張 洪

(中國銀行泰州支行，江蘇 泰州 225321)

面對數(shù)學基礎(chǔ)的危機與統(tǒng)一，希爾伯特(Hilbert)、羅素(Russell)、彭加勒(Henri Poincare)、布勞威爾(Brouwer)、維特根斯坦(Wittgenstein)等數(shù)學大師和哲學大師都曾殫精竭慮，提出了自己的哲學主張和解決方案，為此各學派之間展開了激烈的爭論。但真理越辯越明，各大學派數(shù)學思想都有可取之處，現(xiàn)在是應(yīng)該去甄別、歸納、統(tǒng)一、提升各學派數(shù)學思想的時候了。

一、辯證唯物主義無限觀

筆者在《論哲學無限與數(shù)學無限的異同點》[1]中闡述了哲學和數(shù)學中的四個無限概念(真無限、實無限、惡無限、潛無限)。關(guān)于辯證唯物主義無限觀，作者表述如下：

任何無限都是惡無限與真無限的辯證統(tǒng)一(統(tǒng)一體)，是一種客觀存在，無限性本身包含了有限無限矛盾，無限的客觀存在性并不代表無限過程能夠結(jié)束、完成。真無限就是無限事物內(nèi)在的質(zhì)的規(guī)定性，就是內(nèi)在聯(lián)系、規(guī)律、真理，而惡無限就是無限進展，沒有終止的重復(fù)、交替，深刻地體現(xiàn)了有限無限矛盾；真無限可以認識、完成，而惡無限不可以認識、不可以完成，惡無限(無限過程)是“有限無限矛盾”的具體表現(xiàn)而不是這種矛盾的解決，這就決定了有限無限矛盾永恒不滅；真無限代表了無限的質(zhì)(本質(zhì))，而惡無限代表了無限的量(運動和變化)；真無限離不開惡無限，惡無限是真無限的載體，真無限是惡無限的目標和方向。真無限是現(xiàn)實的、具體的、肯定的、積極的、理性的、完成的無限，是自為的存在和理性的存在，是完成了的質(zhì)；而惡無限是可能的、抽象的、否定的、消極的、不可完成的無限，是自在的存在和知性的存在。

無限存在而不可完成、不可穿越，無限是一個黑洞，但無限可以揚棄、可以超越。過程(惡無限)永遠，規(guī)律(真無限)永恒；過程是變量，規(guī)律是常量；無限不可穿越，但可以超越，超越的結(jié)果是一個真無限。無限的存在性與過程的不可完成性是完全不同的兩個概念，是矛盾的兩個方面，不可相互替代；正因為它們的存在，才有有限無限矛盾的存在；無限，就像一個黑洞一樣，有進無出，無窮無盡，永遠不能結(jié)束。辯證唯物主義無限觀堅持這種矛盾的不滅性，認為無限客觀存在、可以認識，但無限過程卻不可以完成，即有限無限矛盾永恒不滅；而實無限觀則把無限的客觀存在性當成無限過程的完成性，用客觀代替主觀，用真無限代替惡無限，徹底拋棄有限無限矛盾，從而認為這種矛盾是可以終結(jié)、可以解決，因而其思想是遵循了康德的先驗的、主觀的、形而上學的無限思想。

二、亞里士多德的無限觀

亞里士多德無限思想主要是：無限存在，但無限不能以現(xiàn)實的方式存在，也就是說無限只能潛在；無限不能與感性事物分離，不能單獨自身存在。

亞里士多德承認無限存在。在《物理學》中指出：“但是，如果說根本沒有無限，顯然許多說不通的結(jié)論就會因而產(chǎn)生，例如，時間就會有開始和終結(jié)，量也就不能分成更小的量，數(shù)也不會是無限的。”[2]185亞里士多德對“無限”的涵義進行了分析，認為無限的本質(zhì)在于“此外永有”：“‘無限’的真正涵義正好與平常大家理解的相反，不是‘此外全無’，而是‘此外永有’……，而‘此外再無’的東西是‘完成的’或‘完全的’?！盵2]187在《形而上學》一書中，亞里士多德認為無限的本意就是不可窮盡；亞里士多德是這樣描述無限的：“無限(無盡)或(甲)是不能達到盡處的，因為它的本性就是不可盡(這于聲音總是看不到的有所類似)或(乙)是容許無盡地進行的，或是(丙)很難進行到盡處，或是(丁)雖則自然地可到盡處，卻從未到過盡處?！f無限是一個可分離的獨立實是而又不可得見，這是不可能的?！盵3]

亞里士多德認為無限不是一種現(xiàn)實存在，也就是說在人類主觀世界中不可能有真實的無限。指出：“沒有現(xiàn)實的無限物體”[2]85；“事物被說成‘存在’，一種指潛能的存在，另一種是指現(xiàn)實的存在……?，F(xiàn)在，如我們已經(jīng)說過的，量在現(xiàn)實上不是無限的，但分起來卻是無限的(駁斥‘不能再分的線’是不難的)，因此，只有潛能上的無限……，但無限不是這樣，不會有現(xiàn)實的無限?！盵2]85“因此，既然沒有任何一個感性的量是無限的，也就不可能有一個超過一切已定量的量?！盵2]89“也很顯然，無限不能作為一個實現(xiàn)了的事物、一個實體或根源?！盵2]179

亞里士多德認為無限是潛在的、無限不可穿越，無限不能與感性事物分離，不能單獨自身存在。在亞里士多德看來，無限是一種關(guān)系或?qū)傩?，是客體存在的表現(xiàn)形式，即客體的量的存在形式，因而也可以說是客體的一種屬性，即客體的量的屬性。如時間、空間具有無限屬性，也因此稱時間空間是無限的。亞里士多德指出：“無限是一種脫離感性事物的自在的無限——這種說法是不可能的?！盵2]179“總的說來，不可能有感性物體是無限的?！盵2]82亞里士多德認為無限是不可穿越的，“無限者一種是指不可能有‘穿越’的事物，……另一種是指，雖可以談得上穿越，但穿越不到盡頭的(……)事物?！盵2]78

數(shù)學中的實無限思想實際上起源于古希臘哲學家柏拉圖(Plato)?！暗@和‘無限是一個實現(xiàn)了的事物’的說法又有矛盾，因為后者必然是一個一定的量。因此，無限是作為屬性屬于實體的”[2]80。在柏拉圖看來，無限是一個可以完成、實現(xiàn)的事物，也就是無限過程是可以完成的。柏拉圖認為無限是一種實在，“有些人，如畢達哥拉斯派和柏拉圖，把無限看作為自在的實體，而非其它事物的屬性。”[2]75；“可是柏拉圖則主張有兩個無限：大和小?！盵2]76但柏拉圖從來沒有使用過這種無限大、無限小。

綜上所述，亞里士多德的無限思想是一種樸素的、唯物主義的無限思想，僅僅從量的方面分析了無限，但卻深刻的揭露了惡無限的本質(zhì)。

三、邏輯主義學派的無限觀

其主要觀點：認為能把全部數(shù)學化歸為邏輯，承認實無限觀點下的無限集理論，承認無限性對象的存在性，從而承認實無限性研究對象在數(shù)學領(lǐng)域中的合理性，因此，就無限觀而言，邏輯主義學派是實無限論者，羅素是其典型的人物代表。就無限的存在性，這一點與辯證唯物主義無限觀是完全一致的。辯證唯物主義無限觀認為，無限是一種客觀存在，承認數(shù)學把無限性客體作為一個研究對象的合理性，認為無限客體的整體性與無限客體內(nèi)在的過程性是完全不同的兩個概念(而邏輯主義學派卻沒能區(qū)分)，所反對的就是在具體的數(shù)學方法、步驟中涉及無限過程的完成性。然而，邏輯主義學派面臨無窮公理、選擇公理的挑戰(zhàn)，為解決集合悖論而發(fā)展了“分支類型論”，從而變相地回歸到潛無限思想上去。因此，邏輯主義學派最終沒有能逃離惡無限，從某種程度上也可以說，回歸到辯證唯物主義無限觀的發(fā)展道路上。

四、形式主義學派的無限觀

形式主義學派的本質(zhì)是將系統(tǒng)形式化、公理化，認為數(shù)學是純粹的符號游戲，認為數(shù)學的真理性在于形式系統(tǒng)的無矛盾性，根本不關(guān)心數(shù)學的客觀實在性。以希爾伯特(Hilbert)為代表的形式主義派在“無限問題”上本身就是矛盾的，一方面，承認無限集理論，因而承認“無限”的實在性，是典型的實無限論者；另一方面，在具體的應(yīng)用中又堅持“有限主義原則”，對實無限性的概念和方法的使用顧慮重重，幾乎和直覺主義者一樣認為可信性只能存在于有限之中，認為無限性對象是超越直覺而不可信的，因此又是一個“潛無限”論者。因此，朱梧槚先生生動地把希爾伯特稱之為“幕前的實無限論者”和幕后的“有窮主義者”[4]146。這充分說明了希爾伯特在無限問題上的矛盾性，根本原因就在于其沒有認識到無限問題的辯證性，沒有看到無限是真無限與惡無限的矛盾統(tǒng)一體，也沒有看到無限的“存在性”和“過程的完成性”是完全不同的兩個概念。因此，在“無限性對象”存在性問題上，形式主義學派與邏輯主義學派是一致的，并與直覺主義學派相對立；在具體的數(shù)學推理方法中希爾伯特(Hilbert)堅持有限性原則，這又與直覺主義學派站到了同一陣線上。因此可以講，希爾伯特是一個不那么堅定的實無限論者、一個矛盾的實無限論者，其無限思想更接近辯證唯物主義無限觀。

五、直覺主義學派的無限觀

其主要觀點：堅持潛無限而排斥實無限，“存在必須被構(gòu)造”是其口號，堅持從“可信性”考慮數(shù)學概念與方法，認為自然數(shù)集N永遠處于構(gòu)造之中，認為實無限性對象是不可構(gòu)造的，不承認無限作為一個客體的存在性，所以，其無限觀是典型的潛無限，其哲學觀屬于典型的主觀唯心論。其典型的人物代表有彭加勒、布勞威爾。彭加勒主張最基本的直觀，無需再作進一步的分析就可認為是可信的，多次譴責實無限集合觀念，主張潛無限概念；而布勞威爾則旗幟鮮明提出了“存在必須被構(gòu)造”的觀點，從而成為直覺主義的奠基人。

因此，直覺主義無限觀與辯證唯物主義無限觀是完全背道而馳的。辯證唯物主義無限觀既堅持無限客體的存在性，又堅持無限過程的不可完成性，而直覺主義無限觀只機械地看到無限過程不可完成(這一點與辯證唯物主義無限觀一致)，并由此否定無限客體的存在；只看到量變，而看不到質(zhì)變，只看到局部，而看不到整體，只看到人類思維的有限性，而看不到人類思維的能動性。因此，直覺主義者不能超越惡無限過程而發(fā)現(xiàn)無限事物的真諦(即真無限)。

關(guān)于“無限是否能被構(gòu)造”問題，從辯證唯物主義無限觀的角度來討論。由于無限性包含了有限無限矛盾，因此，無限的構(gòu)造問題本質(zhì)就是一個有限無限問題。所謂“構(gòu)造”，首先是一個主觀行為，因而也是一個有限性的概念，從這一點講，任何“構(gòu)造”必然陷入一個無限過程中、陷入惡無限中，因而不可能完成，從而自然得出這一結(jié)論：無限是不可能被構(gòu)造的。任何一個“構(gòu)造”，是對存在的判斷，都是一種潛無限、一種無限過程，這充分體現(xiàn)了有限無限矛盾。如果說自然數(shù)集N是構(gòu)造的，那就是不完全的、不可完成的；如果說N“已構(gòu)造出來”，那也僅僅是想象的完成的“無限”，而構(gòu)造過程仍然獨立存在著，所以，自然數(shù)集N作為一個無限物是不可構(gòu)造的。同樣而言，關(guān)于羅素悖論，應(yīng)該說集合的構(gòu)造必須符合“潛無限原則”，構(gòu)造是對存在的判斷，是面向歷史、而不是面向未來；堅持這一原則，則可以清晰地解決羅素悖論問題。

從過程的角度即從惡無限角度解釋了無限是不可構(gòu)造的。然而，由于無限既可以完成(共性、內(nèi)在聯(lián)系，作為真無限)、又不能完成(從過程看，作為惡無限)，因此，從真無限的角度，無限又可以被構(gòu)造。從真無限的角度來構(gòu)造這個集合，規(guī)定以下這一構(gòu)造規(guī)則：令n的“后繼”。這一構(gòu)造自然數(shù)集N的規(guī)則是一個真無限，明確了任一元素與其“后繼”的邏輯關(guān)系(前者是后者的條件)，從而確定了所有自然數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)定性。有了這樣的規(guī)則，再加上一個“原點”，同時明確經(jīng)此規(guī)則所生成的一切元素組成一個集合，這樣一來，所需要的自然數(shù)集N也就構(gòu)造出來了。這種構(gòu)造方法，本質(zhì)是通過“共性”(即內(nèi)在聯(lián)系、規(guī)律，一個真無限)來構(gòu)造一個具有“序結(jié)構(gòu)”的無限對象，因此這種構(gòu)造與其叫做“構(gòu)造”，不如稱之為“定義、規(guī)定或公理”，這樣可能更恰當一點。因此，從真無限的角度，也就是說從內(nèi)在的聯(lián)系、邏輯關(guān)系的角度，自然數(shù)集N是可以被構(gòu)造的，這也就承認了自然數(shù)集N作為一個無限客體存在的合理性。這正體現(xiàn)了人類思維的能動性，實現(xiàn)了人類對無限認識的飛躍。然而這種基于真無限思想對無限物的構(gòu)造，并不表示可以完成一個無限過程，因為存在的無限不等于可以完成的無限。

六、哲學大師維特根斯坦的無限觀

維特根斯坦是20世紀最有影響力的哲學家之一，特別是其數(shù)學哲學思想引來了曠日持久的爭論。其無限思想主要是：反對實無限，反對無限的客觀存在，認為無限是一種以法則表示的無限可能性而不是現(xiàn)實性；反對一個無限集合與自己的子集的一一對應(yīng)，反對使用康托的“對角線法”，因而是一個典型的潛無限論者。

維特根斯坦否認無限的現(xiàn)實性。認為無限的現(xiàn)實性是不能證實的，符號不能表述無限的現(xiàn)實性。正如維特根斯坦在《數(shù)學基礎(chǔ)研究》中所說，“它說，實無限根本不能用數(shù)學的符號系統(tǒng)來把握，因此它只能被描述出來而不能被表現(xiàn)出來。這種描述或許是以類似于下面這樣的方式將它把握住的：對于不能全部拿在手中的大量的東西，人們是通過將其打包放入箱子中的方式將其提起來的。”[5]210

維特根斯坦反對使用康托的“對角線法”，認為有限不能窮盡無限?！耙驗槲覀冇腥缦抡?shù)母杏X：在能夠談?wù)撟詈笠粋€東西的地方，在那里便不能出現(xiàn)‘根本沒有最后一個東西’?！盵5]207“(請不要忘記：數(shù)學家們有關(guān)無窮的思考畢竟都是有窮的思考。借此我想說的是這點：它們都有一個盡頭。)”[5]228

維特根斯坦認為無限、有限是完全不同的范疇，無限是一種內(nèi)在的規(guī)定性。認為無限不是數(shù)字，無限不是一種同有限相競逐的量的大小，而是一種內(nèi)在的規(guī)定性。指出，“‘無窮集合’和‘有窮集合’是兩個不同的邏輯范疇，可以有意義地表述給一個范疇的東西不能有意義地表述給另一個范疇?！盵5]206以數(shù)字π為例，數(shù)字π表達了一個與實際的觀察相伴隨的無限的規(guī)律，即數(shù)字π是一個規(guī)則。這實質(zhì)上就是黑格爾的真無限思想。

維特根斯坦認為無限是一種可能性。認為有限與無限不是量的差別，而是一種邏輯上的區(qū)別；無限不是量也不是廣延，無限是以法則表示的無限的可能性，無限本身不可比較大小，因而其認為的這種無限可能性實際上是一個變量、一個過程(惡無限)而不是結(jié)果。因此，維特根斯坦又是一個潛無限論者。

因此，維特根斯坦的無限思想基本遵循了黑格爾的辯證無限思想。唯一的欠缺是否認無限的客觀存在，并與直覺主義者為伍但是又超越了他們。然而，維特根斯坦的無限思想最終沒有能夠上升到黑格爾辯證無限觀的層面，沒能把握無限作為“自為無限”——真無限的哲學意義。

七、一一對應(yīng)原則、Cantor-Hilbert對角線法

在Cantor的“超窮數(shù)理論”中有一個核心而基本的概念，就是“一一對應(yīng)原則”，Cantor對無限的劃分就是根據(jù)“一一對應(yīng)原則”作出的判斷。可是“一一對應(yīng)原則”本身在“有限無限問題”上就是一個需要解釋清楚的概念，我們何以知道在有限范疇內(nèi)正確的概念會在無限范疇內(nèi)也正確呢？ “一一對應(yīng)原則”在面對無限時，就必然遇到“惡無限”這個問題，而基于這個可疑概念的對無限的等級劃分，本身就變得何其荒唐?！耙灰粚?yīng)原則”是康托(Cantor)“實無限”思想的根基，因此基于“有限”的“一一對應(yīng)原則”不能作為衡量“數(shù)學無限”間等價與否的根據(jù)。

“一一對應(yīng)原則”或“一一映射”本質(zhì)上是來自于、屬于“有限”范疇內(nèi)的東西，在將其推至無限范疇時，這只能是一種公理性的規(guī)定或假設(shè)，而不是事實上能“證明”或“推斷”出來的“必然”，因為我們不可能窮盡一個無限對象。從而，依賴于“一一對應(yīng)原則”而建立起來的“無限之間等價性”這一概念已經(jīng)是問題的中心和最值得懷疑的東西。

有限與無限的一個重要區(qū)別還在于：有限是一個“閉區(qū)間”，有始有終，而無限是一個“開區(qū)間”，有始無終。這深刻的反映了有限范疇與無限范疇的重大區(qū)別。

朱梧槚先生在其著作《數(shù)學與無窮觀的邏輯基礎(chǔ)》中，也對將“一一對應(yīng)原則”應(yīng)用到無限集合上進行了質(zhì)疑。指出，“一一對應(yīng)原則用在無窮集合上，也是一種枚舉手續(xù)，而枚舉手續(xù)在沒有窮舉該枚舉手續(xù)之前，永遠是一種現(xiàn)在進行式(going)，從而它所面對和指稱的必然是潛無限”[4]211。在這篇著作的第七章的最后部分，又進一步強化了這一思想，“事實上，在傳統(tǒng)集合論中，對于勢這一概念的建立，完全決定于‘一一對應(yīng)原則’，而一一對應(yīng)原則的使用，除了給出一個對應(yīng)規(guī)則(或?qū)?yīng)函數(shù))之外，剩下的就只有對集合中元素的任意遞歸枚舉了，但任意遞歸枚舉集合之元素至多只能是一個潛無限進程，從而至多只能適用于潛無限彈性集合?？低袑⒒谌我膺f歸枚舉的一一對應(yīng)原則任意應(yīng)用到實無限剛性集合上是沒有根據(jù)的，特別是任意應(yīng)用到不可數(shù)集合上就更無根據(jù)了，因為即使在傳統(tǒng)集合論觀念下，也都承認任意遞歸枚舉至多到可數(shù)無窮，既然如此，試問立足于任意遞歸的一一對應(yīng)原則，又如何能去決定不可數(shù)實無窮集合的勢呢？ 所以用一一對應(yīng)原則來決定各種各樣實無窮剛性集合的勢是很有局限性的?！盵4]296

關(guān)于“無限之間的大小問題”，黑格爾給出了明確的論述。黑格爾認為無限大小是可比較的，而且只有在真無限的意義上才可以比較大小，即在無限的質(zhì)的規(guī)定性意義上比較大小。僅僅處于比例中的東西不再是定量，而是質(zhì)的規(guī)定，“與此相反，質(zhì)的東西恰恰只是在它與一個他物相區(qū)別那樣的東西。因此，那些無限的大小不僅是可以比較的，而且只有作為比較或比例的環(huán)節(jié)”[6]。比例中的兩個無限，是兩個無限進展，而它們的變化率就是一種真無限，體現(xiàn)了一個質(zhì)的大小規(guī)定性。

關(guān)于“Cantor-Hilbert對角線法”這種具有“實無限”思想論證方法的有效性，朱梧槚先生也給出了旗幟鮮明的質(zhì)疑[7]?！癈antor-Hilbert對角線法”本質(zhì)上與“一一對應(yīng)原則”相同，也是一種潛無限性、過程性的方法，是一種不可完成的方法，不可以用來證明“實無限”(整體無限)的整體性性質(zhì)。在處理“Hilbert旅館問題”時，如果基于同樣的實無限思想，將會得到“無限交換悖論”。把自然數(shù)集N作為一個整體的方法本質(zhì)是一個有限性的方法，如同N的冪集定義一樣，這都是有限性、整體性的方法。兩個不同的無限，除非事先知道它們之間的“關(guān)系”(即內(nèi)在的質(zhì)的聯(lián)系)，否則將無法把它們區(qū)分；如自然數(shù)集N與它的冪集P(N)存在著冪集關(guān)系，正是基于這種關(guān)系，才能區(qū)分它們、比較其大小。只能在“真無限”的意義上比較不同無限之間的大小，即在不同無限的內(nèi)在質(zhì)之間的聯(lián)系上比較大??；也就是說，有內(nèi)在聯(lián)系的不同無限才可以比較大小，沒有內(nèi)在聯(lián)系的不同無限不可以比較大小，正是基于這一點，才認為選擇公理的正確性。

八、無限交換悖論

所謂“無限交換悖論”是指使用實無限思想——也就是認為無限過程可以完成的思想，可以將兩個等價(具有“一一映射”關(guān)系)的無限變換成相互不等價的無限。這深刻地揭露了實無限思想存在的內(nèi)在缺陷，它將矛盾推移到無限遠處，可是矛盾從沒有消失。也就是說無限過程根本不可能完成，從而進一步佐證了辯證唯物主義無限觀。

該悖論具體如下：

下面進行一系列連續(xù)的變換，并且我們認為這個無限過程可以完成、終結(jié)。令T代表變換，T(n)代表第n個變換：

T(1)：將自然數(shù)1、2的“象”交換，使得1對應(yīng)于a2，而 2對應(yīng)于a1。

T(1)完成之后，進行變換T(2)：即將2、3的“象”交換，使得2對應(yīng)著a3，而 3對應(yīng)于a1；……。

到變換 T(n) 時，它發(fā)生在變換T(n-1)之后，即將n、n+1的“象”進行交換，使得n對應(yīng)于an+1，而 n+1對應(yīng)于a1；以此類推，直到無限，并且我們認為這個無限過程可以完成。

在這無限個連續(xù)的變換結(jié)束之后，我們將會發(fā)現(xiàn)以下矛盾：即我們再也找不到哪一個自然數(shù)，使得它對應(yīng)于W的元素a1了。這就是“無限交換悖論 ”。

九、非標準分析

1.常量的無限大、無限小是非標準實數(shù)模型中的概念，不是標準模型下的實數(shù)，因此其存在性僅僅是相對的

這種存在性僅僅指其“理論存在性”，不同于客觀存在性或物理存在性。在標準模型下，無限大、無限小不是一個實體，而只是一個變量。在哲學層面，固定的無限大、無限小是無法給予理性解釋的，本身就具有內(nèi)在矛盾性。所以，也可以說，常量的無限大、無限小都是數(shù)學的抽象，是非標準分析中的“想象的數(shù)量”?，F(xiàn)實世界是第一性的，而數(shù)學抽象是第二性的。這種常量的無限小、無限大只有在非標準分析下才有意義。

2.無限大、無限小在標準分析、非標準分析下本質(zhì)相同

在標準分析下，無限小dx是一個變量；在非標準分析下，無限小dx是一個常量，但實際上還是一個變量。正是基于這樣的一種解釋，才有標準分析與非標準分析作用等價一說。把“無限小”看成常量或變量，不改變數(shù)學的真無限的本質(zhì)。

在非標準實數(shù)模型中，有無限多個無限大(無限小)，無限大(無限小)實際上是一個相對的常量，代表了一群無限大(無限小)，或者說是代表無限大(無限小)的變量，是一個相對的固定的變量(與其說是常量，不如說是變量)。在非標準分析中，沒有最小的無限大(這不同于Cantor的超窮序數(shù))。因此，這種無限大數(shù)a是我們想象的、任意定義的、抽象的，不是具體的，正如惡無限是抽象的一樣。所以，這個a看似是一個“常量”，實際上代表一群數(shù)，代表了所有的無限大；a僅僅是這些無限大中的一個代表，或者說就是一個無限大的變量。這就是說a具有相對性(相對的靜止)，體現(xiàn)了運動和靜止的辯證關(guān)系。所以，a的物理實在性得不到可靠的證明，這與具體的標準模型下的實數(shù)、特別是自然數(shù)的實在性是根本不同的。前者是虛無縹緲的、相對的常量，而后者是真正的常量，或者說前者根本就不是一個常量。用相同的辦法，還可以構(gòu)造“二級無限大”“二級無限小”、多級無限大和多級無限小。這就如同Cantor(康托)所定義的超窮序數(shù)。這就是為什么A.Robinson認為非標準分析中的無限大、無限小的實在性并不代表無限小量具有真實性或客觀性，認為引進無限小量的意義只在于使形式化的數(shù)學推演得以順利進行，并不涉及無限小量是否真的存在這種本體論問題。這是他非?？茖W而理性的思考，從辯證唯物觀的角度看，無疑他比誰都看得更清楚。正如他所說，“我們這個理論，與其說是引進了新的數(shù)學的對象(entities)，不如說是引進了新的演推過程”[8]326。

魯濱遜(A.Robinson)繼承和發(fā)展了萊布尼茲(Leibniz)的無限思想，他們的無限觀點本質(zhì)是一致的，因而他倆都是潛無限論者。A.Robinson非常認同Leibniz對于無限大、無限小的評價：“它們只是一種虛構(gòu)，但是有用的虛構(gòu)”[8]325。在《非標準分析》中，A.Robinson直接引用了Leibniz的原話：“老實說，我不十分相信，除了把無限大和無限小看作是理想的東西，看成確有根據(jù)的假定而外，還有什么必要去考慮它們。我相信，決沒有什么生物凌駕于其他無限多的生物之上，但我決不相信有無限大，也不相信會有無限小，這我相信是能夠證明的”[8]306；“我將向他們作證：我不相信會有真的無限大和真的無限小量；它們只是一種虛構(gòu)，但對于縮短論證和在一般敘述中，是有用的虛構(gòu)?！盵8]306

A.Robinson最后這樣分析，“目前，大多數(shù)的數(shù)學家，都保持著Cantor的觀點。但是，歷史的回顧，也許給我們這樣的啟發(fā)：如果說在十八世紀中獲得勝利的微積分，在它以后的一百年內(nèi)，仍須另打基礎(chǔ)，那末，未來世代里的數(shù)學家，即使承認集合論的形式結(jié)果，也許要拋棄它的柏拉圖(Platonistic)色彩?！盵8]325因此，從某種程度上，可以說萊布尼茲和魯濱遜都是想拋棄Cantor集合論的“柏拉圖色彩”，也就是說要拋棄Cantor自認為抓住了“實在的無限”的思想。

因此，可以說，魯濱遜完全繼承了萊布尼茲的無限思想，認為無限大、無限小(作為常量)是一個實用的工具、一種有用的虛構(gòu)，而不是真實的存在。即使是集合論、超窮序數(shù)的創(chuàng)立者Cantor先生，一個典型的實無限論者，也否認無限小數(shù)，并聲稱他能用他的理論證明無限小數(shù)不存在。只是，他們承認了無限作為一個客體的存在，并想用一個“數(shù)”去表達這種存在性，因而才有了無限大、無限小作為一個存在的常量的設(shè)想。

作為無限小量，dy/dx仍是表示在無限小的一段區(qū)間內(nèi)的均量，這與現(xiàn)代極限理論仍然是一致的，把“無限小”看成常量或變量，不改變數(shù)學的真無限的本質(zhì)。

常量無限的哲學錯誤在于，把“無限整體”看成一個固定的數(shù)，把無限當成有限，拋棄了有限無限矛盾(惡無限)，實際上是用靜止而非運動的眼光來看待事物。a和ω就像一個純粹在有限彼岸的無限，與有限(無限進程)沒有內(nèi)在的聯(lián)系，有限、無限分屬于兩個不同的世界，這正是黑格爾、康德所堅決反對的實無限。

3.無論標準、還是非標準實數(shù)模型，都沒有擺脫“惡無限問題”(有限無限矛盾問題)，也就是說惡無限是一個根本問題

實無限論者從來就離不開惡無限。其實，Cantor先生在其集合論中，一直在使用惡無限，比如說，超窮序數(shù)ω的生成過程，從任一普通自然數(shù)n出發(fā)，是到達不了ω的，這就是一個惡無限。也就是說，那些堅持“實無限觀”的數(shù)學家，根本不可能離開惡無限過程?？梢哉f，離開惡無限，就沒有Cantor的集合論。根據(jù)“第二生產(chǎn)原則”(second principle of generation)所生成的新數(shù)ω，這本質(zhì)就是惡無限。而ω純粹在無限進程的彼岸，它無法體現(xiàn)自然數(shù)集N的內(nèi)在本質(zhì)。

惡無限總是存在著。在非標準模型內(nèi)，從有限自然數(shù)n到無限大數(shù)a是不可達的、不連續(xù)的，因為a大于一切有限自然數(shù)，因而，這個過程就是惡無限過程。即使認為從有限自然數(shù)n到a可達的，它們之間存在一個“超有限鏈條”，可是a之后又是什么呢？ 這又是一個惡無限過程。這又變相的回到標準模型在無限遠處的運動情況。所以，對于非標準模型，我們可以稱之為無限遠處、無限小處的標準模型。只是，在標準模型內(nèi)，把“很大或巨大的自然數(shù)”或“充分大的數(shù)”看成是a。這也是為什么，人們證明了標準分析與非標準分析的等價性。

所以黑格爾堅決反對這樣的“實無限”：有限堅持在這邊，無限堅持在那邊，與無限過程沒有任何聯(lián)系。a、ω就是這種典型的“實無限”，有限實數(shù)與無限大是不同的兩個世界的產(chǎn)物，可以把ω看成是一條新直線的起點。

什么是“完成了的無窮”？從來就不是說要完成一個無限過程。在康托看來，這是將一個無限客體表示成一個“數(shù)”的形式，如用ω代表自然數(shù)集N={1,2,3，……}的多少。這是康托、魯濱遜、萊布尼茲的思考，但都沒有離開過惡無限，而且也不可能離開惡無限。用一個數(shù)代表一個無限客體的“大小、多少”，這是他們的夢想，也是他們的良好的愿望或一廂情愿的理想，但總會遇到更大的無限，而且這個過程是沒有止境的，這個過程本身就是一個新的“惡無限”。這種“完成了的無限”(即實無限)只會得到片刻、暫時的安寧，僅僅是片刻的安寧，因為總有更大的無限等待著我們。這種觀念的錯誤在于其強調(diào)靜止而否定運動，但有限無限矛盾永遠存在，靜止是相對的，而運動是絕對的、永恒的。

綜上所評，對各種流派無限思想進行分析、評判，認為無限過程可以完成的實無限觀存在著不可克服的內(nèi)在矛盾。在哲學、數(shù)學層面，黑格爾給出了符合辯證唯物主義思想的“真無限”概念(極限是一種真無限)，集中體現(xiàn)了無限對象內(nèi)在的本質(zhì)和聯(lián)系，這是實無限思想這種較低層次的、主觀的唯心主義的無限觀所無法相比的。我們相信，堅持辯證唯物主義無限觀，一定會給基礎(chǔ)數(shù)學的研究帶來更加光明的未來。因此，正確理解和把握“有限無限矛盾”、正確認識真無限與惡無限，是我們數(shù)學界、哲學界徹底解決“第三次數(shù)學危機”的本質(zhì)所在，對于徹底認識“羅素悖論”的哲學意義也有著極大的指導(dǎo)意義。