蔣玉川 蒲淳清

*(四川大學建筑與環(huán)境學院，成都610065)

?(四川眾恒建筑設計有限責任公司，成都610072)

在一般斷裂力學教材中，求解I–II復合型平面裂紋的方法有多種，常見的是疊加法，即先分別求解I型和II型裂紋問題，然后再將二者疊加得到原問題的解。也可以直接從I–II復合型裂紋入手，采用復變函數(shù)中的保角變換法，將裂紋問題變成無限大彈性體單連通的孔口問題，或者采用Fourier積分變換來求解[1-3]。無論是采用保角變換法或Fourier積分變換求解I–II復合型裂紋問題，其方法都較為復雜，推導過程冗長。另外，還可以采用Westergaard應力函數(shù)求解I–II復合型平面裂紋問題，即從Muskhelishvili應力函數(shù)與Westergaard應力函數(shù)的數(shù)理邏輯聯(lián)系入手構建求解 I–II復合型平面裂紋問題的Westergaard應力函數(shù)，但其過程繁瑣，不好理解[4]。為此，我們尋求一個更為簡單的Westergaard應力函數(shù)來求解I–II復合型平面裂紋問題，即以I型和II型的Westergaard應力函數(shù)為基礎，再加上一個調(diào)整項，作為I–II復合型平面裂紋問題的應力函數(shù)，該方法推導過程簡單，物理概念清晰，所得結果與一般斷裂力學教材和文獻中的結果一致。同時，應用疊加原理將裂紋面上有作用力的情形轉(zhuǎn)化為裂紋外邊界受力的情形[3]，給出了解決裂紋面上有作用力的I–II復合型平面裂紋問題的解題方法，在斷裂力學的教學中有一定參考意義。

1 基本問題與應力函數(shù)的選取

圖1所示為無限大平板處于平面應力的一般狀態(tài)，中心具有貫穿性裂紋2a，在x軸方向作用有均布拉應力p2，在y軸方向作用有均布拉應力p1，并沿平板四周有均布剪應力q的作用。試分析裂紋尖端區(qū)域附近的應力分布情況。

圖1

應力函數(shù)的選取，我們以I型和II型的Westergaard應力函數(shù)為基礎，再考慮x向和y向的不均勻性，選取實變函數(shù)的二次項進行調(diào)整，最后選取應力函數(shù)為

其中，f(z)為復變解析函數(shù)；為一次積分；為二次積分。

2 裂紋尖端區(qū)域的應力場

2.1 應力分量

所選應力函數(shù)相應的應力分量為

2.2 解析函數(shù)f(z)的表達式

根據(jù)問題的邊界條件，解析函數(shù)選取為f(z)=，再根據(jù)邊界條件確定應力函數(shù)式(1)中的各常數(shù)A，B，C的值。

(2)當x=0，y→∞，z→∞，f(z)=→p1，且由σy=p1，定出B=0，由τxy=q，定出A=-q/p1。

(3)當y=0，-a＜x＜a，即裂紋表面，則z=且有σy=0，τxy=0。

由此可見，在常數(shù)A=-q/p1，B=0，C=(p2-p1)/2時，解析函數(shù)選的形式，應力函數(shù)式(1)滿足圖1所示裂紋問題的邊界條件。

2.3 裂紋尖端區(qū)域附近的應力場

將上述各常數(shù)A，B，C的值代入式(2)，并如圖1所示，裂紋尖端區(qū)域的應力場用比較方便的新坐標ξ來描述，則應力分量

根據(jù)文獻[2]，將

代入式(3)得到用極坐標表示的應力分量

2.4 裂紋面上有作用力的情形

如圖2(a)所示無限大平板，并在兩端面受有均布拉應力p和四周受均布剪應力q的作用，由于板中不存在裂紋，所以應力強度因子等于零。我們現(xiàn)在在板的中心取一個長為2a，寬接近于零的脫離體，相當于在無裂紋無限大板(圖2(a))上開一裂紋，其邊界上受力應當與無窮遠處受力相同，如圖2(b)所示，由于脫離體寬度趨近于零，所以脫離體左右兩邊受力也趨于零。將圖2(b)上的作用力反作用在開的裂紋的邊界上，如圖2(c)所示，則圖2(a)與圖2(c)受力是等價的，或者說，圖2(c)外邊界上的力使裂紋開展，內(nèi)邊界上的力使裂紋閉合，疊加起來在裂紋尖端附近區(qū)域產(chǎn)生的應力等于零，也就與圖2(a)等價了。

根據(jù)疊加原理，圖2(c)的受力又等價于圖2(d)和圖 2(e)的受力的疊加，而圖 2(e)的受力又等價于圖 2(f)的受力的反號。又由于圖 2(c)的受力等價于圖2(a)的受力，所以在裂紋尖端附近區(qū)域產(chǎn)生的應力等于零，則，圖 2(c)的受力等價于圖 2(d)的受力減去圖2(f)的受力并在裂紋尖端附近區(qū)域產(chǎn)生的應力等于零。因此，圖2(f)在裂紋尖端附近區(qū)域產(chǎn)生的應力等價于圖2(d)在裂紋尖端附近區(qū)域產(chǎn)生的應力，這樣就把裂紋表面的受力情形轉(zhuǎn)化為外邊界的受力情形，于是就可以按前面所述方法進行分析，即在式 (4)中令p1=p，p2=0，q/=0，相應于圖 2(d)的情形，也就是圖 2(f)的情況。由于，，因此，圖2(f)裂紋尖端附近區(qū)域的應力分量

式(5)與按Fourier積分變換求解的結果相同。

圖2

2.5 幾種特殊情況

(1)當p1=p2=p，q/=0，則應力分量為

式(6)與按保角變換解出來的結果相同。

(2)當p1=p2=p，q=0，且則應力分量

(3)當p1=p2=0，q/=0，且，，則應力分量

式(7)和式(8)的結果與文獻[2]的結果相同。

3 結論

本文簡述了用 Westergaard應力函數(shù)求解復合型平面裂紋問題的全過程，即將I型和II型的Westergaard應力函數(shù)直接相加，再加上二次實變函數(shù)作為調(diào)整項，以便滿足邊界條件，從而導出了裂紋尖端區(qū)域應力分量的表達式。該方法物理概念清晰，推導過程簡單，不失為分析I–II復合型平面裂紋問題的一個好方法。同時，應用疊加原理將裂紋面上有作用力的情形轉(zhuǎn)化為裂紋外邊界受力情形，給出了解決裂紋面上有作用力的I–II復合型平面裂紋問題的解題方法，本文在斷裂力學教學中有一定參考意義。