梁 瀟，王 楊，何 慰，孫 寧，方勇純

(南開(kāi)大學(xué)人工智能學(xué)院機(jī)器人與信息自動(dòng)化研究所，天津 300350;南開(kāi)大學(xué)天津市智能機(jī)器人技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300350)

1 引言

機(jī)電系統(tǒng)與人們生活密切相關(guān)，隨著精密加工和各類(lèi)先進(jìn)控制算法的發(fā)展，對(duì)機(jī)電一體化技術(shù)的研究極為關(guān)鍵[1-3].作為一類(lèi)應(yīng)用廣泛的機(jī)電系統(tǒng)，旋翼無(wú)人飛行器能夠在空中懸停，具有良好的靈活性和較強(qiáng)的機(jī)動(dòng)性，已在搜索和救援、環(huán)境監(jiān)測(cè)和貨物運(yùn)輸、航天拍攝、林火監(jiān)測(cè)等多個(gè)方面發(fā)揮著重要作用[4-8].值得一提的是，旋翼飛行器相比地面移動(dòng)機(jī)器人受地勢(shì)、地形影響較小，極大地?cái)U(kuò)展了其作業(yè)范圍.由于這一優(yōu)勢(shì)，借助夾具、機(jī)械臂、吊繩懸掛3種方式，旋翼飛行器可以在地面車(chē)輛難以到達(dá)的環(huán)境下承擔(dān)各種運(yùn)輸任務(wù).

夾具抓握，即在飛行器底端安裝夾持器以攜帶負(fù)載飛行[9-10]，但這種方式需要設(shè)計(jì)復(fù)雜的夾持器電子與機(jī)械結(jié)構(gòu)，造成了更多的成本投入，同時(shí)也將影響旋翼飛行器的轉(zhuǎn)動(dòng)特性，降低飛行的靈活性.機(jī)械臂操控，即在飛行器底端安裝自由度更高的機(jī)械臂攜帶負(fù)載[11-12]，能夠延長(zhǎng)負(fù)載可以到達(dá)的空間范圍，但機(jī)械臂的使用同樣會(huì)對(duì)系統(tǒng)機(jī)動(dòng)性造成很大影響，此外，飛行器和機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)將對(duì)彼此產(chǎn)生擾動(dòng)，為控制帶來(lái)極大困難.借助夾具和機(jī)械臂的運(yùn)送方式會(huì)影響運(yùn)輸?shù)钠椒€(wěn)，且成本較高，而通過(guò)吊繩運(yùn)送負(fù)載可有效避免上述難題，懸掛運(yùn)送的方法保留了飛行器的機(jī)動(dòng)性，且不受負(fù)載體積的限制，因此應(yīng)用最為廣泛.

利用吊繩進(jìn)行運(yùn)送時(shí)，需要將負(fù)載運(yùn)送至指定位置，由于負(fù)載的運(yùn)動(dòng)無(wú)法直接控制，可能對(duì)周?chē)鷰?lái)安全隱患，因此抑制并消除負(fù)載擺動(dòng)極為關(guān)鍵.針對(duì)旋翼飛行器吊運(yùn)系統(tǒng)，有開(kāi)環(huán)控制和閉環(huán)控制兩類(lèi)方案.輸入整形[13]、動(dòng)態(tài)規(guī)劃[14]、基于混合整數(shù)二次規(guī)劃的軌跡生成算法[15]、基于偽譜法的時(shí)間最優(yōu)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃[16]是典型的開(kāi)環(huán)控制方案.與開(kāi)環(huán)控制相比，閉環(huán)控制方案由于利用瞬時(shí)反饋信號(hào)，因而往往具有更好的控制性能.在文獻(xiàn)[17]中，基于輸入狀態(tài)穩(wěn)定理論，研究人員對(duì)系統(tǒng)解耦，設(shè)計(jì)了兼顧飛行器定位和負(fù)載消擺的控制器.Guerrero等人[18-19]采用互聯(lián)及阻尼分配的無(wú)源性控制方案，實(shí)現(xiàn)了運(yùn)送過(guò)程中負(fù)載擺動(dòng)的抑制與消除.文獻(xiàn)[20]設(shè)計(jì)了一種非線性控制器，并通過(guò)李雅普諾夫方法和拉塞爾不變性原理對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了證明.Yu等人[21]為實(shí)現(xiàn)負(fù)載軌跡跟蹤，提出了基于反步法的非線性控制策略，能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.文獻(xiàn)[22-23]基于飛行吊運(yùn)系統(tǒng)的串級(jí)特性，提出了非線性分層調(diào)節(jié)控制方案，能夠針對(duì)系統(tǒng)內(nèi)外環(huán)分別設(shè)計(jì)控制輸入，給設(shè)計(jì)過(guò)程帶來(lái)了極大便捷，且控制形式簡(jiǎn)潔，便于調(diào)節(jié).

如前所述，目前對(duì)飛行吊運(yùn)系統(tǒng)的研究往往考慮單個(gè)飛行器的運(yùn)送任務(wù)，當(dāng)負(fù)載質(zhì)量超過(guò)單個(gè)飛行器的載荷上限時(shí)，就需要多個(gè)飛行器協(xié)同作業(yè).此時(shí)，由于使用多架飛行器共同執(zhí)行任務(wù)，不僅使系統(tǒng)的自由度更高，也使得系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性更為復(fù)雜.具體而言，單個(gè)旋翼飛行器吊運(yùn)負(fù)載時(shí)即為欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)[24-29]，旋翼飛行器本身也呈現(xiàn)欠驅(qū)動(dòng)特性.此外，負(fù)載擺動(dòng)和飛行器平動(dòng)之間存在運(yùn)動(dòng)耦合，更多的飛行器意味著這一耦合特性也將更為復(fù)雜.考慮到多機(jī)需要協(xié)同運(yùn)動(dòng)至指定目標(biāo)位置，與此同時(shí)對(duì)負(fù)載的擺動(dòng)進(jìn)行抑制并消除，這些都為協(xié)同吊運(yùn)的控制帶來(lái)困難.

針對(duì)此，本文為兩個(gè)飛行器的協(xié)同吊運(yùn)任務(wù)提出了一種基于能量分析的非線性控制方案，在大幅提高系統(tǒng)載荷能力的前提下，能夠有效消除負(fù)載擺動(dòng).首先，文章構(gòu)造關(guān)于兩飛行器及負(fù)載動(dòng)態(tài)的儲(chǔ)能函數(shù)，進(jìn)而設(shè)計(jì)兩飛行器所需推力與期望姿態(tài)，在兼顧執(zhí)行器飽和約束，避免了期望姿態(tài)奇異性問(wèn)題的同時(shí)，考慮了兩機(jī)的協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng).隨后，通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分析，基于拉塞爾不變性原理證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性;仿真結(jié)果表明，該方法具有良好的控制性能，對(duì)不確定參數(shù)和外界干擾均有較好的魯棒性.

本文的其余部分組織如下:第2節(jié)簡(jiǎn)要描述了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，并給出了控制目標(biāo);第3節(jié)完成了控制器的設(shè)計(jì)以及閉環(huán)穩(wěn)定性分析;第4節(jié)通過(guò)仿真將所提方法與現(xiàn)有方法進(jìn)行了對(duì)比;第5節(jié)對(duì)本文工作進(jìn)行了總結(jié)與展望.

2 問(wèn)題描述

欠驅(qū)動(dòng)旋翼飛行器協(xié)同吊運(yùn)系統(tǒng)示意圖如圖1所示.

圖1 協(xié)同飛行吊運(yùn)系統(tǒng)示意圖Fig.1 Illustration of a cooperative aerial transportation system

坐標(biāo)系Y OZ為固定于大地的慣性坐標(biāo)系，圖中:m1，m2代表兩飛行器的質(zhì)量;m3為負(fù)載質(zhì)量;l0表示兩吊繩與負(fù)載連接端間的距離;l1，l2代表繩長(zhǎng);l3代表負(fù)載厚度的一半;θ=[θ1θ2θ3]T∈R3，其中:θ1，θ2為兩吊繩與Z軸正半軸之間的夾角;θ3表示負(fù)載的偏轉(zhuǎn)角;φ1，φ2代表飛行器的姿態(tài)角;ξ1=[y1z1]T∈R2，ξ2=[y2z2]T∈R2分別為兩飛行器的坐標(biāo).為便于描述，定義如下簡(jiǎn)寫(xiě)表達(dá):

系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型如下:

式中:q=[y1z1y2z2θ1θ2θ3]T∈R7為表示關(guān)于飛行器位置與負(fù)載姿態(tài)的狀態(tài)向量;矩陣Mc∈R7×7和Vc∈R7×7分別表示慣量矩陣與向心-柯氏力矩陣，其具體表達(dá)式參見(jiàn)附錄.重力向量與控制向量G，U∈R7形式如下:

其中u1，u2，u3，u4分別表示兩飛行器推力在空間坐標(biāo)軸Y，Z上的分量，分別表達(dá)為

式中f1，f2分別表示兩飛行器推力幅值.

為方便接下來(lái)的控制器設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析，將式(1)展開(kāi)為如下形式:

針對(duì)實(shí)際工作場(chǎng)景，在此作如下合理假設(shè)[18，20，22-23，25，29]:

假設(shè)1考慮到協(xié)同吊運(yùn)系統(tǒng)的實(shí)際工作情況，吊繩及負(fù)載擺動(dòng)角度滿(mǎn)足約束

對(duì)于欠驅(qū)動(dòng)協(xié)同吊運(yùn)系統(tǒng)而言，控制目標(biāo)是使兩飛行器快速、精確地到達(dá)目標(biāo)位置ξ1d=[y1dz1d]T，ξ2d=[y2dz2d]T，同時(shí)有效抑制并消除負(fù)載的擺動(dòng).不失一般性，選取兩飛行器目標(biāo)位置滿(mǎn)足如下關(guān)系:

此時(shí)，兩吊繩與負(fù)載的期望角度為

綜上，控制目標(biāo)可表述如下:

3 主要結(jié)果

本節(jié)將首先闡述控制器設(shè)計(jì)的過(guò)程，隨后給出閉環(huán)系統(tǒng)信號(hào)的有界性和收斂性分析.

3.1 控制器設(shè)計(jì)

為完成上述控制目標(biāo)，首先定義如下誤差量:

通過(guò)對(duì)欠驅(qū)動(dòng)協(xié)同吊運(yùn)系統(tǒng)的能量分析，可構(gòu)造如下儲(chǔ)能函數(shù):

式中kp1，kp2，kp3，kp4∈R+為正控制增益.對(duì)式(10)關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)，代入式(2)-(8)后整理可得

基于此，設(shè)計(jì)控制輸入ut=[u1u2u3u4]T∈R4為如下形式:

其中:e=[e1e2e3e4]T∈R4代表兩飛行器組合定位誤差向量;Kp=diag{[kp1kp2kp3xkp4]}，Kd=為正控制增益矩陣.將式(12)代入式(11)后可以得到

經(jīng)分析可知，在該控制輸入的作用下，閉環(huán)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的.然而，負(fù)載的擺動(dòng)信息沒(méi)有直觀反映在控制輸入中，因此，在擺動(dòng)抑制方面仍有提升空間.

進(jìn)一步地，基于式(12)，提出如下改進(jìn)的非線性控制律:

其中ky，ky1，ky2，kz，kz1，kz2∈R+為正控制增益.

注1兩飛行器推力f1，f2與期望姿態(tài)φ1d，φ2d可通過(guò)控制信號(hào)u1，u2，u3，u4計(jì)算得到，具體表達(dá)如下:

注2由注1可知，通過(guò)合適的參數(shù)選取，即可將控制輸入約束在一定范圍內(nèi).進(jìn)一步地，將所取控制參數(shù)限定在如下范圍:

即可避免期望姿態(tài)產(chǎn)生奇異性問(wèn)題.

注3式(13)中控制輸入ut的第3項(xiàng)通過(guò)將負(fù)載擺動(dòng)信號(hào)引入反饋控制律，提高了可驅(qū)動(dòng)的飛行器運(yùn)動(dòng)與欠驅(qū)動(dòng)的負(fù)載擺動(dòng)之間的耦合關(guān)系，因而，能夠提升控制系統(tǒng)的消擺性能.

注4式(13)中控制輸入ut的第4項(xiàng)uc是協(xié)調(diào)作用項(xiàng)，分別利用速度差作為反饋信號(hào)，從而提高飛行運(yùn)動(dòng)的一致性，實(shí)現(xiàn)兩個(gè)飛行器之間的協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng).

3.2 穩(wěn)定性分析

本小節(jié)將對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)信號(hào)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析.

定理1所提控制方案(13)能保證兩飛行器協(xié)同吊運(yùn)負(fù)載至指定位置，并且抑制負(fù)載擺動(dòng)，使系統(tǒng)狀態(tài)漸近收斂于平衡點(diǎn)，即

證將式(13)代入式(11)可以得到

因而，V(t)∈L∞.基于此，由式(10)，可以得到如下結(jié)論:

接下來(lái)，定義集合Φ為

并記Γ為Φ中最大的不變集.根據(jù)式(16)可知，在不變集Γ中有

式中β1，β2，β3，β4∈R表示待定常數(shù).接下來(lái)分兩步完成定理證明:

步驟1證明在不變集Γ中:e1(t)=0，e2(t)=0，e3(t)=0，e4(t)=0.

將式(19)代入式(13)并結(jié)合式(2)-(5)可得

對(duì)式(20)-(23)兩邊關(guān)于時(shí)間作積分，有如下結(jié)果:

其中λ1，λ2，λ3，λ4為待定常數(shù).對(duì)β1，β2，β3，β4進(jìn)行分析，以式(24)為例，若β1≠0，有

步驟2接下來(lái)，將證明在不變集Γ中，θ1(t)=0，θ2(t)=0，θ3(t)=0.

將式(19)代入式(6)-(8)整理可得

將式(28)代入式(20)-(21)可得

進(jìn)一步地，將式(32)與式(33)兩邊分別乘以C1，S1后相加，有如下結(jié)果:

聯(lián)立式(34)與式(29)有

同理，將式(32)-(33)兩分別乘以C2(C3)，-S2(S3)后相加，與式(30)-(31)對(duì)照，經(jīng)類(lèi)似分析可以得到

由式(28)(35)-(36)可知，最大不變集Γ僅包含平衡點(diǎn)根據(jù)拉塞爾不變性原理[30]，可完成本定理中結(jié)論的證明.證畢.

4 仿真驗(yàn)證與分析

本節(jié)將給出數(shù)值仿真結(jié)果，同時(shí)將其與PD(proportional differential)控制和線性二次型調(diào)節(jié)器(linear quadratic regulator，LQR)控制的結(jié)果對(duì)比，進(jìn)行3組仿真測(cè)試，以評(píng)估所提控制方案在飛行器定位與吊繩、負(fù)載消擺方面的實(shí)際性能.

第1組在本組仿真中，將系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置如下:

兩飛行器的起始位置和目標(biāo)位置分別為

初始擺動(dòng)角度為

本文方法的控制增益選取為

PD控制器增益選取為

LQR控制中矩陣Q，R分別選取為

經(jīng)計(jì)算得最優(yōu)控制增益為

仿真結(jié)果如圖2所示，從中可以看出，3種控制方法都能使飛行器到達(dá)目標(biāo)位置.值得注意的是，由于協(xié)同控制項(xiàng)和擺動(dòng)信息項(xiàng)的引入，本文所提基于能量的控制方法相比PD控制和LQR控制，對(duì)負(fù)載擺動(dòng)具有更加顯著的抑制和消除作用.

圖2 仿真1結(jié)果Fig.2 Results of Simulation 1

第2組為驗(yàn)證所提方法對(duì)不確定參數(shù)的魯棒性，在本組仿真中，將吊繩及負(fù)載參數(shù)改變?yōu)?/p>

將兩飛行器的起始位置和目標(biāo)位置改變?yōu)?/p>

所提方法與PD控制增益選取以及LQR控制中的Q，R矩陣選取與第1組仿真相同.由于LQR方法對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的依賴(lài)，其控制增益需相應(yīng)修改為

仿真結(jié)果如圖3所示，將其與第1組仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，可以看出，在不改變控制增益的情況下PD控制器和所提方法均可實(shí)現(xiàn)飛行器定位與負(fù)載消擺的目標(biāo).同時(shí)，本文所提方法在擺動(dòng)抑制方面依然表現(xiàn)出了更好的性能.

圖3 仿真2結(jié)果Fig.3 Results of Simulation 2

第3組在本組測(cè)試中，參數(shù)設(shè)置和控制增益與第1組完全相同.為模擬風(fēng)力等外界擾動(dòng)的影響，在30 s至30.5 s，60 s至60.5 s對(duì)兩根吊繩對(duì)應(yīng)的擺動(dòng)角度θ1(t)和θ2(t)分別施加一個(gè)幅值為5°的脈沖干擾.

仿真結(jié)果如圖4所示.3種方法在受到擾動(dòng)后最終都能將飛行器定位在目標(biāo)位置并保持穩(wěn)定，所提方法的負(fù)載擺角θ3(t)在受到擾動(dòng)后收斂更快.這一仿真情形證明了，在有擾動(dòng)存在的情況下，本文所提控制方法具有明顯優(yōu)勢(shì).

圖4 仿真3結(jié)果Fig.4 Results of Simulation 3

5 總結(jié)與展望

針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)旋翼無(wú)人機(jī)協(xié)同吊運(yùn)系統(tǒng)，本文設(shè)計(jì)了一種基于能量分析的控制方法.該方法不僅可以準(zhǔn)確快速的控制兩飛行器運(yùn)動(dòng)至指定位置，而且可有效消除負(fù)載擺動(dòng).同時(shí)，所提控制方案能夠?qū)⒖刂戚斎爰s束在一定范圍內(nèi)，進(jìn)而避免期望姿態(tài)的奇異性問(wèn)題.文中對(duì)所提控制器的性能進(jìn)行了嚴(yán)格的理論分析，并通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了算法的控制性能.在接下來(lái)的工作中，將進(jìn)一步擴(kuò)展本文方法，將其應(yīng)用于更多個(gè)數(shù)飛行器的協(xié)同吊運(yùn)問(wèn)題.

附錄

對(duì)稱(chēng)矩陣Mc中元素表達(dá)如下:

其余元素皆為零.