曹盼盼，趙西卿

(延安大學數學與計算機科學學院，陜西延安716000)

20世紀90年代，美國著名的數學家Smarandache提出了許多新的數論問題[1]，并定義了若干新的數論函數，對現(xiàn)代的數論發(fā)展產生了較大的影響[2]。其中Smarandache本人命名的Smarandache函數S(n)近年來受到國內外諸多學者的廣泛關注和深入研究。

對于歐拉函數方程

φ2(n)=S(nk),n≥2，

(1)

1 相關引理

引理1[3]若正整數n=p1r1，p2r2，…，pkrk，其中p1,p2,…pk為素數，則歐拉函數

Smarandache函數

S(n)=max{S(p1r1),S(p2r2)，…S(pkrk)}。

引理2[3]對于整數k與素數p，有S(Pk)≤kp；若進一步有k

引理3[3]當n≥2時，有φ(n)

2 主要結果

定理廣義歐拉函數方程

φ2(n)=S(n28),n≥2

(2)

的正整數解為n=12769，25538。

證明當n=2時，φ2(2)=1,S(228)=32，顯然φ2(2)≠S(228)，于是n=2不是方程(2)的解。

當n≥3時，設n=p1r1，p2r2，…，pkrk，其中p1,p2…pk為素數，由引理1，

S(n28)=S(p128r1p228r2…pk28rk)=

max{S(p128r1),S(p228r2)，…S(pk28rk)}=

S(p28r)，

(3)

其中p為n的素因數，r為素因數p在n中的次數。又

(4)

若(3)，(4)式均成立，即得(2)式有解。

下面就p，r的不同取值分17種情況分別加以討論：

情形1 當p=2時：

(1)若r=1時，則(4)式為φ(m)=2S(228)=64,m=85，128，136，160，170，192。又(m,p)=1，則m=85，n=pr·m=170。將其代入(3)式S(17028)=459≠32，此時n=170不是(2)式的解。

(2)若r=2時，則(4)式為φ(m)=S(256)=60，m=61，77，93，99，122，124，154，183，186，198。又(m,p)=1，則m=61，77，93，99，183，n=pr·m=244，308，372，396，732。將其代入(3)式，可得

S(24428)=S(73228)=1708≠60，

S(30828)=S(39628)=297≠60，

S(37228)=868≠60，

故n=244，308，372，396，732不是(2)式的解。

(3)若r=3時，則(4)式為2φ(m)=S(284)=88，φ(m)=44，m=69，92，138。又(m,p)=1，則m=69，n=pr·m=552。將其代入(3)式S(55228)=621≠88，此時n=552不是(2)式的解。

(4)若r=4時，則(4)式為4φ(m)=S(2112)=116，φ(m)=29，由引理2可知，此時(2)式無解。

(5)若r=5時，則(4)式為8φ(m)=S(2140)=144，φ(m)=18,m=19，27，38，54。又(m,p)=1，則m=19，27，n=pr·m=608，864。將其代入(3)式得S(60828)=513≠144與S(86428)=60≠144，此時n=608，864不是(2)式的解。

(6)若r=6時，則(4)式為16φ(m)=S(2168)=172，φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(7)若r=7時，則(4)式為32φ(m)=S(2196)=200，φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(8)若r=8時，則(4)式為64φ(m)=S(2224)=228，φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(9)若r=9時，則(4)式為128φ(m)=S(2252)=256，得φ(m)=2，則m=3，4，6。又(m,p)=1，則m=3，n=pr·m=1536。將其代入(3)式得

S(153628)=60≠256，

此時n=1536不是(2)式的解。

(10)若r=10時，則(4)式為256φ(m)=

S(2280)=284,φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(11)若r=11時，則(4)式為512φ(m)=

S(2308)=312，φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(12)若r≥12時，則56r≥S(228r)=2r-2φ(m)≥2r-2不成立，此時(2)式無解。

情形2 當p=3時：

(1)若r=1時，則(4)式為φ(m)=S(328)=60,m=61，77，93，99，122，124，154，183，186，198。又(m,p)=1，則m=61，77，122，154，n=pr·m=183，231，366，462。將其分別代入(3)式，可得

S(18328)=S(36628)=1708≠60，

S(23128)=S(46228)=297≠60，

此時n=183，231，366，462不是(2)式的解。

(2)若r=2時，則(4)式為3φ(m)=S(356)=117,φ(m)=39，由引理2可知，此時(2)式無解。

(3)若r=3時，則(4)式為9φ(m)=S(384)=171,φ(m)=19，由引理2可知，此時(2)式無解。

(4)若r=4時，則(4)式為27φ(m)=S(3112)=231,φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(5)若r=5時，則(4)式為81φ(m)=S(3140)=285,φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(6)若r=6時，則(4)式為243φ(m)=S(3168)=342，φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(7)若r≥7時，則84r≥S(328r)=3r-1φ(m)≥3r-1不成立，此時(2)式無解。

情形3 當p=5時：

(1)若r=1時，則(4)式為2φ(m)=S(528)=120,φ(m)=60,則m=61，77，93，99，122，124，154，183，186，198。又(m,p)=1，則m=61，77，93，99，122，124，154，183，186，198，此時有n=pr·m=305，385，465，610，620，770，915，930，990。將其分別代入(3)式，可得

S(30528)=S(61028)=S(91528)=1708≠120，

S(46528)=S(62028)=S(93028)=868≠120，

S(38528)=S(49528)=S(77028)=S(99028)=

297≠120，

此時n=305，385，465，610，620，以及770，915，930，990都不是(2)式的解。

(2)若r=2時，則(4)式為10φ(m)=S(556)=230，φ(m)=23，由引理(2)可知，此時(2)式無解。

(3)若r=3時，則(4)式為50φ(m)=S(584)=345,φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(4)若r=4時，則(4)式為250φ(m)=S(5112)=455,φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(5)若r≥5時，則

140r≥S(528r)=2·5r-1φ(m)≥2·5r-1不成立，此時(2)式無解。

情形4 當p=7時：

(1)若r=1時，則(4)式為3φ(m)=S(728)=175,φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(2)若r=2時，則(4)式為21φ(m)=S(756)=343，φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(3)若r=3時，則(4)式為147φ(m)=S(784)=511,φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(4)若r≥4時，則

196r≥S(728r)=3·7r-1φ(m)≥3·7r-1不成立，此時(2)式無解。

情形5 當p=11時：

(1)若r=1時，則(4)式為5φ(m)=S(1128)=286,φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(2)若r=2時，則(4)式為55φ(m)=S(1156)=572，φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(3)若r=3時，則(4)式為605φ(m)=S(1184)=847，φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(4)若r≥4時，則

308r≥S(1128r)=5·11r-1φ(m)≥5·11r-1不成立，故(2)式無解。

情形6 當p=13時：

(1)若r=1時，則(4)式為6φ(m)=S(1328)=338,φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(2)若時，則(4)式為78φ(m)=S(1356)=676,φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(3)若時，則(4)式為1014φ(m)=S(1384)=1014,φ(m)=1,則m=1,2，又(m,p)=1，則m=1，2，n=pr·m=2197，4394。將其分別代入(3)式，可得S(219728)=S(439428)=338≠1014，此時n=2197，4394不是(2)式的解。

(4)若r≥4時，則

364r≥S(1328r)=6·13r-1φ(m)≥6·13r-1不成立，此時(2)式無解。

情形7 當p=17時：

(1)若r=1時，則(4)式為8φ(m)=S(1728)=459，φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(2)若r=2時，則(4)式為136φ(m)=S(1756)=901,φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(3)若r≥3時，則

476r≥S(1728r)=8·17r-1φ(m)≥8·17r-1不成立，故(2)式無解。

情形8 當p=19時：

(1)若r=1時，則(4)式為9φ(m)=S(1928)=513,φ(m)=57，由引理2可知，此時(2)式無解。

(2)若r=2時，則(4)式為171φ(m)=S(1956)=1026,φ(m)=6，則m=7，9，14，18。又(m,p)=1，則m=7，9，14，18，n=pr·m=2527，3249，5054，6498。將其分別代入(3)式，可得

S(252728)=S(324928)=S(505428)=

S(649828)=513≠1026，

此時n=2527，3249以及5054，6498不是(2)式的解。

(3)若r≥3時，則

532r≥S(1928r)=9·19r-1φ(m)≥9·19r-1不成立，此時(2)式無解。

情形9 當p=23時：

(1)若r=1時，則(4)式為11φ(m)=S(2328)=621,φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(2)若r=2時，則(4)式為253φ(m)=S(2356)=1242,φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(3)若r≥3時，則

644r≥S(2328r)=11·23r-1φ(m)≥11·23r-1不成立，故(2)式無解。

情形10 當p=29時：

(1)若r=1時，則(4)式為14φ(m)=S(2928)=812，φ(m)=58，則m=59，118。又(m,p)=1，則m=59，118，n=pr·m=1711,3422。將其分別代入(3)式，可得S(171128)=S(342228)=1652≠812，此時n=1711，3422不是(2)式的解。

(2)若r=2時，則(4)式為406φ(m)=S(2956)=1595,φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(3)若r≥3時，則

812r≥S(2928r)=14·29r-1φ(m)≥14·29r-1不成立，故(2)式無解。

情形11 當p=31時：

(1)若r=1時，則(4)式為15φ(m)=S(3128)=868,φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(2)若r=2時，則(4)式為465φ(m)=S(3156)=1705,φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(3)若r≥3時，則

868r≥S(3128r)=15·31r-1φ(m)≥15·31r-1不成立，故(2)式無解。

情形12 當p=37時：

(1)若r=1時，則(4)式為18φ(m)=S(3728)=1036,φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(2)若r=2時，則(4)式為666φ(m)=S(3756)=2035，φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(3)若r≥3時，則

1036r≥S(3728r)=18·37r-1φ(m)≥18·37r-1不成立，故(2)式無解。

情形13 當p=41時：

(1)若r=1時，則(4)式為20φ(m)=S(4128)=1148，φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(2)若r=2時，則(4)式820φ(m)=S(4156)=2255,φ(m)為不是整數，故(2)式無解。

(3)若r≥3時，則

1148r≥S(4128r)=20·41r-1φ(m)≥20·41r-1不成立，故(2)式無解。

情形14 當p=43時：

(1)若r=1時，則(4)式為21φ(m)=S(4328)=1204，φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(2)若r=2時，則(4)式為903φ(m)=S(4356)=2365,φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(3)若r≥3時，則

1204r≥S(4328r)=21·43r-1φ(m)≥21·43r-1不成立，故(2)式無解。

情形15 當p=47時：

(1)若r=1時，則(4)式為23φ(m)=S(4728)=1316,φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(2)若r=2時，則(4)式為1081φ(m)=

S(4756)=2585，φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(3)若r≥3時，則

1316r≥S(4728r)=23·47r-1φ(m)≥23·47r-1不成立，故(2)式無解。

情形16 當p=53時：

(1)若r=1時，則(4)式為26φ(m)=S(5328)=1484,φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(2)若r=2時，則(4)式為1378φ(m)=

S(5356)=2915,φ(m)不是整數，故(2)式無解。

(3)若r≥3時，則

1484r≥S(5328r)=26·53r-1φ(m)≥26·53r-1不成立，故式無解。

情形17 當p≥57時：

S(p28)=28p,即(p-1)φ(m)=56p。又(p-1,p)=1，所以(p-1)|56與p≥57矛盾，所以此時(2)式無解。

S(p56)=56p，即(p-1)φ(m)=112。又因為p≥57，可得p=113，φ(m)=1，m=1，2，n=pr·m=12769，25538。將其分別代入(3)式，可得

S(1276928)=S(2553828)=6328=S(11356)，

此時n=12769，25538是(2)式的解。

(3)若r≥3時，則

即56r≥(p-1)pr-2，

而p-1≥56，pr-2>r，

所以56r≥(p-1)pr-2顯然不成立，所以此時(2)式無解。

終上所述，可得廣義歐拉函數方程φ2(n)=S(n28),n≥2的正整數解為n=12769，25538。證畢。