馬萌晨 宋申民

摘 要：面向多導(dǎo)彈協(xié)同攔截機動目標的問題， 基于剩余飛行時間控制， 設(shè)計了兩種不同的協(xié)同制導(dǎo)律。 針對多導(dǎo)彈分布式通信的場景， 基于偏置比例導(dǎo)引的思想設(shè)計了具有時變導(dǎo)航系數(shù)的分布式協(xié)同比例制導(dǎo)律; 針對指定攻擊時間的場景， 基于常值前置角下的剩余飛行時間形式， 利用滑?？刂坪头蔷€性擾動觀測器設(shè)計了具有指定攻擊時間的滑模制導(dǎo)律。 仿真結(jié)果表明， 所設(shè)計的兩種制導(dǎo)律可以有效針對機動目標實施協(xié)同攻擊或依次攻擊。

關(guān)鍵詞：???? 機動目標; 剩余飛行時間; 偏置比例導(dǎo)引; 非線性擾動觀測器; 滑模控制; 多導(dǎo)彈協(xié)同; 制導(dǎo)律

中圖分類號：???? TJ765.3; V448? 文獻標識碼：??? A? 文章編號：???? 1673-5048（2021）06-0019-09

0 引? 言

現(xiàn)代戰(zhàn)爭是體系與體系之間的對抗， 隨著通信組網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展， 多導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)正逐步成為現(xiàn)代戰(zhàn)場中的重要作戰(zhàn)模式之一。 多導(dǎo)彈之間通過通信實現(xiàn)對目標的協(xié)同感知、 協(xié)同探測與協(xié)同攻擊， 可以最大限度地利用和協(xié)調(diào)導(dǎo)彈系統(tǒng)資源， 提高導(dǎo)彈的整體作戰(zhàn)效能。

在多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計方面， 國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者進行了大量的研究。 文獻[1]較早開展了攻擊時間控制的研究， 針對反艦導(dǎo)彈， 基于最優(yōu)控制理論， 通過在傳統(tǒng)比例制導(dǎo)律的基礎(chǔ)上增加攻擊時間誤差反饋項， 設(shè)計了多導(dǎo)彈攻擊時間協(xié)同制導(dǎo)律， 并給出導(dǎo)彈剩余飛行時間的近似求法。 在此基礎(chǔ)上， 文獻[2]增加了具有終端攻擊角約束的附加項， 實現(xiàn)了同時具有攻擊角度和攻擊時間控制的協(xié)同制導(dǎo)律。 文獻[3]通過引入剩余飛行時間方差的概念， 設(shè)計了分布式時間協(xié)同制導(dǎo)律， 并給出一種剩余飛行時間形式的理論推導(dǎo)。 文獻[4]通過設(shè)計含有攻擊時間誤差和導(dǎo)彈前置角的新型滑模面， 設(shè)計了攻擊時間可控的滑模制導(dǎo)律， 但該制導(dǎo)律存在不連續(xù)的問題。 文獻[5]直接將攻擊時間誤差設(shè)計為滑模面， 并通過引入一個連續(xù)的非線性函數(shù)， 設(shè)計了攻擊時間可控的非奇異滑模制導(dǎo)律。 文獻[6]針對導(dǎo)彈在三維空間攻擊固定目標場景， 考慮導(dǎo)彈飛行過程中的視場角約束， 基于一致性算法設(shè)計了帶有視場角約束的三維時間協(xié)同制導(dǎo)律。 文獻[7]為減少由于剩余飛行時間估計不準產(chǎn)生的誤差， 基于領(lǐng)從式制導(dǎo)架構(gòu)， 將制導(dǎo)律的攻擊時間控制問題轉(zhuǎn)換為從彈跟蹤領(lǐng)彈的剩余彈目相對距離問題， 并通過解耦得到俯仰和偏航通道的控制量。 文獻[8]基于領(lǐng)從架構(gòu)， 采用超螺旋控制方法設(shè)計了攻擊時間控制制導(dǎo)律， 提高了所設(shè)計制導(dǎo)律的魯棒性與平穩(wěn)性。 文獻[9]在具有角度約束的最優(yōu)制導(dǎo)律基礎(chǔ)上， 引入攻擊時間控制修正量， 通過在線的調(diào)整領(lǐng)彈和從彈， 設(shè)計了具有攻擊時間和角度約束的協(xié)同制導(dǎo)策略。 文獻[10]針對高超聲速飛行器， 在滑翔段通過設(shè)計兩階段的協(xié)同航跡規(guī)劃， 實現(xiàn)了攻擊時間和攻擊角度的約束， 該方法為調(diào)整導(dǎo)彈的攻擊時間和攻擊角度提供了新的思路。 但上述方法大多是針對艦船等靜止或低速移動目標所設(shè)計， 對于運動及機動目標缺乏嚴謹有效的理論分析。

在針對運動目標的協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計方面， 文獻[11]針對低速運動目標， 通過將目標運動引起的剩余飛行時間變化視為擾動， 利用線性擴張狀態(tài)觀測器對其估計并進行補償， 基于固定時間收斂控制理論， 設(shè)計了攻擊時間控制協(xié)同制導(dǎo)律。 文獻[12]基于滑?？刂疲?設(shè)計了一種可指定攻擊時間的非奇異滑模制導(dǎo)律， 并在此基礎(chǔ)上， 采用虛擬目標的設(shè)計思路， 將制導(dǎo)律擴展到機動目標的應(yīng)用場景中。? 文獻[13]針對靜止和機動目標，? 分別設(shè)計了分布式和集中式的協(xié)同制導(dǎo)律， 但缺乏嚴謹?shù)睦碚摲治龊妥C明。 文獻[14]基于導(dǎo)彈和運動目標的相對運動學(xué)模型， 推導(dǎo)了一種新型的剩余飛行時間形式， 并設(shè)計了針對運動目標和機動目標的攻擊時間控制制導(dǎo)律。 文獻[15-16]基于一致性理論， 利用滑?？刂品椒ㄡ槍C動目標分別從視線和視線法向方向設(shè)計制導(dǎo)律來控制導(dǎo)彈的攻擊時間和攻擊角度， 但該方法要求導(dǎo)彈軸向推力可控， 條件太過苛刻。 文獻[17]研究了切換通信拓撲條件下， 多枚導(dǎo)彈采用領(lǐng)從制導(dǎo)體制協(xié)同攔截機動目標的時變編隊制導(dǎo)問題， 通過控制從彈跟蹤期望的時變編隊， 實現(xiàn)了多導(dǎo)彈對機動目標的協(xié)同攔截。 文獻[18]針對三維場景下， 多枚弱機動導(dǎo)彈協(xié)同攔截強機動目標的問題， 通過將導(dǎo)彈的可達區(qū)域在二維空間下表示， 提出一種基于協(xié)同覆蓋策略的協(xié)同制導(dǎo)律， 實現(xiàn)了多枚弱機動導(dǎo)彈在加速度受限情況下， 對強機動目標的協(xié)同攔截， 該方法具有較強的工程實用性。

基于上述討論， 為了處理導(dǎo)彈軸向不可控情況下， 多導(dǎo)彈協(xié)同攔截機動目標的協(xié)同制導(dǎo)問題， 分別采用在線和離線設(shè)計剩余飛行時間的思想， 設(shè)計了分布式時間協(xié)同制導(dǎo)律和指定攻擊時間制導(dǎo)律， 從而實現(xiàn)了對機動目標的同時或依次攻擊。

1 制導(dǎo)模型及剩余飛行時間計算

首先給出導(dǎo)彈和目標在二維平面內(nèi)的制導(dǎo)模型示意圖， 如圖1所示。

圖中， M和T分別表示導(dǎo)彈和目標; R表示導(dǎo)彈和目標之間的相對距離; Vm和Vt分別為導(dǎo)彈和目標的速度; θm和θt為導(dǎo)彈和目標的前置角; θL表示視線角。 則制導(dǎo)模型的動力學(xué)方程可以表述為

R·=Vtcosθt-Vmcosθm=Vr（1）

Rθ·L=Vtsinθt-Vmsinθm=Vθ（2）

θ·m=amVm-θ·L（3）

θ·t=atVt-θ·L（4）

對導(dǎo)彈剩余飛行時間（time-to-go，? tgo）的估算是針對機動目標實現(xiàn)協(xié)同攻擊的前提， 對剩余飛行時間的研究不僅需要研究如何更準確地估算出導(dǎo)彈的攻擊時間， 還要兼顧考慮其動力學(xué)模型是否可控。 現(xiàn)階段， 針對打擊機動目標的剩余飛行時間， 由于目標機動的未知性， 尚無有效精確的數(shù)學(xué)解析式， 大多采用通過一些假設(shè)來求得近似的剩余飛行時間。 因此， 給出以下三種常用的剩余飛行時間的表達式， 并對其特性進行分析。

（1）基于比例導(dǎo)引的剩余飛行時間tgo1

若導(dǎo)彈M采用比例制導(dǎo)律， 則根據(jù)文獻[3]， 可較精確地估計得到導(dǎo)彈M的tgo1為

tgo1=RVm1+θ2m2（2N-1）（5）

式中： N為導(dǎo)航系數(shù)， 滿足2<N<6。

tgo1在推導(dǎo)過程中用到了目標靜止和前置角為小量的假設(shè)條件， 實質(zhì)上是導(dǎo)彈航向誤差的函數(shù)。 通常認為該形式的剩余飛行時間針對靜止目標有效; 而針對機動目標， 該形式的剩余飛行時間則會因目標運動存在一定的估計誤差。 因此， 針對機動目標， tgo1通常不能用來直接控制具體的剩余飛行時間。

（2） 瞬時剩余飛行時間tgo2

瞬時剩余飛行時間的定義為

tgo2=RVc（6）

式中： Vc為導(dǎo)彈和目標在視線方向上的接近速度。

tgo2定義為當前時刻導(dǎo)彈距目標的距離除以當前時刻導(dǎo)彈和目標的接近速度。 其物理定義簡單， 被廣泛應(yīng)用于對導(dǎo)彈的剩余飛行時間的計算中。 然而該形式的剩余飛行時間未考慮導(dǎo)彈和目標的機動帶來的影響， 只能表征當前時刻下導(dǎo)彈和目標的瞬時剩余飛行時間。 在使用tgo2來調(diào)節(jié)導(dǎo)彈的飛行時間時， 由于其表達式分母為導(dǎo)彈和目標的接近速度， 對于具有較大初始誤差的情形， 導(dǎo)彈需要進行較大的機動來調(diào)整飛行軌跡， 進而消除飛行時間誤差， 這可能會引起導(dǎo)彈和目標接近速度符號的改變， 進而造成奇異問題。 因此， 對于多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)而言， 該形式的剩余飛行時間通常適用于彈群初始tgo2相差不大的情形。

（3） 基于常值前置角的剩余飛行時間tgo3

文獻[14]從導(dǎo)彈和目標的相對運動學(xué)方程出發(fā)， 推導(dǎo)了在目標機動為0、 導(dǎo)彈前置角為常值下的剩余飛行時間的形式：

tgo3=R[Vr+2Vmcosθm-Vθtanθm]V2m-V2t（7）

在tgo3推導(dǎo)過程中， 要求運動目標的機動加速度為0且導(dǎo)彈前置角為常值， 其更像是針對運動目標攔截的一個特殊場景。 相比于tgo1， tgo3在推導(dǎo)過程中是直接基于導(dǎo)彈和運動目標的相對運動學(xué)方程， 沒有運用任何假設(shè)和近似條件; 相比于tgo2， tgo3不會發(fā)生奇異問題。 在針對機動目標的tgo估計中， 受目標機動影響， 雖然仍有一定的估計誤差， 但相比于tgo1和tgo2， 其估計精度更高且應(yīng)用場景更廣。 因此， tgo3可以直接用來對導(dǎo)彈的剩余飛行時間進行設(shè)計。 這將在下一節(jié)協(xié)同制導(dǎo)律的設(shè)計中體現(xiàn)。

2 時間協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計

2.1 代數(shù)圖論

在多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)的過程中， 導(dǎo)彈通過通信與相鄰的導(dǎo)彈交換狀態(tài)信息， 這種通信拓撲關(guān)系可以由圖論來表示。 在本文中， 多導(dǎo)彈之間的通信網(wǎng)絡(luò)由無向圖G=（v， ζ， C）來描述，? v表示圖G中所有節(jié)點組成的集合; ζ代表圖G中節(jié)點之間的連線; 矩陣C=[cij]∈Rn×n代表權(quán)系數(shù)矩陣， 若導(dǎo)彈i和導(dǎo)彈j之間能夠信息交換， 則有cij=1， 否則cij=0， 特別的cii=0， i∈{1， 2， …， n}。 若G是無向圖， 即若第i個導(dǎo)彈可以從第j個導(dǎo)彈獲得信息， 則第j個導(dǎo)彈也可以從第i個導(dǎo)彈獲得信息， 則有cij=cji。 如果無向圖中任意兩個節(jié)點都可以通過連線找到一條線路連接， 則稱無向圖為連通的。 定義圖G（C）對應(yīng)的拉普拉斯矩陣為L=[lij]∈Rn×n， 其中矩陣元素為

lij=∑nm=1， m≠icim，? j=i-cij，? j≠i （8）

當多導(dǎo)彈之間的通信拓撲是無向且連通時， 則有下述假設(shè)和引理成立。

引理1[19]： 對于拉普拉斯矩陣L， 0是一個特征值， 并且滿足所有非零特征值都是正數(shù)， 所有項為1的列向量為其一個特征向量。

引理2[20]： 對任意的x∈Rn， 如果滿足1Tx=0， 則有xTLx≥λ2（L）xTx成立， 其中， λ2（L）表示矩陣L的最小非零特征值。

引理3[21]： 考慮非線性系統(tǒng)x·=f（x， t）， x∈Rn， 假設(shè)存在一個連續(xù)正定、 徑向無界的函數(shù)V（x）， 并且滿足

V·（x）≤-μV（x）-λVα（x）（9）

式中： μ， λ>0以及0<α<1是常數(shù)， 則原點是該非線性系統(tǒng)全局有限時間穩(wěn)定的平衡點。 x（t0）=x0， t0是初始時間， 那么系統(tǒng)狀態(tài)到達平衡點的時間T滿足

T≤1μ（1-α）lnμV1-α（x0）+λλ（10）

引理4[22]： 考慮非線性系統(tǒng)x·=f（x， t）， x∈Rn， 假設(shè)存在一個連續(xù)正定、 徑向無界的函數(shù)V（x）， ε∈（0， 1）， c>0， 0<δ<∞， 使得

V·≤-cVε+δ（11）

則系統(tǒng)是實際有限時間收斂的。

2.2 基于比例加時間偏置項的分布式協(xié)同制導(dǎo)律

比例導(dǎo)引形式簡單， 在工程中應(yīng)用廣泛。 在對比例導(dǎo)引的分析中發(fā)現(xiàn)， 比例導(dǎo)引的導(dǎo)航系數(shù)直接影響著導(dǎo)彈的飛行彈道。 因此， 可以通過改變比例導(dǎo)引的導(dǎo)航系數(shù)來改變導(dǎo)彈的攻擊軌跡， 進而改變導(dǎo)彈的攻擊時間。 文獻[3]中針對靜止目標， 設(shè)計了具有時變導(dǎo)航比的協(xié)同比例導(dǎo)引， 通過改變導(dǎo)航比來實現(xiàn)攻擊時間的協(xié)同， 但該方法不能保證tgo的收斂時間。 文獻[13]針對靜止和機動目標， 通過在線改變導(dǎo)航系數(shù)， 分別設(shè)計了集中式和分布式的偏置比例導(dǎo)引， 但缺乏嚴謹?shù)睦碚撟C明。 受文獻[23]的啟發(fā)， 針對tgo1的表達形式， 基于有限時間引理， 設(shè)計協(xié)同比例制導(dǎo)律如下：

ami=N-iVmiθ·LiN-i=Ni{1-k1isgn（ξi）-k2iξi}ξi=∑nj=1cij（tgoj-tgoi）（12）

證明： 首先將式（12）重新整理為

ami=N-i[1-k1isgn（ξi）-k2iξi]Vmiθ·Li（13）

對tgo1進行求導(dǎo)， 將式（13）代入， 并利用小角度假設(shè)化簡， 即sinθm=θm， cosθm=1-12θ2m， θ4m≈0， 可得

t·goi=-1+θ2miN2N-1-θmiRi（2N-1）V2miN[1-

k1isgn（ξi）-k2iξi]Vmiθ·Li=-1+

Nθ2mi2N-1[k1isgn（ξi）+k2iξi]（14）

構(gòu)造如下形式的李雅普諾夫函數(shù)：

V1=12∑nj=1cij（tgoj-tgoi）2=12tTgoLtgo（15）

式中： tgo=[tgo1， tgo2， …， tgon]T; L=[lij]∈Rn×n為圖G（C）對應(yīng)的拉普拉斯矩陣。

則一致性誤差ξi可重寫為

ξ=-Ltgo（16）

式中： ξ=[ξ1， ξ2， …， ξn]T。

由于導(dǎo)彈之間的通信拓撲圖是無向且連通的， 因而cij=cji， 可得

∑ni=1ξi=∑ni=1∑nj=1cij（tgoj-tgoi）=0（17）

對V1求導(dǎo)， 并將上式帶入可得

V·1=tTgoLt·go=-ξTt·go=

-∑ni=1ξi-1+Nθ2mi2N-1[k1isgn（ξi）+k2iξi]= ∑ni=1ξi-Nθ2miξi2N-1[k1isgn（ξi）+k2iξi]=

-N2N-1∑ni=1[θ2mi（k1iξi+k2iξ2i）]（18）

由于θmi>0， 假設(shè)在tgoi收斂之前θmi≠0， 則存在常數(shù)ε0>0， 使得θmi>ε0。 令k1=min{k11， k12， …， k1n}， k2=min{k21， k22， …， k2n}， 則上式可重寫為

V·1=-N2N-1∑ni=1[θ2mi（k1iξi+k2iξ2i）]≤

-Nε202N-1k1∑ni=1ξi+k2∑ni=1ξ2i（19）

由引理1中拉普拉斯矩陣的性質(zhì)可知L1=0， 因而有1TL1=（L121）T（L121）=0， 故L121=0。 進而有1TL12=0T， 故1TL12tgo=0。 由引理2和式（16）可知：

ξTξ=tTgoLLtgo=tTgoL12LL12tgo=

（L12tgo）TLL12tgo≥

[λ2（L）]（L12tgo）TL12tgo≥[λ2（L）]tTgoLtgo≥2[λ2（L）]V1（20）

將式（20）代入式（19）中可得

V·1=-Nε202N-1[k1（ξTξ）12+k2ξTξ]≤

-[2λ2（L）]12k1Nε202N-1V121-2k2[λ2（L）]Nε202N-1V1（21）

由引理3可知， 各導(dǎo)彈的剩余飛行時間tgoi可以在有限時間內(nèi)收斂到一致。 至此， 證明完成。

注1： 所設(shè)計的協(xié)同比例制導(dǎo)律實質(zhì)是在傳統(tǒng)的比例制導(dǎo)律基礎(chǔ)上加上時間誤差偏置項組成， 其中ξi被稱為導(dǎo)彈剩余飛行時間的一致性誤差。 當ξi>0時， 表示第i枚導(dǎo)彈的剩余飛行時間小于與其具有通信交流的其他導(dǎo)彈的平均剩余飛行時間， 即表明該枚導(dǎo)彈剩余飛行時間較小， 需要增大其剩余飛行時間， 此時N-i會減小， 這表示導(dǎo)彈的飛行軌跡將更彎曲。 同樣地， 當ξi<0時， 表示第i枚導(dǎo)彈的剩余飛行時間較大， 需要減小其剩余飛行時間， 此時N-i會增大， 這表示導(dǎo)彈的飛行軌跡將更平直。 當ξi≈0時， 此時制導(dǎo)律變?yōu)閭鹘y(tǒng)的比例導(dǎo)引， 從而保證對目標的有效打擊。 實際上， 在式（12）的制導(dǎo)律形式中， 并不需要導(dǎo)彈非常精確的剩余飛行時間， 因為并沒有通過tgo1去設(shè)計具體的攻擊時間， 而是將其作為協(xié)調(diào)變量， 通過協(xié)調(diào)變量的變化在線調(diào)整制導(dǎo)律參數(shù)， 實現(xiàn)協(xié)同攻擊。

注2： 上述制導(dǎo)律的推導(dǎo)是建立在導(dǎo)彈通信拓撲為無向且連通的情況下， 然而實際上， 對于有向圖的情形， 當彈群中的導(dǎo)彈僅能與相鄰的導(dǎo)彈進行單向通信時， 仍然滿足式（17）的條件， 即制導(dǎo)律仍然成立， 這點將在仿真中予以驗證。

2.3 基于非線性干擾觀測器的指定攻擊時間制導(dǎo)律

在針對諸如戰(zhàn)機等機動目標的協(xié)同攔截時， 目標可能會在導(dǎo)彈來襲前某段時刻進行機動來躲避攻擊， 若導(dǎo)彈總的末制導(dǎo)攻擊時間可以提前指定， 則更有利于針對該類機動目標的協(xié)同攔截。

若要對導(dǎo)彈的攻擊時間進行設(shè)計， 則需要用到導(dǎo)彈tgo的動力學(xué)模型。

基于tgo3進行制導(dǎo)律設(shè)計。 首先對tgo3進行求導(dǎo)并整理可得

t·go3=-1+V2θsec2θmV2m-V2t-RVθsec2θmVm（V2m-V2t）am-

Rsin（θm+θt）cosθm（V2m-V2t）at=F+Bam+D（22）

式中： F=-1+V2θsec2θmV2m-V2t; B=-RVθsec2θmVm（V2m-V2t）;

D=

-Rsin（θm+θt）cosθm（V2m-V2t）at。

令期望的攻擊時間為Td， 則可定義滑模面（即攻擊時間誤差）：

St=t+tgo3-Td（23）

對滑模面St求導(dǎo)可得

S·t=1+t·go3=1+F+Bam+D（24）

式中： D包含有目標的加速度和前置角等信息， 在實際作戰(zhàn)過程中， 包含目標運動信息的狀態(tài)通常不易被精確獲得， 這也就意味著式（22）中的D為未知量， 令x=tgo3+t， 則基于非線性擾動觀測器可設(shè)計制導(dǎo)律如下：

am=-F+1+D^+k1St+k2sgnγ（St）B

D^=ω+k0x

ω·=-k0ω-k0（1+F+Bam+k0x）（25）

式中： k1和k2為制導(dǎo)律中大于0的待設(shè)計的常數(shù); k0為擾動觀測器中的待設(shè)計常數(shù)。

證明： 首先， 定義觀測器跟蹤誤差D～=D-D^， 假設(shè)系統(tǒng)擾動D·有界， 滿足D·≤β， 選擇李雅普諾夫函數(shù)V2：

V2=12S2t+12D～2（26）

對V2求導(dǎo)可得

V·2=StS·t+D～D～·=St（1+F+Bam+D）+D～D～·=St（-k1St-k2sgnγ（St）+D-D^）+D～D～·=-k1S2t-k2Stγ+1+StD～+D～D～·（27）

且

D～D～·=D～（D·-D^·）=D～（D·-ω·-k0x·） （28）

根據(jù)觀測器定義可知：

ω·+k0x·=-k0ω-k0（1+F+Bam+k0x）+

k0（1+F+Bam+D）=-k0ω-k0x2+k0D=

-k0（ω+k0x）+k0D=-k0D^+k0D=k0D～ （29）

將式（29）代入式（28）可得

D～D～·=D～（D·-D^·）=D～（D·-ω·-k0x·）=

D～（D·-k0D～）=-k0D～2+D～D·≤-k0D～2+12D～2+12β2≤-k0-12D～2+12β2（30）

進一步， 將式（30）代入式（27）可得

V·2=-k1S2t-k2Stγ+1+StD～+D～D～·≤

-k1S2t-k2Stγ+1+12S2t+12D～2-

k0-12D～2+12β2≤-k1-12S2t-

（k0-1）D～2+12β2≤-αV2+σ（31）

式中： α=min2k1-12， 2（k0-1）; σ=12β2。

由式（31）和引理4可得， 系統(tǒng)是實際有限時間收斂的， 至此， 制導(dǎo)律式（25）穩(wěn)定性得證。

雖然tgo3的推導(dǎo)仍是基于目標機動為0且導(dǎo)彈前置角為常值下得到的， 當目標機動時， 這無疑將會引入估計誤差， 但在稍后的仿真分析中可以看出， 式（25）仍然可以保證導(dǎo)彈以期望的攻擊時間攔截目標。

3 仿真分析

3.1 協(xié)同比例制導(dǎo)律仿真分析

首先對所設(shè)計的基于比例加偏置項的時間協(xié)同制導(dǎo)律進行仿真驗證。 以3枚導(dǎo)彈攔截1個機動目標為例， 仿真初始參數(shù)設(shè)置如表1所示， 3枚導(dǎo)彈之間的通信網(wǎng)絡(luò)如圖2所示， 分別給出導(dǎo)彈通信拓撲為無向和有向的情形。 選擇目標以余弦機動at=5gcosπt2的情況進行仿真， 并以比例導(dǎo)引作為對比， 對所設(shè)計的制導(dǎo)律進行驗證。 導(dǎo)彈仿真初始參數(shù)為： Ni=3; k11=2.8; k12=2.5; k13=2.6; k21=k22=k23=1.2。 無向圖和有向圖的通信矩陣分別為： C無向=011100100; C有向=001100010。

仿真結(jié)果如圖3所示。 其中脫靶量和制導(dǎo)時間如表2所示。

導(dǎo)彈31.2821.80圖3給出了所設(shè)計的協(xié)同比例制導(dǎo)律和傳統(tǒng)比例制導(dǎo)律之間的仿真對比。 圖3（a）～（c）為比例導(dǎo)引和在有向和無向圖下協(xié)同比例導(dǎo)引的彈目運動軌跡， 可知， 所設(shè)計的協(xié)同制導(dǎo)律可以保證3枚導(dǎo)彈同時命中目標。 圖3（d）～（f）為導(dǎo)彈剩余飛行時間的變化曲線， 可知， 協(xié)同比例制導(dǎo)律可以糾正較大的初始飛行時間誤差， 并保持較高的精度收斂。 圖3（g）～（i）為協(xié)同制導(dǎo)律中導(dǎo)彈過載的變化曲線， 可知， 相比比例導(dǎo)引， 協(xié)同制導(dǎo)律在初始階段需要較大的加速度來調(diào)整攻擊時間誤差。 圖3（j）～（l）為協(xié)同制導(dǎo)律的導(dǎo)航系數(shù)的變化曲線， 可知， 不同的通信拓撲下， 導(dǎo)彈的導(dǎo)航系數(shù)變化趨勢不同， 但最后隨著剩余飛行時間的收斂， 導(dǎo)航系數(shù)也將收斂。

注3： 協(xié)同比例制導(dǎo)律的核心是調(diào)整比例導(dǎo)引的導(dǎo)航系數(shù)， 進而調(diào)整各導(dǎo)彈的攻擊彈道， 實現(xiàn)協(xié)同攻擊。 仿真結(jié)果證明所設(shè)計的協(xié)同制導(dǎo)律對于機動目標仍能以較高的精度實現(xiàn)協(xié)同打擊。 雖然在協(xié)同比例制導(dǎo)律中采用的tgo1是基于靜止目標假設(shè)推導(dǎo)出來的， 但在制導(dǎo)律的設(shè)計過程中， 并沒有用tgo1來控制導(dǎo)彈實際的飛行時間， 而是將目標在每個時刻視為靜止的點， 將每枚導(dǎo)彈的剩余飛行時間視為協(xié)調(diào)變量， 來動態(tài)調(diào)節(jié)各自的導(dǎo)航比。 隨著導(dǎo)彈與目標相對距離的減小， tgo1的估計誤差也越來越小， 從而實現(xiàn)對機動目標的協(xié)同打擊。

3.2 指定攻擊時間制導(dǎo)律仿真分析

對基于tgo3所設(shè)計的指定攻擊時間協(xié)同制導(dǎo)律進行仿真分析。 以單枚導(dǎo)彈攻擊機動目標場景為例， 導(dǎo)彈的仿真初始條件如表3所示。 在傳統(tǒng)比例制導(dǎo)律下的仿真結(jié)果如圖4所示。

由圖4可以看出， 在傳統(tǒng)比例制導(dǎo)律下， 導(dǎo)彈攻擊時間為20.46 s。 為了驗證所設(shè)計的指定攻擊時間制導(dǎo)律， 分別選擇Td=21 s， Td=22 s， Td=23 s三種場景進行仿真驗證。 仿真初始參數(shù)如下：

Td=21 s時， [k1， k2]=[1.7×10-6， 1.8×10-5]×R;

Td=22 s時， [k1， k2]=[2×10-6， 3.6×10-5]×R;

Td=23 s時， [k1， k2]=[3×10-6， 2.3×10-5]×R;

k0=10， γ=0.9。 仿真結(jié)果如表4所示。

圖5給出了所設(shè)計的指定攻擊時間控制制導(dǎo)律的仿真結(jié)果。

由圖5可知， 所設(shè)計的制導(dǎo)律可以保證導(dǎo)彈以期望的攻擊時間攻擊目標。 圖5（c）為彈目相對距離的變化， 可以看出， 在不同的攻擊時間下， 導(dǎo)彈仍能以較高的精度打擊目標。 圖5（d）～（f）為不同的Td下， 所設(shè)計的擾動觀測器的估計結(jié)果， 可以看出， 所設(shè)計的觀測器可以較好地跟蹤系統(tǒng)擾動。 圖5（g）～（i）為導(dǎo)彈過載的變化曲線， 可以看出， 過載在末制導(dǎo)過程中會發(fā)生抖振， 這主要是因為本文所使用的tgo3未考慮目標的機動， 這無疑會引起tgo3的估計誤差， 進而在制導(dǎo)末期造成滑模面的抖振問題。

為進一步驗證所設(shè)計制導(dǎo)律的有效性， 考慮3枚導(dǎo)彈攻擊機動目標的場景。 仿真的初始參數(shù)如表5所示。 仿真結(jié)果如圖6所示， 脫靶量和制導(dǎo)時間如表6所示。

圖6給出了所設(shè)計的指定攻擊時間制導(dǎo)律協(xié)同攻擊某機動目標的仿真結(jié)果。 圖6（a）～（d）為導(dǎo)彈在比例導(dǎo)引和本文所設(shè)計的指定攻擊時間制導(dǎo)律下的彈道圖和彈目相對距離變化圖， 可以看出， 所設(shè)計的制導(dǎo)律可以保證各導(dǎo)彈以期望的攻擊時間依次打擊目標， 這在攻擊一些戰(zhàn)機等目標的場景中具有重要意義。 圖6（e）為指定攻擊時間制導(dǎo)律的剩余飛行時間變化曲線。 圖6（f）為3枚導(dǎo)彈的過載變化曲線。

注4： 與常規(guī)比例導(dǎo)引相比， 所設(shè)計的指定攻擊時間制導(dǎo)律彈道更加彎曲， 這是因為指定的攻擊時間較比例導(dǎo)引所需時間更長， 需要導(dǎo)彈進行額外的機動來調(diào)整攻擊時間。 雖然該制導(dǎo)律所采用的tgo3是基于目標不機動、 導(dǎo)彈前置角為常值下的條件推導(dǎo)的， 但是相比于tgo1， tgo3的推導(dǎo)是基于導(dǎo)彈和目標的相對運動學(xué)方程得到的， 且沒有用到任何近似條件。 當目標機動時， 將目標機動帶來的影響視為擾動， 以此來實現(xiàn)對導(dǎo)彈攻擊時間的控制。 需要注意的是， 由于tgo3估計誤差的存在， 在制導(dǎo)末期會造成滑模面的抖振問題。 下一步工作中， 將致力于解決導(dǎo)彈過載的抖振問題。

注5： 實質(zhì)上， 本文所設(shè)計的兩種不同制導(dǎo)律， 其根本區(qū)別在于協(xié)同比例制導(dǎo)律是通過建立導(dǎo)彈的剩余飛行時間與導(dǎo)航系數(shù)之間的關(guān)系， 利用導(dǎo)航系數(shù)改變導(dǎo)彈彈道特性的特點， 通過網(wǎng)絡(luò)通信在線調(diào)整剩余飛行時間， 進而實現(xiàn)協(xié)同攻擊; 而指定攻擊時間制導(dǎo)律則主要是利用tgo3的動力學(xué)特性， 通過設(shè)計導(dǎo)彈加速度， 離線的改變導(dǎo)彈的剩余飛行時間， 從而實現(xiàn)對目標的同時或依次攻擊。 雖然兩種制導(dǎo)律的作用機理和制導(dǎo)體制不同， 但仿真分析證明， 這兩種制導(dǎo)律都能有效針對機動目標， 實現(xiàn)對機動目標的協(xié)同攻擊。

4 結(jié)? 論

本文針對多導(dǎo)彈協(xié)同攔截機動目標的問題， 從剩余飛行時間控制的角度出發(fā)， 通過對三種常用的剩余飛行時間形式的分析， 總結(jié)并梳理了不同剩余飛行時間形式的局限性和優(yōu)越點。 分別基于在線調(diào)整導(dǎo)航系數(shù)和離線設(shè)計剩余飛行時間的思想設(shè)計了分布式協(xié)同比例制導(dǎo)律和具有指定攻擊時間控制的滑模制導(dǎo)律， 并給出嚴謹?shù)睦碚撟C明與仿真分析。 通過與傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引進行對比， 驗證了本文所設(shè)計的制導(dǎo)律的有效性。 在下一階段， 本文將針對具有較大初始偏差下， 綜合考慮導(dǎo)彈的視場角約束、 攻擊角約束及過載約束等條件， 設(shè)計多約束條件下的協(xié)同制導(dǎo)律。

參考文獻：

[1] Jeon I S，? Lee J I，? Tahk M J. Impact-Time-Control Guidance Law for Anti-Ship Missiles[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology，? 2006，? 14（2）： 260-266.

[2] Lee J I，? Jeon I S，? Tahk M J. Guidance Law to Control Impact Time and Angle[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，? 2007，? 43（1）： 301-310.

[3] Jeon I S，? Lee J I，? Tahk M J. Homing Guidance Law for Cooperative Attack of Multiple Missiles[J]. Journal of Guidance，? Control，? and Dynamics，? 2010，? 33（1）： 275-280.

[4] Cho D，? Kim H J，? Tahk M J. Nonsingular Sliding Mode Guidance for Impact Time Control[J]. Journal of Guidance，? Control，? and Dynamics，? 2015，? 39（1）： 61-68.

[5] Kumar S R，? Ghose D. Sliding Mode Control Based Guidance Law with Impact Time Constraints[C]∥American Control Conference，? 2013： 5760-5765.

[6] 洪超，? 夏群利，? 阮聰. 帶視場角約束的多彈三維協(xié)同制導(dǎo)律[J]. 戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈技術(shù)，? 2020（6）： 37-43.

Hong Chao，? Xia Qunli，? Ruan Cong. Multi-Missile Three-Dimensional Cooperative Guidance Law with Field-of-View Constraint[J]. Tactical Missile Technology，? 2020（6）： 37-43.（in Chinese）

[7] 張振林，? 張科，? 郭正玉，? 等. 一種新型領(lǐng)從式多彈協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計[J]. 航空兵器，? 2020，? 27（5）： 33-38.

Zhang Zhenlin，? Zhang Ke，? Guo Zhengyu，? et al. Design of a New Guidance Law for Guided Multiple Missiles[J]. Aero Weaponry，? 2020，? 27（5）： 33-38.（in Chinese）

[8] Sinha A，? Kumar S R. Supertwisting Control-Based Cooperative Salvo Guidance Using Leader-Follower Approach[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，? 2020，? 56（5）： 3556-3565.

[9] 花文濤，? 劉沛文，? 賈曉洪，? 等. 一種多彈協(xié)同制導(dǎo)策略[J]. 兵器裝備工程學(xué)報，? 2021，? 42（2）： 180-183.

Hua Wentao，? Liu Peiwen，? Jia Xiaohong，? et al. Multi-Missile Co-operative Attacking Strategy[J]. Journal of Ordnance Equipment Engineering，? 2021，? 42（2）： 180-183.（in Chinese）

[10] Yu J L，? Dong X W，? Li Q D，? et al. Cooperative Guidance Strategy for Multiple Hypersonic Gliding Vehicles System[J]. Chinese Journal of Aeronautics，? 2020，? 33（3）： 990-1005.

[11] 鐘澤南，? 趙恩嬌，? 趙新華，? 等. 基于固定時間收斂的攻擊時間控制協(xié)同制導(dǎo)律[J]. 戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈技術(shù)，? 2020（6）： 30-36.

Zhong Zenan，? Zhao Enjiao，? Zhao Xinhua，? et al. Impact Time Control Cooperative Guidance Law Based on Fixed-Time Convergent[J]. Tactical Missile Technology，? 2020（6）： 30-36.（in Chinese）

[12] 花文華，? 張擁軍，? 張金鵬，? 等. 多導(dǎo)彈攻擊時間協(xié)同的滑模制導(dǎo)律[J]. 中國慣性技術(shù)學(xué)報，? 2018，? 26（1）： 98-102.

Hua Wenhua，? Zhang Yongjun，? Zhang Jinpeng，? et al. Sliding-Mode Guidance Law for Attack Time Cooperation of Multi-Missiles[J]. Journal of Chinese Inertial Technology，? 2018，? 26（1）： 98-102.（in Chinese）

[13] Zhao J，? Zhou R. Unified Approach to Cooperative Guidance Laws Against Stationary and Maneuvering Targets[J]. Nonlinear Dynamics，? 2015，? 81（4）： 1635-1647.

[14] Kumar S R，? Mukherjee D. Terminal Time-Constrained Nonlinear Interception Strategies Against Maneuvering Targets[J]. Journal of Guidance，? Control，? and Dynamics，? 2020，? 44（1）： 200-209.

[15] 宋俊紅，? 宋申民，? 徐勝利. 一種攔截機動目標的多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)律[J]. 宇航學(xué)報，? 2016，? 37（12）： 1306-1314.

Song Junhong，? Song Shenmin，? Xu Shengli. A Cooperative Gui-dance Law for Multiple Missiles to Intercept Maneuvering Target[J]. Journal of Astronautics，? 2016，? 37（12）： 1306-1314.（in Chinese）

[16] 郭正玉，? 王超磊，? 錢航，? 等. 帶有攻擊角約束的大機動目標協(xié)同攻擊制導(dǎo)律[J]. 西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報，? 2020，? 38（6）： 1257-1265.

Guo Zhengyu，? Wang Chaolei，? Qian Hang，? et al. Cooperative Intercepting Guidance Law for Large Maneuvering Target with Impact Angle Constraint[J]. Journal of Northwestern Polytechnical University，? 2020，? 38（6）： 1257-1265.（in Chinese）

[17] Zhao Q L，? Dong X W，? Song X，? et al. Cooperative Time-Varying Formation Guidance for Leader-Following Missiles to Intercept a Maneuvering Target with Switching Topologies[J]. Nonlinear Dynamics，? 2019，? 95（1）： 129-141.

[18] Chen Z Y，? Yu J L，? Dong X W，? et al. Three-Dimensional Coopera-tive Guidance Strategy and Guidance Law for Intercepting Highly Maneuvering Target[J]. Chinese Journal of Aeronautics，? 2021，? 34（5）： 485-495.

[19] Ren W，? Beard R W，? Atkins E M. Information Consensus in Mult-ivehicle Cooperative Control[J]. IEEE Control Systems Magazine，? 2007，? 27（2）： 71-82.

[20] Olfati-Saber R，? Murray R M. Consensus Problems in Networks of Agents with Switching Topology and Time-Delays[J]. IEEE Transactions on Automatic Control，? 2004，? 49（9）： 1520-1533.

[21] Yu S H，? Yu X H，? Stonier R. Continuous Finite-Time Control for Robotic Manipulators with Terminal Sliding Modes[C]∥ Proceedings of the Sixth International Conference of Information Fusion，? 2003： 1433-1440.

[22] Zhu Z，? Xia Y Q，? Fu M Y. Attitude Stabilization of Rigid Spacecraft with Finite-Time Convergence[J]. International Journal of Robust and Nonlinear Control，? 2011，? 21（6）： 686-702.

[23] Zhou J L，? Yang J Y. Distributed Guidance Law Design for Coopera-tive Simultaneous Attacks with Multiple Missiles[J]. Journal of Guidance，? Control，? and Dynamics，? 2016，? 39（10）： 2436-2445.

Multi-Missile Cooperative Guidance Law for

Intercepting Maneuvering Target

Ma Mengchen，? Song Shenmin*

（Center for Control Theory and Guidance Technology，? Harbin Institute of Technology， Harbin 150001， China）

Abstract： Aiming at the problem of multi-missile cooperative interception of maneuvering targets，? two different cooperative guidance laws are designed based on the time-to-go. For the scenario of multi-missile distributed communication， a distributed cooperative proportional guidance law with time-varying navigation coefficients is designed based on the idea of biased proportional guidance. For the scenario of specified attack time，? based on the form of time-to-go under constant lead angle，? a sliding mode guidance law with a specified attack time is designed by using sliding mode control and nonlinear disturbance observer. Simulation results show that the two guidance laws proposed in this paper can effectively carry out cooperative attack or sequential attack against maneuvering targets.

Key words：? maneuvering target; time-to-go; biased proportional navigation; nonlinear disturbance observer; sliding mode control; multi-missile cooperation; guidance law