王永超

（吉林師范大學 數(shù)學學院, 吉林 長春 130000）

奇異攝動系統(tǒng)在現(xiàn)實工程系統(tǒng)中經(jīng)常遇到[1]. 時滯和不確定性的存在往往使得控制系統(tǒng)達不到滿意的性能指標甚至不能保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,近幾年，眾多學者關注對不確定性時滯奇異攝動控制系統(tǒng)的研究,并取得了一些成果[2-4].

本文通過構造適當?shù)腖yapunov 泛函，結合Schur 補引理和線性矩陣不等式等方法, 討論了不確定性時變時滯奇異攝動控制系統(tǒng)的控制器設計問題, 給出了輸出反饋控制器的設計方法.

1 預備知識

考慮如下不確定性時變時滯奇異攝動系統(tǒng)[5]:

其中,τ 、 μ 是已知的常數(shù); φ （t）是連續(xù)向量初始值函數(shù). F （t） ∈Ri×j是具有勒貝格(Lebesgue)可測元的適當維數(shù)的不確定實矩陣, 其不確定性滿足范數(shù)有界條件:

欲設計系統(tǒng)(1)的輸出反饋控制器如下:

其中, K 是待定的適當維數(shù)的控制器增益矩陣, 則相應的閉環(huán)系統(tǒng)為:

引理1[6]如果存在矩陣 Zi（i= 1,2, …,5）且, 滿足下列LMI 條件:

則

其中

引理2[6]給定和對稱矩陣 S1、 S2、 S3, 如果以下條件

成立, 則

引理3[7]給定適當維數(shù)的矩陣E、D, 對稱矩陣Y , 不確定性矩陣 F （t）滿足 FT（t） F （t）≤ I, 所以

的充要條件是: 存在正常數(shù)η ＞0 , 使得

2 主要內容

定理1給定常數(shù)＞0,若存在對稱正定矩陣Q＞0, 適當維數(shù)矩陣, V 以及矩陣 Zi（i =1, 2, … ,5）且,滿足下列LMIs 條件:, 那么存在靜態(tài)輸出反饋控制律,, 使閉環(huán)系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的.

證明擬選取如下Lyapunov-Krasovskii 泛函：

其中，Q＞0, 是待定的對稱正定矩陣.

由引理1 及LMIs 條件(4)、(5)和(6)，可得

則

故

可知矩陣 E （ε） Z （ε）是正定的, 從而推出Lyapunov-Krasovskii 泛函 V （x （t））是正定的.

沿閉環(huán)系統(tǒng)(3)的任意軌跡進行微分, 得

其中

所以

其中，

顯然, 矩陣不等式（9）對變量K, Q 和 Z （ε）是非線性的. 定理1 給出控制器存在的充分條件, 為了求得控制器參數(shù), 需要去掉矩陣不等式(9)中的不確定性函數(shù) F （t）.

令

則

由引理3 可知:存在唯一標量η ＞0 , 滿足:

利用Schur 補引理, 得

再由Schur 補引理, 式（11）等價于

即

定義

則

故可知

即u （t） = Ky （t）是系統(tǒng)(1)的輸出反饋控制律, 又由條件(12), 可得

證畢.

3 結論

為了解決不確定性時滯奇異攝動控制系統(tǒng)的輸出反饋控制問題，通過LMI 和Lyapunov 泛函相結合給出了一種新的方法，最終得到了閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件及相應的輸出反饋控制律.