王旭陽(yáng)，張 磊，許紅衛(wèi)，宋少偉，張?jiān)蕽?/p>

(西安航天動(dòng)力研究所 液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710100)

0 引言

振動(dòng)試驗(yàn)是產(chǎn)品性能檢驗(yàn)的最常見(jiàn)手段，夾具作為產(chǎn)品與振動(dòng)臺(tái)的連接件，主要用來(lái)模擬產(chǎn)品真實(shí)安裝環(huán)境和傳遞振動(dòng)載荷，是試驗(yàn)的重要組成部分[1]。夾具的模態(tài)分布情況與其傳力特性密切相關(guān)，采用數(shù)值方法開(kāi)展夾具動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，螺栓連接的力學(xué)模型對(duì)其結(jié)果影響甚大。

目前最常見(jiàn)的處理方法是將螺栓作為剛性連接構(gòu)件，在夾具底板上的螺栓孔處設(shè)置固定約束條件[2-3]，該力學(xué)模型與實(shí)際中的彈性連接方式存在較大差異，影響著夾具的傳力特性。

在螺栓結(jié)合面剛度研究方面，N L Pedersen將螺栓聯(lián)接等效成具有一定厚度的圓管，推導(dǎo)出結(jié)合面剛度計(jì)算公式[4]。Lehnhoff等認(rèn)為螺栓結(jié)合面的壓應(yīng)力呈圓錐形均勻分布，得到了同材料、同厚度連接件的剛度計(jì)算模型[5]。Wileman將有限元分析與理論計(jì)算相結(jié)合，給出了更加簡(jiǎn)化的結(jié)合面剛度經(jīng)驗(yàn)公式[6]。上述文獻(xiàn)的推導(dǎo)過(guò)程中只是針對(duì)被連接件剛度進(jìn)行計(jì)算，得到的結(jié)合面剛度與螺栓預(yù)緊力無(wú)關(guān)。吉村允孝法在考慮結(jié)合面特征因素的影響，推導(dǎo)出不同預(yù)緊力作用下，螺栓結(jié)合部剛度等效計(jì)算公式，具有廣泛的適用性[7]。

基于螺栓結(jié)合面剛度研究現(xiàn)狀以及振動(dòng)臺(tái)結(jié)構(gòu)特性，本文研究了4種不同的螺栓連接簡(jiǎn)化模型，結(jié)合模態(tài)試驗(yàn)開(kāi)展對(duì)比分析，確定合適的等效動(dòng)力學(xué)模型。并采用數(shù)值計(jì)算、試驗(yàn)驗(yàn)證與理論分析相結(jié)合的方法開(kāi)展螺栓預(yù)緊力對(duì)夾具模態(tài)的影響規(guī)律分析工作，為試驗(yàn)時(shí)夾具的連接螺栓扭矩確定提供參考。

1 有限元模型及模態(tài)試驗(yàn)

1.1 有限元模型

夾具結(jié)構(gòu)實(shí)物圖和有限元模型分別如圖1和圖2所示，試驗(yàn)時(shí)，通過(guò)螺栓將夾具底面與振動(dòng)臺(tái)滑臺(tái)連接。設(shè)定夾具與滑臺(tái)螺栓連接的4種簡(jiǎn)化模型如下：

Case 1：模型中不考慮滑臺(tái)結(jié)構(gòu)，在夾具底板上的螺栓孔處設(shè)定固定約束條件，為目前最常見(jiàn)的處理方法；

Case 2：假定滑臺(tái)為剛性結(jié)構(gòu)，在螺栓預(yù)緊力作用下，夾具與滑臺(tái)的接觸面為剛性面，在數(shù)值模型中對(duì)夾具底面設(shè)置固定約束條件；

Case 3：假定滑臺(tái)為彈性結(jié)構(gòu)，夾具與滑臺(tái)接觸面緊密貼合，運(yùn)動(dòng)具有一致性，在此采用Tie命令進(jìn)行綁定，在滑臺(tái)模型上設(shè)置對(duì)應(yīng)的邊界約束條件；

Case 4：將吉村允孝法運(yùn)用到螺栓結(jié)合部剛度等效模型中，如圖3所示，采用一組彈簧單元來(lái)模擬螺栓連接方式，其中，一組彈簧單元包含一個(gè)法向彈簧與2個(gè)切向彈簧，彈簧兩端分別連接在夾具與滑臺(tái)螺栓孔處，并在滑臺(tái)模型上設(shè)置與Case 3工況相同的邊界約束條件。

圖1 夾具實(shí)物圖Fig.1 Fixture photo

圖2 夾具和振動(dòng)臺(tái)有限元模型Fig.2 Finite element models of fixture and vibration table

圖3 彈簧單元設(shè)置示意圖Fig.3 Schematic diagram of spring units

夾具與滑臺(tái)結(jié)構(gòu)材料分別為2A12和鎂鋁合金，材料性能參數(shù)如表1所示。

表1 夾具與滑臺(tái)結(jié)構(gòu)材料參數(shù)Tab.1 Material parameters of fixture and vibration

1.2 螺栓結(jié)合面剛度等效模型

在研究螺栓結(jié)合部剛度問(wèn)題中，國(guó)內(nèi)外學(xué)者總結(jié)出了一些特定條件下結(jié)合部剛度的計(jì)算公式和經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)[8-10]，其中，吉村允孝研究表明，當(dāng)結(jié)合面平均接觸壓力相同時(shí)，其單位面積的動(dòng)態(tài)特性具有相似性[7]?？赏ㄟ^(guò)對(duì)結(jié)合面參數(shù)求積分獲得其等效剛度和阻尼，在此，假設(shè)作用于oxy平面的微元dxdy壓力為p，則有

(1)

式中：kz為法向剛度；kx、ky為切向剛度；k1(p)和k2(p)分別為單位面積的法向和切向剛度值。對(duì)上述公式求積分，可得任意面積的結(jié)合面剛度值

(2)

螺栓連接時(shí)，結(jié)合面接觸壓強(qiáng)近似呈軸對(duì)稱(chēng)環(huán)形分布，上述公式等效為

(3)

如圖4所示，在螺栓預(yù)緊力作用下，結(jié)合面處的接觸壓強(qiáng)分布函數(shù)可用下式表述[11-12]

p(r)=aFexp(-(r-b)2/c2)

(4)

其中

F=T/kd

式中：r為接觸壓強(qiáng)分布半徑；T為螺栓扭矩；k為扭矩系數(shù)，通常取0.2；d為螺栓公稱(chēng)直徑；a，b，c為擬合參數(shù)，與預(yù)緊力F數(shù)值無(wú)關(guān)[13]。

研究表明[14]，如圖4所示結(jié)合部剛度與接觸壓強(qiáng)密切相關(guān)，存在以下關(guān)系

k1(p)=αpβ(r)

(5)

式中α和β為與結(jié)合面特性相關(guān)的常數(shù)。

圖4 結(jié)合面接觸壓強(qiáng)分布情況Fig.4 Distribution of contact pressure on the bolted joint interface

結(jié)合式(3)～式(5)，可得結(jié)合面法向剛度

(6)

式中：rh、rm分別為結(jié)合面接觸壓強(qiáng)最小、最大半徑；α1和β1為與結(jié)合面法向特性相關(guān)的常數(shù)。

同理，根據(jù)吉村允孝法，結(jié)合面切向剛度

(7)

1.3 夾具模態(tài)試驗(yàn)

為檢驗(yàn)4種不同螺栓連接簡(jiǎn)化模型的有效性，開(kāi)展對(duì)應(yīng)的夾具模態(tài)試驗(yàn)。夾具通過(guò)M12螺栓與滑臺(tái)連接，螺栓擰緊力矩均為72 N·m。其中，試驗(yàn)?zāi)Ｐ陀?7個(gè)點(diǎn)組成，每個(gè)點(diǎn)均采用三向傳感器測(cè)試。為保證試驗(yàn)結(jié)果的完整性，根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，激勵(lì)點(diǎn)取11號(hào)、17號(hào)及19號(hào)點(diǎn)，激勵(lì)方向包括水平和垂直方向，脈沖激勵(lì)由試驗(yàn)力錘敲擊產(chǎn)生，分析范圍為：0～2 048 Hz，頻率分辨率為1 Hz，通過(guò)對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理分析，得到夾具的各階模態(tài)頻率如表2所示，振型如圖5所示。

圖5 夾具前4階模態(tài)振型Fig.5 The first four modal shapes of fixture

表2 數(shù)值計(jì)算模態(tài)與試驗(yàn)?zāi)B(tài)結(jié)果對(duì)比Tab.2 Comparison of modal calculation and modal test results

1.4 對(duì)比分析

基于1.2節(jié)的螺栓結(jié)合面剛度等效模型，結(jié)合試驗(yàn)時(shí)M12螺栓的結(jié)構(gòu)特性，參考王磊等[13]給出的擬合參數(shù)取值范圍，取a=1.26、b=9.6、c=13.2、rh=6.4 mm、rm=40 mm。螺栓扭矩T=72 N·m，參考張學(xué)良等[15]給出的接觸結(jié)合面特征系數(shù)，取α1=20 644、β1=1.7、α2=561 280、β2=0.31。將上述參數(shù)代入式(6)～式(7)中可得螺栓結(jié)合面法向和切向剛度分別為Kz=1.011 2×1010N/m，Kx=Ky=4.7827×109N/m。從數(shù)值計(jì)算結(jié)果可知，4種螺栓連接簡(jiǎn)化模型的前4階模態(tài)振型具有一致性，圖6顯示了Case 4模型中夾具前4階模態(tài)振型圖，各階模態(tài)振型均與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好。

表2總結(jié)了4種簡(jiǎn)化模型與試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷那?階固有頻率數(shù)值，其中Case 2和Case 3模型中前2階固有頻率數(shù)值誤差均大于10%，在Case 2模型中第2階固有頻率處達(dá)到峰值26.04%。與前兩者模型相比，Case1模型中第1階、第2階固有頻率數(shù)值誤差有所降低，分別為6.03%、11.92%。在Case 4模型中，各階固有頻率數(shù)值誤差均大幅度降低，前3階固有頻率數(shù)值誤差均小于1%，第4階處誤差僅為2.32%。上述結(jié)果說(shuō)明，將螺栓連接方式轉(zhuǎn)化為彈簧單元的方法具有較高的動(dòng)力學(xué)特征等效精度，因此在后續(xù)的數(shù)值計(jì)算中均采用該種邊界等效方法。

圖6 Case 4模型中夾具前4階模態(tài)振型圖Fig.6 The first four modal shapes of fixture in the Case 4 model

2 不同螺栓預(yù)緊力作用下夾具模態(tài)分析

2.1 數(shù)值計(jì)算結(jié)果

針對(duì)Case 4模型，采用數(shù)值計(jì)算與試驗(yàn)驗(yàn)證相結(jié)合的方法開(kāi)展不同螺栓預(yù)緊力狀態(tài)下的夾具模態(tài)分析工作，其預(yù)緊力設(shè)置為10、15、20、25、30、35、40、45 kN共8種工況。不同預(yù)緊力下螺栓結(jié)合面的法向、切向剛度分別按照式(6)～式(7)計(jì)算。如圖7所示，當(dāng)預(yù)緊力小于20 kN時(shí)，結(jié)合面切向剛度大于法向剛度。隨著預(yù)緊力的增大，法向剛度值遞增速率顯著增大，與切向剛度的差值呈快速遞增現(xiàn)象[16-17]。

從試驗(yàn)情況和數(shù)值計(jì)算結(jié)果可知，不同螺栓預(yù)緊力作用下，夾具的前4階模態(tài)振型均與1.4節(jié)中Case 4模型振型相同。圖8展示了2種研究方法中不同預(yù)緊力作用下夾具的模態(tài)頻率變化情況，從圖8中可知，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合度較高，近一步驗(yàn)證了上述螺栓結(jié)合面等效模型的有效性。

圖8 不同預(yù)緊力作用下夾具前4階固有頻率Fig.8 The first four modal frequencies of fixture under different bolt pre-tightening forces

圖7 不同預(yù)緊力作用下結(jié)合面剛度Fig.7 Stiffness of bolted joint interface under different bolt pre-tightening forces

當(dāng)螺栓預(yù)緊力呈線(xiàn)性增加時(shí)，夾具前4階固有頻率數(shù)值均呈對(duì)數(shù)函數(shù)趨勢(shì)增長(zhǎng)，當(dāng)預(yù)緊力大于30 kN時(shí)，其遞增趨勢(shì)逐漸趨于平緩。螺栓預(yù)緊力從10 kN增大至45 kN時(shí)，夾具前4階固有頻率數(shù)值增幅分別為8.74、17.22、1.11、2.2 Hz，說(shuō)明預(yù)緊力對(duì)夾具前2階固有頻率數(shù)值有顯著影響。當(dāng)螺栓預(yù)緊力大于35 kN時(shí)，夾具第4階固有頻率數(shù)值趨于定值1 211.1 Hz，可以預(yù)判隨著螺栓預(yù)緊力的再增大，夾具各階固有頻率數(shù)值均逐漸趨于定值，此時(shí)所對(duì)應(yīng)的螺栓預(yù)緊力即為飽和預(yù)緊力，當(dāng)螺栓預(yù)緊力大于此值時(shí)，其模態(tài)振型和固有頻率不發(fā)生改變，但可能會(huì)由于過(guò)大的扭矩造成螺栓鎖死，亦對(duì)滑臺(tái)鋼絲螺套造成損傷。因此，試驗(yàn)時(shí)螺栓的最大預(yù)緊力值推薦取飽和預(yù)緊力值。

2.2 振動(dòng)力學(xué)模型

試驗(yàn)過(guò)程中，振動(dòng)能量從振動(dòng)滑臺(tái)傳遞到夾具上，簡(jiǎn)化的振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)力學(xué)模型如圖9所示[18-20]，將螺栓連接方式等效為一組三向彈簧單元。

圖9 振動(dòng)試驗(yàn)力學(xué)模型Fig.9 Mechanical model of vibration test

在振動(dòng)試驗(yàn)時(shí)，滑臺(tái)受到水平(x)向推力F作用，不考慮結(jié)構(gòu)在切向(y)和垂向(z)的運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律建立振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)水平(x)向數(shù)學(xué)模型[21]

(8)

式中：m1為滑臺(tái)質(zhì)量；m2為夾具質(zhì)量；k1x為滑臺(tái)與端部牛頭的連接螺栓水平向剛度；k2x為夾具與滑臺(tái)的連接螺栓水平向剛度。

設(shè)上式齊次方程(自由振動(dòng)方程)有如下形式的簡(jiǎn)諧解

(9)

式中w為圓頻率。

將式(9)代入公式(8)中的齊次方程中，可得力學(xué)模型存在意義的解為

(10)

求解可得

(11)

(12)

式中w1和w2分別為力學(xué)模型的1階、2階圓頻率，其與外載荷F無(wú)關(guān)，僅取決于模型體系的質(zhì)量分布和剛度分布，是體系固有性質(zhì)?？筛鶕?jù)f=w/2π求得模型體系的1階、2階固有頻率。

根據(jù)滑臺(tái)和夾具結(jié)構(gòu)特性可知，m1=153 kg，m2=46 kg，當(dāng)螺栓預(yù)緊力在10～45 kN之間變化時(shí)，可根據(jù)式(7)計(jì)算得到單個(gè)螺栓結(jié)合面切向剛度值Kx，夾具底面17個(gè)固定螺栓存在并聯(lián)關(guān)系，則k2x=17Kx。由滑臺(tái)結(jié)構(gòu)特征級(jí)正弦掃描試驗(yàn)可知其第1階固有頻率為850 Hz，則k1x=m1(2πf1)2。將相關(guān)參數(shù)代入上述公式中，所得模型體系第1階固有頻率隨預(yù)緊力變化情況如圖10所示。不同預(yù)緊力作用下，力學(xué)模型體系的固有頻率變化趨勢(shì)與2.1節(jié)數(shù)值計(jì)算結(jié)果相似，從理論方面驗(yàn)證了本文數(shù)值計(jì)算結(jié)果的可靠性。

圖10 力學(xué)模型體系第1階固有頻率Fig.10 The first modal frequency of mechanical model system

3 結(jié)論

本文首先設(shè)置了4種不同的螺栓連接方式數(shù)值計(jì)算模型，結(jié)合模態(tài)試驗(yàn)，確定出合適的等效動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化模型，并采用數(shù)值計(jì)算、試驗(yàn)驗(yàn)證與理論分析相結(jié)合的方法開(kāi)展螺栓預(yù)緊力對(duì)夾具模態(tài)的影響分析，所得結(jié)論如下：

1)4種簡(jiǎn)化模型的各階模態(tài)振型均與試驗(yàn)結(jié)果保持一致，其中，彈簧單元簡(jiǎn)化模型的前3階頻率誤差均小于1%。

2)螺栓預(yù)緊力在10～45 kN遞增時(shí)，夾具各階模態(tài)振型不發(fā)生改變，固有頻率數(shù)值呈對(duì)數(shù)函數(shù)趨勢(shì)增長(zhǎng)，存在飽和預(yù)緊力現(xiàn)象。

3)簡(jiǎn)化振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)力學(xué)模型中第1階整體模態(tài)頻率隨著預(yù)緊力的變化趨勢(shì)與數(shù)值計(jì)算結(jié)果具有一致性。