付靖宇 趙增輝，?， 孫 偉

*(山東科技大學能源與礦業(yè)工程學院，山東青島266590)

?(礦業(yè)工程國家級實驗教學示范中心(山東科技大學)，山東青島266590)

全國周培源力學競賽作為我國最高級別的大學生力學競賽，已成為大學生展示自我的重要科技競賽平臺，也是各大院校展示基礎力學教學成果的重要舞臺，在推動力學科普、培養(yǎng)力學人才、提升基礎力學教學水平等方面發(fā)揮了重要作用[1-3]。很多高校已經(jīng)將該項賽事競賽成績作為選拔力學尖子生的重要依據(jù)。

周培源力學競賽的個人賽試題注重基礎性、實踐性、趣味性和開放性。在命題特點方面，經(jīng)歷了三個階段，第一屆到第五屆命題形式為理論力學、材料力學各出一張試卷，題量和難度較大。第六屆到第十屆競賽，命題更注重綜合性、趣味性和開放性，理論力學和材料力學命制在同一張試卷上，由4～5個題目組成，題量大幅減少但綜合性和趣味性明顯增強。從第十一屆開始，命題在結(jié)構和內(nèi)容上做了較大調(diào)整，試題分為基礎題與提高題兩部分，既能考察參賽學生對基礎力學基本內(nèi)容的掌握程度，又可以考驗參賽學生對知識的深入領悟和綜合應用能力[4-6]。該項賽事試題均為原創(chuàng)命題，具有很好的開放性，引起了很多力學工作者的興趣[7-10]。提煉和研討這些題目的解法對于提升學生的力學素養(yǎng)和教師的教學水平是大有裨益的。筆者在本文中將就第一屆和第十二屆競賽的兩道理論力學題目在解法上加以延伸討論。

1 歐拉動力學方程與剛體固連系的靈活選取

基于角動量定理推導出的歐拉動力學方程組與質(zhì)心運動定理一起構成求解三維剛體任意形式運動的二階微分方程組。通常而言，選取剛體的一個固連坐標架可寫出如下歐拉動力學方程組[11]

式中，Ii(i=1，2，3)是剛體的 3個主慣性矩，ωi(i=1，2，3)是剛體的角速度在3條主軸上的分量，Mi(i=1，2，3)是作用在剛體上的外力矩在3條主軸上的分量。當研究對象是非對稱陀螺(I1/=I2/=I3)時，求解過程較為復雜，需要引入雅可比-橢圓積分函數(shù)；當研究對象是對稱陀螺(I1=I2/=I3)時，求解過程較為簡單，尤其當無控制力矩即剛體自由運動時，由式(1)中第3個方程可直接得到ω3守恒的結(jié)論，且前2個方程也自動簡化為線性易求解的；當研究對象是球陀螺(I1=I2=I3)時，求解過程更為簡單。然而，如果剛體固連系相對慣性系的幾何位形較難描述，那么無論是非對稱陀螺還是球陀螺，都將面臨計算量方面的困難。這就需要靈活運用歐拉動力學方程?；氐阶畛跬茖н^程，即利用轉(zhuǎn)動系導數(shù)與慣性系導數(shù)之間的關聯(lián)列寫的角動量定理

2 旋轉(zhuǎn)球的穩(wěn)定性問題

2.1 問題描述

第一屆全國青年力學競賽理論力學試題第9題，原題為：半徑為r，質(zhì)量為m的均勻圓球在半徑為R的完全粗糙的另一固定圓球的外表面上純滾動。求當動球轉(zhuǎn)速超過多少時可以在定球的最高點處穩(wěn)定地轉(zhuǎn)動。重力加速度為g。

2.2 簡易求解

本題給出的原解答是首先導出兩球心連線方向的角速度分量保持不變，然后通過聯(lián)立6個動力學方程構成的方程組，得到穩(wěn)定模式對應的二元動力學方程組。優(yōu)點是運用理論的普適性較強，但過程稍顯繁瑣。下面筆者給出另外一種解法，可以轉(zhuǎn)化為一個二維斥力平面上原點附近的穩(wěn)定性問題，書寫方便且相對簡單。

以初態(tài)運動球球心為原點建立一個球面直角坐標架Oxy(x軸和y軸的經(jīng)度相差 90°)，如圖 1所示。在原點附近，這個曲面坐標架和平面直角坐標架在一階小量上無差異。設x和y兩個方向上的摩擦力大小分別為fx和fy。對運動球質(zhì)心(x，y)，由動量定理得

圖1 旋轉(zhuǎn)球穩(wěn)定性分析示意圖

式中g為重力加速度。設運動球的初始角速度ω方向豎直向上。Serret–Andoyer固連系的其中一條坐標軸始終與剛體的角動量矢量重合，而筆者命名的“Serret–Andoyer近似固連系”的其中一條坐標軸始終與剛體的主角動量矢量重合。所謂主角動量是指忽略一階小角動量的角動量，可以理解為零階角動量，即本題中與ω對應的角動量(由方程組(1)的第3個方程易知此角動量的大小是不變的，方向始終沿著兩球球心連線)。則Serret–Andoyer近似固連系相對慣性系的角速度為(˙y/(R+r)，˙x/(R+r)，0)，代入式(2)并忽略二階小量即得

式(4)已經(jīng)利用了純滾動的約束條件，即

聯(lián)立以上各式得

假設穩(wěn)定模式為

式中λ為待定常數(shù)。將試探解(7)代入微分方程組(6)得特征根方程組

令特征根方程組對應的系數(shù)行列式為零，使得試探解不平凡，化簡得特征根須滿足的一元二次方程

令該一元二次方程的判別式恰好等于零，即可解得臨界轉(zhuǎn)速 (也就是使得運動球能穩(wěn)定平衡的最低初始角速度)。所以穩(wěn)定平衡的條件即為

式(10)與原題給出的答案是一致的，但求解過程更為簡便。

2.3 拓展討論

該問題條件進一步放松，若令固定球也繞過球心的豎直軸以角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，是否仍然存在一個使得運動球穩(wěn)定平衡的最小ω值呢？求解過程如下。

換到固定球不轉(zhuǎn)的參考系中觀察，顯然這是個非慣性參考系，運動球還會受到慣性離心力和科里奧利力的作用。由質(zhì)心的加權平均值定義易知慣性離心力的等效作用點在球心處。科里奧利力對運動球的作用在數(shù)學形式上相當于一個豎直方向的勻強磁場B對一個均勻帶電q球的作用，如圖2所示，且滿足

計算磁矩得

式(12)已經(jīng)利用了純滾動約束條件。

圖2 固定球轉(zhuǎn)動時旋轉(zhuǎn)小球的穩(wěn)定性分析圖

對運動球質(zhì)心(x，y)，由動量定理得

對運動球由角動量定理得

同理有特征根方程組對應的系數(shù)行列式為零

再令式 (15)的判別式恰好等于零即可解出臨界轉(zhuǎn)速，所以穩(wěn)定平衡條件為

2.4 工程應用

比較兩種情況下的臨界轉(zhuǎn)速可知前者是后者的(R+r)/r倍，相比較而言，后者的穩(wěn)定臨界轉(zhuǎn)速要求更低一些，亦即后者的穩(wěn)定條件更加寬松。這就啟發(fā)我們在工程設計中為提高旋轉(zhuǎn)結(jié)構的穩(wěn)定性采用后者方式更優(yōu)，亦即使承重臺隨著非完整約束物繞垂直于臺面的軸同步旋轉(zhuǎn)。而且，從比例(R+r)/r=1+R/r中還可以看出，若取承重臺尺寸遠大于約束物尺寸，那么同步旋轉(zhuǎn)的優(yōu)越性將更加凸顯。

3 存在內(nèi)力驅(qū)動的剛體定點運動問題

3.1 問題描述

第十二屆全國周培源大學生力學競賽第 3題，原題：在真空中處于失重狀態(tài)的均質(zhì)球形剛體，其半徑r=1 m，質(zhì)量M=2.5 kg，對直徑的轉(zhuǎn)動慣量J=1 kg·m2，球體固連坐標系Oxyz如圖 3所示。另有質(zhì)量m=1 kg的質(zhì)點A在內(nèi)力驅(qū)動下沿球體大圓上的光滑無質(zhì)量管道(位于Oxy平面內(nèi))以相對速度u=1 m/s運動。初始時，系統(tǒng)質(zhì)心速度為零，質(zhì)點A在x軸上。當球體初始角速度ω0=(1 s－1，0，0.4 s－1) 時求球體的角速度ω和角加速度ε(提示：建立另一個動系Ox′y′z′，使質(zhì)點A恒在x′軸上)。

圖3 非慣性參考系下球體運動

3.2 拓展討論

原題中質(zhì)點所處緯度是零，考慮一般情況，現(xiàn)在將管道圈所處緯度抬升至θ/=0，如圖 4所示，不妨取M=m。建立一個動坐標架使得質(zhì)點坐標恒為(rcosθ，0，rsinθ)。該固連系即上文命名的所謂 “虛固連系”。含義是此固連系并不是相對球體固定而是相對體系的幾何位形固定，相當于虛構了一個新的動球面以使得質(zhì)點A和z軸與真實球面的交點在該虛構球面上的位置保持恒定。以此動坐標架寫下太空參考系中球體的角動量

式中e1，e2和e3分別為3條坐標軸的單位矢量。

圖4 緯度為θ時小球的運動分析示意圖

質(zhì)點的角動量

由于球心不固定，這里引入了折合質(zhì)量

由動量守恒可以確定球心速度大小與質(zhì)點速度大小的比例關系，從而將球心對體系質(zhì)心角動量的貢獻拼到質(zhì)點角動量里去，比例系數(shù)便體現(xiàn)在這個折合質(zhì)量上，這是《理論力學》研究孤立二體系統(tǒng)常用的等效方法。由角動量守恒知

將式(20)對時間求導，利用式(2)，即

式中，等號左邊為慣性系中觀測角動量變化率，等號右邊第一項是虛固連系(e1，e2，e3)中觀測角動量變化率，第二項是二者差值(由角動量方向變化而為變化率帶來的貢獻)。可得

式(22)對任意時刻的(e1，e2，e3)恒成立，故三個方向單位矢量前的系數(shù)均為零。由此解得

3.3 求解結(jié)果討論

3.3.1運動特性分析

取m=1 kg，r=1 m，θ=π/4。由數(shù)值方法解析在不同初始條件下體系的運動。設三個角速度分量的初值，分別為ω01，ω02和ω03。

圖5為三種不同情況下，三個角速度矢之間的變化規(guī)律曲線。由圖5(a)，取ω02=ω03=0，令ω01依次取不同的值時，角速度變化范圍先縮小后擴大。由圖 5(b)，取ω01=ω03=0，令ω02依次取不同的值，角速度變化范圍不斷擴大，且當取值增大到某種程度后，變化曲線出現(xiàn)“紐帶”現(xiàn)象。由圖5(c)，取ω01=ω02=0，令ω03依次取不同的值時，角速度變化范圍不斷擴大。綜合以上結(jié)論，可以猜想，當ω01恰好取到某關鍵值時，角速度變化范圍最小，甚至可以小到變化率為零，即恒定不變。角動量是守恒的，也就是說，對于某個給定的初始角動量，它在動坐標架(e1，e2，e3)的各根坐標軸上的投影量是會隨著坐標架的轉(zhuǎn)動而改變的。但如果角動量為零，那么在各根坐標軸上的投影也為零，且恒為零，這便相當于找出了上述關鍵值。

3.3.2特殊情況下的結(jié)論

當初始角動量L0=0時，由式(20)可解得

圖5 小球運動特性分析

也就是說：初值為零且初始變化率同時為零，不難判斷此值將保持恒定。所以題目中所述的動坐標架將繞定矢量ω1e1+[ω3+u/(rcosθ)]e3的方向做定軸轉(zhuǎn)動，亦即質(zhì)點做勻速圓周運動。如圖4所示。而球體的角加速度

實體球和 (e1，e2，e3)固連的虛構球的角速度僅在e3方向上差一項u/(rcosθ)，所以式 (25)相當于一只以自轉(zhuǎn)角速度ωs=u/(rcosθ)e3繞ω1e1+[ω3+u/(rcosθ)]e3軸公轉(zhuǎn)的陀螺。綜上所述，質(zhì)點做勻速圓周運動，球體作陀螺式進動。

從以上分析來看，由于陀螺進動具有穩(wěn)定性，那么如果將航天器簡化為球體模型，宇航員視為生物質(zhì)點，則這種運動模式可提高人造衛(wèi)星的自轉(zhuǎn)穩(wěn)定性。

4 結(jié)語

全國周培源大學生力學競賽已成為一項促進高等學校力學基礎課程改革、加強理工科高校學生素質(zhì)教育和創(chuàng)新能力的重要科技活動。比賽難度大，含金量很高，靈活性強，可以全面考察大學生的力學素養(yǎng)和知識掌握深度。

本文針對第一屆和第十二屆全國周培源大學生力學競賽兩道理論力學試題進行了拓展討論。從分析過程來看，無論是力矩的參考系變換關系還是以此推出的歐拉動力學方程，均是求解剛體三維運動的制勝武器，且坐標架的選取更是直接關系到這一武器的“操縱”難度。深入挖掘問題本質(zhì)有利于發(fā)掘?qū)こ淘O計的實際應用價值。全國周培源大學生力學競賽試題很好地體現(xiàn)了這一點。