傳播機(jī)理和如何采取有效措施控制病毒傳播，而復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)為研究病毒傳播提供了有效工具，同時(shí)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)也是復(fù)雜性系統(tǒng)研究的重要手段，因此復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究具有十分重要的價(jià)值和意義。文章以實(shí)際社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中的病毒及傳染病傳播為切入點(diǎn)，著重介紹了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特征、數(shù)學(xué)模型及復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的病毒傳播知識(shí)，并對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的發(fā)展進(jìn)行展望。

【關(guān)鍵詞】復(fù)雜網(wǎng)絡(luò);病毒傳播;仿真組合

【中圖分類號(hào)】R511;O157.5【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-0688（2020）11-0094-03

0 引言

從2003年的SARS病毒、2009年的甲型H1N1流感、2014年的埃博拉病毒，到2020年暴發(fā)的新型冠狀病毒，局部的傳染病會(huì)迅速演變?yōu)槿蛐缘牧餍胁〈蟊┌l(fā)，因此研究病毒的傳播機(jī)理，進(jìn)而采取有效措施控制病毒傳播具有十分重要的價(jià)值和意義，而復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)為此提供了有效的研究工具。不僅病毒傳播網(wǎng)絡(luò)及傳染病網(wǎng)絡(luò)，人類社會(huì)的很多網(wǎng)絡(luò)，比如社交網(wǎng)、語義聯(lián)系網(wǎng)、因特網(wǎng)、電力網(wǎng)、食物鏈網(wǎng)、蛋白質(zhì)作用網(wǎng)、大腦網(wǎng)絡(luò)等，都可以用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行描述和分析[1]。本文以病毒傳播網(wǎng)絡(luò)為切入點(diǎn)，淺析當(dāng)前復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展。

用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)來描述某一復(fù)雜系統(tǒng)時(shí)，節(jié)點(diǎn)表示某一物理實(shí)體，節(jié)點(diǎn)間的連邊代表節(jié)點(diǎn)間的關(guān)系或相互作用。1959年，Erdos與Rényi兩位學(xué)者創(chuàng)建了隨機(jī)圖理論，被公認(rèn)為為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的創(chuàng)始性系統(tǒng)研究。20世紀(jì)的后40年并沒有更好的研究方法提出。直到世紀(jì)之交，研究者們打破了長期的傳統(tǒng)圖論觀念，對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)開始了轟轟烈烈的研究，其中兩項(xiàng)重要發(fā)現(xiàn)被認(rèn)為是其發(fā)展過程的里程碑：WS小世界網(wǎng)絡(luò)和BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。此后，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究得以迅猛發(fā)展[2]。

1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論基礎(chǔ)

研究者們用一些統(tǒng)計(jì)特性來描述復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，這些特性包括平均路徑長度、聚類系數(shù)、度與度分布、介數(shù)及其分布、模塊性、度相關(guān)性等[3]。實(shí)際的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)大多數(shù)都具有小的平均路徑長度、節(jié)點(diǎn)的度分布服從冪律分布、具有較高聚類性等。

1.1 平均路徑長度

平均路徑長度L（也叫特征路徑長度）表征網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)對(duì)之間距離的平均值，而節(jié)點(diǎn)對(duì)之間距離用dij表示，指連接這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的最少的邊數(shù)。

網(wǎng)絡(luò)中dij的最大值稱為網(wǎng)絡(luò)的直徑，用D表示：

N為網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的總數(shù)。D與L可以用作衡量網(wǎng)絡(luò)的傳輸效率和魯棒性的指標(biāo)。特定的實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中，其平均路徑長度L也存在其特定的意義。例如，在病毒傳播網(wǎng)絡(luò)中L代表病毒傳播時(shí)間，交通網(wǎng)絡(luò)中L代表站點(diǎn)間的距離。L是表征網(wǎng)絡(luò)的整體特征參數(shù)。

許多實(shí)際的網(wǎng)絡(luò)雖然規(guī)模很大，即網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)N很大，但其平均路徑長度L卻較小，這就是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的小世界特性。這是因?yàn)長與N是對(duì)數(shù)成正比，即L∝lnN。大量研究表明，實(shí)際社會(huì)中的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)大多都具有小世界屬性。

1.2 聚類系數(shù)

節(jié)點(diǎn)的聚類系數(shù)描述：假設(shè)節(jié)點(diǎn)i存在ki個(gè)鄰居節(jié)點(diǎn)，而這ki鄰居節(jié)點(diǎn)之間又互相存在實(shí)際的連邊數(shù)為Ei，那么節(jié)點(diǎn)i的聚類系數(shù)Ci可以表示如下：

某一節(jié)點(diǎn)的聚類系數(shù)的含義：該節(jié)點(diǎn)全部鄰居節(jié)點(diǎn)之間的實(shí)際連邊數(shù)，與這些鄰居節(jié)點(diǎn)間最大可能連邊數(shù)的比值。而所有節(jié)點(diǎn)的聚類系數(shù)的平均值就構(gòu)成了網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)C，由定義知0

1.3 度與度分布

度與度分布是網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)重要參數(shù)。網(wǎng)絡(luò)中單個(gè)節(jié)點(diǎn)的度可以用該點(diǎn)所連邊數(shù)來表示，或者用該點(diǎn)的鄰節(jié)點(diǎn)數(shù)來表示。網(wǎng)絡(luò)中度大的節(jié)點(diǎn)通常稱為關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。網(wǎng)絡(luò)的度是指所有節(jié)點(diǎn)度的平均值，也稱為網(wǎng)絡(luò)的平均度，用〈k〉來表示。網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的度分布情況常用分布函數(shù)P（k）來描述，P（k）表示隨機(jī)選擇的某個(gè)節(jié)點(diǎn)的度恰好為k的概率是多大。

有兩種經(jīng)典的度分布情況：一種是指數(shù)分布，即隨著k的增加P（k）以指數(shù)形式衰減;另一種是冪律分布，即P（k）～k- r，r為度指數(shù)，r的值與網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)特性有關(guān)。冪律分布也稱為無標(biāo)度分布，此時(shí)網(wǎng)絡(luò)被叫作無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。

常見的網(wǎng)絡(luò)（比如規(guī)則網(wǎng)絡(luò)和隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)）度的分布區(qū)間比較小，多數(shù)節(jié)點(diǎn)的度分布都集中在平均度（k）的左右，這是代表了網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的同質(zhì)性，故平均度〈k〉的值也被認(rèn)為是網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)重要特性指標(biāo)。

1.4 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型

一個(gè)好的網(wǎng)絡(luò)模型能夠正確地表征真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征。對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)建模是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的一個(gè)重要方向，其目的是揭示形成這些共有統(tǒng)計(jì)特性的內(nèi)在機(jī)制。但是，由于真實(shí)的網(wǎng)絡(luò)通常具有高度復(fù)雜性，那么僅用一個(gè)通用模型對(duì)所有真實(shí)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行建模是不科學(xué)的。研究者們對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究經(jīng)歷了從規(guī)則網(wǎng)絡(luò)、隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)，到小世界網(wǎng)絡(luò)與無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展歷程，比較經(jīng)典的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型有規(guī)則網(wǎng)絡(luò)（比如星形耦合網(wǎng)絡(luò)、全局耦合網(wǎng)絡(luò)及最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)等）、隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)（ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)）、小世界網(wǎng)絡(luò)及無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。WS小世界網(wǎng)絡(luò)演化模型如圖1所示。

2 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的病毒傳播

截至目前，針對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究整體上體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一方面是揭示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)演化的動(dòng)力學(xué)機(jī)制，另一方面是研究網(wǎng)絡(luò)上的動(dòng)力學(xué)過程。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上動(dòng)力學(xué)過程主要研究網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)其上的動(dòng)力學(xué)過程的影響，這有助于人們理解各種真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的功能。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的動(dòng)力學(xué)過程很復(fù)雜，例如耦合振子的同步、病毒傳播、演化博弈行為、雪崩效應(yīng)等[4]。這里簡要介紹復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的病毒傳播。

各類病毒造成的傳染病不單會(huì)危及人們的身體健康，還會(huì)給社會(huì)帶來重大的經(jīng)濟(jì)損失，造成金融危機(jī)，演變?yōu)槿祟惖闹卮鬄?zāi)難。因此，對(duì)于病毒傳播或者傳染病的發(fā)生機(jī)制、傳播機(jī)制，以及相對(duì)應(yīng)的防控措施的研究是當(dāng)今科學(xué)研究的重點(diǎn)和焦點(diǎn)。

病毒傳播動(dòng)力學(xué)是對(duì)病毒傳播進(jìn)行定量分析的一種理論方法。首先通過分析病毒種群的生長特征、發(fā)病機(jī)理與傳播規(guī)律，以及相關(guān)的生物和社會(huì)因素創(chuàng)建一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型;然后對(duì)該數(shù)學(xué)模型的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行定性定量分析及數(shù)據(jù)模擬，進(jìn)一步揭示疾病的發(fā)生過程及傳播規(guī)律;最后判斷傳染病的發(fā)展形勢，剖析病毒傳播的原因及要素，探求傳染病預(yù)防及控制的最佳策略。

經(jīng)典的病毒傳播模型把病毒內(nèi)的個(gè)體分為幾類，每一類均處于一個(gè)基本狀態(tài)。這些基本狀態(tài)包括：S（susceptible）易感狀態(tài)，也稱為健康狀態(tài);I（infected）感染狀態(tài);R（removed）被移除狀態(tài)。一般用不同狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)化過程來定義不同的傳播模型。其中，影響最大的是Pastor-Satorras與Vespignani通過平均場理論建立的SIS及SIR模型。易感狀態(tài)被感染后又回到健康狀態(tài)并且擁有了免疫性，這種情況稱為SIR模型。如果易感人群被感染后又重新回到原來的易感狀態(tài)，這種情況稱為SIS模型。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的病毒傳播和規(guī)則網(wǎng)絡(luò)上的病毒傳播有非常顯著的不同。在隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)或者規(guī)則網(wǎng)絡(luò)中存在有限的正值傳播臨界值λc，當(dāng)傳染病的有效傳播率低于λc時(shí)，感染節(jié)點(diǎn)總數(shù)成指數(shù)減少，到最后病毒在網(wǎng)絡(luò)中被消滅，此時(shí)的網(wǎng)絡(luò)處于吸收階段（absorbing phase）。與之相反，當(dāng)傳染病的有效傳播率大于λc時(shí)，病毒會(huì)擴(kuò)散，使最終網(wǎng)絡(luò)的感染個(gè)體總數(shù)趨于某個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)網(wǎng)絡(luò)處于激活階段（Active Phase）。

當(dāng)傳播網(wǎng)絡(luò)為無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)時(shí)，一個(gè)節(jié)點(diǎn)的度越大，被感染的概率就越大。對(duì)于指數(shù)范圍是2<γ≤3的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)N→∞時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的λ0→0。因?yàn)榇蟛糠譄o標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)都存在2<γ≤3，所以在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，總有λ≥λc，不管傳播強(qiáng)度多么小，疾病總能長期存在。

研究流行病、計(jì)算機(jī)病毒、知識(shí)、謠言等各種信息在真實(shí)系統(tǒng)中的傳播是一項(xiàng)非常復(fù)雜而有意義的工作，也是當(dāng)前研究的熱點(diǎn)之一。例如，針對(duì)2020年暴發(fā)的新型冠狀病毒肺炎疫情，白亮等人研究了新型冠狀病毒來源、傳播途徑，并總結(jié)了易感動(dòng)物模型最新研究進(jìn)展[5]，李棟、白瑞瑞提出了一個(gè)關(guān)于新型冠狀病毒傳播仿真組合模型來有效模擬新型冠狀病毒（COVID-19）的傳播過程[6]。

3 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究展望

21世紀(jì)以來，得益于計(jì)算機(jī)、互聯(lián)網(wǎng)及各種高端科學(xué)技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，人們已經(jīng)進(jìn)入大數(shù)據(jù)時(shí)代，能夠快捷地獲取所需的各種信息和資源，人類的生活與科研也發(fā)生重大改變，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)已成為大數(shù)據(jù)時(shí)代不可缺少的一部分。

對(duì)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究還有助于人類解決當(dāng)今所面臨的以下重要問題[7]：①可以為網(wǎng)絡(luò)工程的設(shè)計(jì)、防護(hù)和開發(fā)應(yīng)用提供穩(wěn)固的理論和技術(shù)基礎(chǔ)，例如研究計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)上的病毒傳播有助于找到抑制病毒傳播的有效途徑。②21世紀(jì)是互聯(lián)網(wǎng)和大數(shù)據(jù)時(shí)代，網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的研究具有現(xiàn)實(shí)和長遠(yuǎn)的軍事國防意義。③復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究有助于人類早日戰(zhàn)勝各種傳染病。例如，社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中不同傳染病的傳播機(jī)制、人們采取什么控制措施能將損失降到最低。因此，對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究具有重大意義。

參 考 文 獻(xiàn)

[1]劉建香.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)及其在國內(nèi)研究進(jìn)展的綜述[J].系統(tǒng)科學(xué)學(xué)報(bào)，2009（4）：33-39.

[2]周濤，傅忠謙，牛永偉，等.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳播動(dòng)力學(xué)研究綜述[J].自然科學(xué)進(jìn)展，2005（5）：513-518.

[3]張利亞.視覺皮層突觸連接網(wǎng)絡(luò)演化模擬研究[D].鄭州：鄭州大學(xué)，2016.

[4]劉永奎.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)及網(wǎng)絡(luò)上的演化博弈動(dòng)力學(xué)研究[D].西安：西安電子科技大學(xué)，2010.

[5]白亮，劉寶寧，趙四海，等.新型冠狀病毒來源、傳播途徑及易感動(dòng)物模型研究進(jìn)展[J].臨床醫(yī)學(xué)研究與實(shí)踐，2020（S1）：1-2，11.

[6]李棟，白瑞瑞.新型冠狀病毒傳播仿真組合模型[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2020（5）：5-10.

[7]汪秉宏，周濤.當(dāng)前復(fù)雜系統(tǒng)研究的幾個(gè)方向[J].復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜性科學(xué)，2008（4）：25-32.