方芳 徐偉 李建英

摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生從數(shù)學(xué)角度去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)事實(shí)，做出分析和評(píng)價(jià)。數(shù)學(xué)教學(xué)要注重培養(yǎng)支撐學(xué)生終身發(fā)展的能力、適應(yīng)時(shí)代要求的關(guān)鍵能力，在培養(yǎng)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的過(guò)程中，強(qiáng)化學(xué)生的關(guān)鍵能力培養(yǎng)。以“三角形的中位線”的教學(xué)交流與展示活動(dòng)為例，在培養(yǎng)學(xué)科關(guān)鍵能力、發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)時(shí)，教師可從目標(biāo)、內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、方法、評(píng)價(jià)五個(gè)方面去考慮，并用于指導(dǎo)教學(xué)。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);學(xué)科關(guān)鍵能力;教學(xué)策略;交流

（主持人：方芳）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的關(guān)鍵能力、思維品質(zhì)以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)，是學(xué)生在參與數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中逐步形成和發(fā)展的自身素養(yǎng)。對(duì)于數(shù)學(xué)教育而言，其具有一致性、發(fā)展性。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的總體表現(xiàn)：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界（數(shù)學(xué)抽象）（數(shù)學(xué)的一般性），會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界（邏輯推理）（數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性），會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界（數(shù)學(xué)模型）（應(yīng)用的廣泛性）。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有一致性、發(fā)展性的特征，低學(xué)段更具體、更側(cè)重意識(shí)，而高學(xué)段更一般、更側(cè)重能力。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在初中的表現(xiàn)：（1）數(shù)學(xué)抽象;（2）邏輯推理;（3）數(shù)學(xué)建模;（4）直觀想象;（5）數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)據(jù)分析。

今天，我們研討的主題是“指向?qū)W科關(guān)鍵能力，發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)”，以“三角形的中位線”為例 。

【研討過(guò)程】

首先，歡迎第一小組展示、分享他們對(duì)于這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)的研究：

（李佳發(fā)言）我們的研究思路：教學(xué)目標(biāo)的理論支撐+結(jié)合理論對(duì)這個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)目標(biāo)的分析。

（1）教學(xué)目標(biāo)的功能：導(dǎo)向功能，控制能力，評(píng)估功能。

（2）布魯姆的教育目標(biāo)分類(lèi)學(xué)：認(rèn)知領(lǐng)域，動(dòng)作技能領(lǐng)域，情感領(lǐng)域。

（3）教學(xué)目標(biāo)的三級(jí)指標(biāo)：深遠(yuǎn)性，多維性，針對(duì)性，層級(jí)性，可行性，生成性，反饋性。

接下來(lái)，主要從目標(biāo)的深遠(yuǎn)性、可行性、生成性三個(gè)方面對(duì)“三角形中位線”這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)做一個(gè)分析。

從深遠(yuǎn)性來(lái)看，我組在研討的時(shí)候提出兩個(gè)問(wèn)題。

問(wèn)題1：通過(guò)研究課程標(biāo)準(zhǔn)，分析是否對(duì)整個(gè)初中幾何做過(guò)通盤(pán)的考慮？教學(xué)目標(biāo)放在單元目標(biāo)、課程目標(biāo)的背景下來(lái)看，是否應(yīng)做修改？

（研討回答）：教學(xué)可以、也應(yīng)該從單元目標(biāo)去看問(wèn)題，但最終要回到落實(shí)這節(jié)課的目標(biāo)上來(lái)。

從可行性分析，教學(xué)設(shè)計(jì)的教學(xué)目標(biāo)都有相應(yīng)的具體活動(dòng)或措施加以落實(shí)。

問(wèn)題2：教學(xué)中該如何落實(shí)？

（研討回答）：從教學(xué)的有效性考慮，應(yīng)注重學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)+邏輯結(jié)構(gòu)，定理的探索證明應(yīng)注重“觀察猜想，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，推理證明”的過(guò)程。

課例目標(biāo)與課程標(biāo)準(zhǔn)（探索并證明三角形的中位線定理）、浙教版八年級(jí)下冊(cè)教參目標(biāo)對(duì)比?？紤]到教學(xué)的主體是學(xué)生，因此在寫(xiě)教學(xué)目標(biāo)時(shí)，像“逐步提高學(xué)生能力”“使學(xué)生能……”這樣的描述最好改為“學(xué)生能……”。結(jié)合浙教版課標(biāo)進(jìn)行對(duì)比，課例目標(biāo)可理解為：

（1）學(xué)生能理解三角形中位線的定義，能準(zhǔn)確判別三角形中位線與中線的異同點(diǎn)，初步掌握三角形的中位線定理，運(yùn)用三角形的中位線定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和證明。

（2）學(xué)生在經(jīng)歷探索三角形的中位線定理的過(guò)程，學(xué)會(huì)研究圖形問(wèn)題的一般方法，即“理解概念—猜想性質(zhì)—驗(yàn)證猜想”。

（3）學(xué)生在證明三角形的中位線定理的過(guò)程中，體會(huì)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，提高幾何推理能力，發(fā)展邏輯推理能力。

數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)包括結(jié)果性目標(biāo)和過(guò)程性目標(biāo)。結(jié)果目標(biāo)描述時(shí)用到了“理解”“掌握”“運(yùn)用”等詞，過(guò)程目標(biāo)描述時(shí)用到了“經(jīng)歷”“體會(huì)”“探索”等詞。

與課標(biāo)進(jìn)行對(duì)比分析，課例目標(biāo)中“探索”一詞可理解為兩大方面：一方面是發(fā)現(xiàn)三角形除高線、角平分線、中線之外，還有這么一條連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的重要線段——中位線;另一方面是對(duì)中位線的研究，如位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系。我們通過(guò)觀察、測(cè)量、動(dòng)畫(huà)、剪拼、演繹推理等多種手段實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)——“探索并證明中位線定理”。

教學(xué)目標(biāo)的定位除了符合知識(shí)體系建構(gòu)、教學(xué)達(dá)成度及后續(xù)發(fā)展等需要，還要始終立足于學(xué)生的實(shí)際，根據(jù)學(xué)生的不同情況區(qū)別對(duì)待，根據(jù)教學(xué)實(shí)際及時(shí)調(diào)整。例如，分層走班，可增加課時(shí)，第一節(jié)課準(zhǔn)確記憶、正確理解，第二節(jié)課對(duì)知識(shí)進(jìn)行靈活應(yīng)用。對(duì)程度好的同學(xué)，可以考慮知識(shí)橫縱雙向拓展，類(lèi)比學(xué)習(xí)，思維留白 ，讓學(xué)生帶著問(wèn)題走出課堂。

對(duì)分層后的部分學(xué)生要降低目標(biāo)要求，只要其完成“了解，經(jīng)歷，準(zhǔn)確記憶”就可以了。

以上就是我組從目標(biāo)角度作出的分享，謝謝大家。

（主持人：方芳）第一小組從目標(biāo)的深遠(yuǎn)性、可行性、生成性三個(gè)方面對(duì)課例進(jìn)行了研究，并為我們提供了完成目標(biāo)的策略：要立足于學(xué)生的實(shí)際，根據(jù)學(xué)生的不同情況，區(qū)別對(duì)待;根據(jù)教學(xué)實(shí)際及時(shí)調(diào)整，分層教學(xué)。通過(guò)他們對(duì)此課例的目標(biāo)分析，讓我們更加清晰地認(rèn)識(shí)到，本節(jié)課老師要教什么、學(xué)生要學(xué)什么。接下來(lái)，我們請(qǐng)第二小組展示、分享他們對(duì)于這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容的研究。

（胡亦寧發(fā)言）教學(xué)內(nèi)容的選擇應(yīng)體現(xiàn)以下四個(gè)原則：豐富性、科學(xué)性、關(guān)聯(lián)性和延續(xù)性。

（一）豐富性

教學(xué)內(nèi)容有豐富的來(lái)源途徑，除教科書(shū)之外，還有相關(guān)背景知識(shí)、理論思考、跨學(xué)科知識(shí)等。我們主要從內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)史背景和多版本教材的融合來(lái)闡述。

首先，看內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)史背景。

（1）古巴比倫時(shí)期的數(shù)學(xué)泥板圖上記載著六兄弟分割三角形土地的問(wèn)題：三角形的面積和高已知，三角形是用平行于底邊且間距相等的直線來(lái)分割的。古人已經(jīng)知道，分割三角形的這些平行線段的長(zhǎng)度是按照等差數(shù)列遞增的。這其實(shí)是現(xiàn)代的平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，用中位線來(lái)分割三角形，不過(guò)是其中特殊的問(wèn)題而已。由此可見(jiàn)，古代兩河流域，中位線知識(shí)來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活中的土地或財(cái)產(chǎn)分割，三角形的中位線等于底邊的一半，這一性質(zhì)已經(jīng)為古人所熟知。

（2）公元前三世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中并沒(méi)有直接討論中位線的性質(zhì)，但卷六給出了更一般的命題：將三角形兩腰分割成成比例的線段，則分點(diǎn)連線平行于三角形的底邊。歐幾里得證明該定理的方法是將線段之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形面積之間的關(guān)系，再將三角形面積之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線的位置關(guān)系，蘊(yùn)含著三角形中線平分面積和等積變形。這種方法同樣適用于三角形中位線定理，它體現(xiàn)了三角形中位線和中線的聯(lián)系。

（3）公元三世紀(jì)，中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中通過(guò)割補(bǔ)法來(lái)推導(dǎo)三角形面積公式。由此可以看出，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家已經(jīng)知道中位線與底邊的位置關(guān)系和大小關(guān)系。其實(shí)，這種面積的“割補(bǔ)法”是出入相補(bǔ)原理的應(yīng)用。我們?cè)诂F(xiàn)代的證明當(dāng)中，可以在中位線上做高、做中線、或任取一點(diǎn)與頂點(diǎn)連結(jié)，分別旋轉(zhuǎn)所得到的兩個(gè)小三角形，就可以得到中位線的定理。

其次，看本教學(xué)設(shè)計(jì)是如何將各版本教材進(jìn)行融合的。我們比較了人教版、北師大版和浙教版的教材。

在創(chuàng)設(shè)情境環(huán)節(jié)，三個(gè)版本的課后練習(xí)中都有測(cè)量池塘寬度的實(shí)際問(wèn)題，而浙教版是將它作為節(jié)前語(yǔ)的引例，所以將它作為創(chuàng)設(shè)情境來(lái)引入概念，使學(xué)生能夠從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題。

在探究定義環(huán)節(jié)，只有人教版的教材中有思考“中位線和中線關(guān)系”的環(huán)節(jié)，如此，可以使概念辨析更深刻。

在探究性質(zhì)“猜想—測(cè)量數(shù)據(jù)”環(huán)節(jié)，只有浙教版的“合作學(xué)習(xí)”中有提示學(xué)生用測(cè)量的實(shí)驗(yàn)方法來(lái)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。

在探究性質(zhì)“驗(yàn)證—拼一拼”環(huán)節(jié)，只有北師大版有設(shè)置學(xué)生剪拼三角形成四邊形的活動(dòng)。

由上可見(jiàn)，本教學(xué)內(nèi)容的安排旨在將各版本中的優(yōu)勢(shì)資源融會(huì)貫通，通過(guò)辨析，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣;通過(guò)實(shí)驗(yàn)，滲透數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

（二）學(xué)科性

初中數(shù)學(xué)學(xué)科具有高度的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓约皬V泛的應(yīng)用性。本課教學(xué)內(nèi)容在引入環(huán)節(jié)，從生活實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題;在定理的探究過(guò)程中，從觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證到證明，體現(xiàn)了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评磉^(guò)程;最后，通過(guò)學(xué)以致用，解決了三角形及多邊形問(wèn)題。當(dāng)然，我們也可以應(yīng)用中位線解決生活中的問(wèn)題，這體現(xiàn)了教學(xué)內(nèi)容的廣泛應(yīng)用性。

（三）關(guān)聯(lián)性

（潘苗苗發(fā)言）下面由我來(lái)說(shuō)說(shuō)內(nèi)容的關(guān)聯(lián)性。

（1）從內(nèi)容的編排分析。首先查閱不同版本“三角形的中位線”內(nèi)容的安排，浙教版八年級(jí)下冊(cè)第四章，北師大版八年級(jí)下冊(cè)第六章，人教版八年級(jí)下冊(cè)第十八章......

“三角形的中位線”是屬于三角形的知識(shí)，是三角形的線中繼高線、中線、角平分線之后又一條重要的線段，是對(duì)三角形相關(guān)知識(shí)的進(jìn)一步補(bǔ)充，也是研究?jī)蓷l線段位置與數(shù)量關(guān)系的新踏板。

三角形的中位線起著承上啟下的作用，既是前面所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，為接下來(lái)對(duì)矩形、菱形、正方形的研究，以及后面學(xué)習(xí)梯形中位線、相似三角形奠定學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，因此，它在教材中處于重要地位。

（2）從已學(xué)的內(nèi)容分析?！叭切蔚闹形痪€”的學(xué)習(xí)編排在平行線、全等三角形、平行四邊形之后。在此之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了平行線、全等三角形、平行四邊形、中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，研究了平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理，還有平行線等分線段的定理。三角形中位線的性質(zhì)定理是研究?jī)蓷l線段位置與數(shù)量關(guān)系的重要工具，它的幾何推理和證明需運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理，有些問(wèn)題通過(guò)構(gòu)造中位線的方法可以輕松解決。

（3）從將學(xué)的內(nèi)容分析。了解三角形的中位線的概念，知道三角形的中位線與三角形的中線的區(qū)別。了解三角形的中位線的性質(zhì)定理。探索三角形中位線的性質(zhì)定理的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用。其中，教學(xué)重點(diǎn)是三角形中位線性質(zhì)定理及應(yīng)用，教學(xué)難點(diǎn)是三角形中位線的性質(zhì)定理推證。在教學(xué)中，需要使學(xué)生理解中位線的概念，掌握中位線的性質(zhì)及定理，同時(shí)激發(fā)學(xué)生思考， 提升學(xué)生的探究能力。

（四）延續(xù)性

教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)和選擇還需體現(xiàn)與學(xué)生生活的關(guān)聯(lián)性和延續(xù)性，數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián)，數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)的關(guān)聯(lián)，以凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科的特征。教學(xué)內(nèi)容應(yīng)通過(guò)嵌入學(xué)生熟悉的生活材料或情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為后續(xù)的學(xué)習(xí)提供良性的心理基礎(chǔ)。然后，通過(guò)實(shí)踐應(yīng)用提升知識(shí)價(jià)值，用“三角形的中位線性質(zhì)”解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，服務(wù)于生活”。

（胡亦寧發(fā)言）最后，我們組提出問(wèn)題：三角形中位線性質(zhì)定理的證明方法非常多，教學(xué)中如何取舍？

答1：課堂內(nèi)時(shí)間有限，不同的證明方法可以在課后讓同學(xué)們進(jìn)一步思考。

答2：如果要體現(xiàn)與之前所學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系，結(jié)合結(jié)論中線段與線段的位置和數(shù)量關(guān)系，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化成平行四邊形。

答3：已經(jīng)由猜想得到兩個(gè)結(jié)論，分別從每一個(gè)結(jié)論出發(fā)，從學(xué)生的生成看方法的選擇，讓學(xué)有余力的同學(xué)在課后用更多的方法進(jìn)行證明。

（主持人：方芳）第二小組對(duì)各版本教材進(jìn)行了比較，從豐富性、學(xué)科性、關(guān)聯(lián)性、延續(xù)性四個(gè)方面闡述了他們組對(duì)此課例的教學(xué)內(nèi)容的研究，拓寬了我們的視野，為我們的“三角形的中位線”的教學(xué)提供了更多的素材，指明了方向。接下來(lái)，我們請(qǐng)第三小組展示、分享他們對(duì)于這節(jié)課的教學(xué)結(jié)構(gòu)的研究。

（李建英發(fā)言）各位老師大家好，我們小組的主題是核心素養(yǎng)立意下教學(xué)設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)分析，以“三角形的中位線”為例。我們將從四個(gè)方面來(lái)說(shuō)明：教材的上下位結(jié)構(gòu)，教學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)以及圖形的結(jié)構(gòu)，試圖體現(xiàn)“三角形的中位線”這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)在結(jié)構(gòu)性方面的統(tǒng)整性、轉(zhuǎn)接性和承前性。首先，請(qǐng)我們小組的孫丹妍來(lái)對(duì)教材的上下位結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。

（孫丹妍發(fā)言）我研究的部分是教材的上下位結(jié)構(gòu)?！叭切蔚闹形痪€”位于浙教版八年級(jí)下冊(cè)第四章“平行四邊形”第五節(jié)。此前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的初步知識(shí)、平行四邊形的性質(zhì)及判定和中心對(duì)稱，有了研究圖形問(wèn)題的基本方法思路：定義→判定→性質(zhì)。三角形中位線的學(xué)習(xí)是對(duì)三角形相關(guān)知識(shí)的進(jìn)一步補(bǔ)充，也是研究?jī)蓷l線段位置與數(shù)量關(guān)系的新踏板。三角形中位線的性質(zhì)在今后的幾何推理和證明中將時(shí)有出現(xiàn)，有些問(wèn)題通過(guò)構(gòu)造中位線的方法可以輕松解決。例如，在八年級(jí)下冊(cè)5.2“菱形”第二課時(shí)的作業(yè)題、九年級(jí)上冊(cè)3.5“圓周角”第二課時(shí)的作業(yè)題、九年級(jí)下冊(cè)4.4“兩個(gè)三角形相似的判定”第二課時(shí)的作業(yè)題中，都有對(duì)三角形中位線的運(yùn)用。另外，在2020年杭州市數(shù)學(xué)中考卷第23題和2018年杭州市數(shù)學(xué)中考卷第10題也要用到三角形的中位線。收集完以上信息，針對(duì)三角形中位線在教材中所處的位置，我有以下問(wèn)題：（1）三角形三線的有關(guān)知識(shí)在八年級(jí)上冊(cè)第一章，為什么三角形的中位線要在八年級(jí)下冊(cè)才學(xué)習(xí)？（2）為什么教材選擇利用平行四邊形的性質(zhì)來(lái)解決中位線性質(zhì)的證明？（3）中位線在幾何圖形中處于怎樣的地位？以上就是我對(duì)教材上下位結(jié)構(gòu)的想法，希望各位老師能夠?yàn)槲掖鹨山饣?，謝謝！

（楊衛(wèi)紅發(fā)言）學(xué)生在接觸新知識(shí)時(shí)，都需要經(jīng)歷這樣四個(gè)階段：感知階段，屬于學(xué)生初步探索知識(shí)的過(guò)程，即從概念產(chǎn)生的具體背景到初步領(lǐng)會(huì)知識(shí)的目的;理解階段，是指讓學(xué)生對(duì)本節(jié)課的主要內(nèi)容有一個(gè)清晰的理解;鞏固階段，是指鞏固新學(xué)的知識(shí)，回憶定理的證明思路，初步應(yīng)用定理解決問(wèn)題;使用階段，是指使用新學(xué)的知識(shí)，既能解決包含新知識(shí)的計(jì)算、證明、作圖等問(wèn)題，又能聯(lián)系新知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。對(duì)于“感知”階段的教學(xué)，其著眼點(diǎn)是新課的引入，引入好，就能將學(xué)生的注意力牢牢地吸引住，就能激發(fā)學(xué)生的求知欲望，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。對(duì)于“理解”階段的教學(xué)，教師需精心設(shè)計(jì)講授的序列關(guān)系，對(duì)于新知識(shí)，要針對(duì)學(xué)生實(shí)際，注意循序漸進(jìn)、由淺入深、由易到難等方法，做到重點(diǎn)突出、難度恰當(dāng)。對(duì)于“鞏固”階段的教學(xué)，重點(diǎn)是抓訓(xùn)練，訓(xùn)練的題目選擇要有典型性、代表性和思維性，題目的呈現(xiàn)形式可以是題組形式，解題時(shí)須注重一題多解。對(duì)于“使用”階段的教學(xué)屬于深化知識(shí)，是高級(jí)階段的教學(xué)程序，重點(diǎn)應(yīng)放在學(xué)生高階思維能力的培養(yǎng)上。

（李建英發(fā)言）教師不僅僅是研究教材，更重要的是研究學(xué)生，用學(xué)生的眼光來(lái)研讀教材。所以，我想跟大家研討的是在學(xué)習(xí)“三角形的中位線”這節(jié)課前學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以及在學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的變化和重整。課前，我對(duì)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的理解是對(duì)于相關(guān)內(nèi)容的知識(shí)結(jié)構(gòu)。通過(guò)七年級(jí)兩章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)搭建了這樣的知識(shí)結(jié)構(gòu)，八年級(jí)上冊(cè)通過(guò)第1章、第2章的學(xué)習(xí)又搭建了這個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)，直到八年級(jí)下學(xué)習(xí)了平行四邊形。在學(xué)生學(xué)習(xí)完平行四邊形后來(lái)學(xué)習(xí)三角形的中位線，從學(xué)習(xí)的知識(shí)結(jié)構(gòu)看，比較突兀，我們應(yīng)將它納入三角形的體系還是平行四邊形的體系呢？所以，我想跟大家研討的是：為什么把中位線放在平行四邊形之后？中位線的內(nèi)容之后緊接著安排了“反證法”，這樣的編排有何深意？我自己在教學(xué)的過(guò)程中始終無(wú)法引導(dǎo)學(xué)生將內(nèi)容的出現(xiàn)合理化。

激活教學(xué)內(nèi)容是形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵。我去查閱文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)中位線的學(xué)習(xí)基本沿著“猜想—實(shí)驗(yàn)—證明—應(yīng)用”這樣的思路，不過(guò)在引入研究對(duì)象時(shí)各有不同，大致有這樣四種：（1）從三角形的三線入手;（2）從畫(huà)一畫(huà)、實(shí)驗(yàn)操作入手;（3）從實(shí)際情境入手;（4）從平行四邊形入手。哪一種引入的方式更有利于學(xué)生構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)呢？

（主持人：方芳）第三小組從教材的上下位結(jié)構(gòu)、教學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)、學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)以及圖形的結(jié)構(gòu)四個(gè)方面，對(duì)此課例的教學(xué)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了深入的研究，讓我們體會(huì)到“三角形的中位線”不是獨(dú)立的，而是具有承上啟下的重要地位，在平時(shí)的教學(xué)中要注重知識(shí)的關(guān)聯(lián)性和延續(xù)性。接下來(lái)，我們請(qǐng)第四小組展示、分享他們的對(duì)于這節(jié)課的教學(xué)方法的研究。

（沈曉音發(fā)言）課堂教學(xué)方法主要分為教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”。教師的教法主要有以下幾種。

（1）講授法。講授法是教師通過(guò)口頭語(yǔ)言向?qū)W生傳授知識(shí)的方法。教師運(yùn)用各種教學(xué)方法進(jìn)行教學(xué)時(shí)，大都伴之以講授法。這是當(dāng)前最經(jīng)常使用的一種教學(xué)方法。

（2）談?wù)摲?。談?wù)摲ㄒ嘟袉?wèn)答法，它是教師按一定的教學(xué)要求向?qū)W生提出問(wèn)題，要求學(xué)生回答，并通過(guò)問(wèn)答的形式來(lái)引導(dǎo)學(xué)生獲取或鞏固知識(shí)的方法。（談?wù)摲ㄌ貏e有助于激發(fā)學(xué)生的思維，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)他們的獨(dú)立思考和語(yǔ)言表述能力）

（3）演示法。演示教學(xué)是教師在教學(xué)時(shí)，把實(shí)物或直觀教具展示給學(xué)生看，或者做示范性的實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生通過(guò)實(shí)際觀察獲得感性知識(shí)，以說(shuō)明和印證所傳授知識(shí)的方法。（演示教學(xué)能使學(xué)生獲得生動(dòng)而直觀的感性知識(shí)，加深對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象的印象，把書(shū)本上的理論知識(shí)和實(shí)際事物聯(lián)系起來(lái)，形成正確而深刻的概念）

（4）練習(xí)法。練習(xí)法是學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，依靠自覺(jué)的控制和校正，反復(fù)地完成一定的動(dòng)作或活動(dòng)，借以形成技能、技巧或行為習(xí)慣的教學(xué)方法。練習(xí)在各科教學(xué)中得到廣泛的應(yīng)用，尤其是工具性學(xué)科（如語(yǔ)文、外語(yǔ)、數(shù)學(xué)等）和技能性學(xué)科（如體育、音樂(lè)、美術(shù)等）。練習(xí)法對(duì)于鞏固知識(shí)、引導(dǎo)學(xué)生把知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際、發(fā)展學(xué)生的能力以及形成學(xué)生的道德品質(zhì)等具有重要的作用。

（5）讀書(shū)指導(dǎo)法。讀書(shū)指導(dǎo)法是教師指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)閱讀教科書(shū)、參考書(shū)來(lái)獲取知識(shí)或鞏固知識(shí)的方法。學(xué)生掌握書(shū)本知識(shí)固然有賴于教師的講授，但還必須靠他們自己去閱讀、領(lǐng)會(huì)，才能消化、鞏固和擴(kuò)展知識(shí)。學(xué)生只有通過(guò)獨(dú)立閱讀，才能掌握讀書(shū)方法，提高自學(xué)能力，養(yǎng)成良好的讀書(shū)習(xí)慣。

（6）課堂討論法。課堂討論法是在教師的指導(dǎo)下，針對(duì)教材中的基礎(chǔ)理論或主要疑難問(wèn)題，在學(xué)生獨(dú)立思考之后，共同進(jìn)行討論、辯論的教學(xué)組織形式及教學(xué)方法，可以全班進(jìn)行，也可分組進(jìn)行。

（7）實(shí)驗(yàn)法。實(shí)驗(yàn)法是學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，使用一定的設(shè)備和材料，通過(guò)控制條件的操作過(guò)程，引起實(shí)驗(yàn)對(duì)象的某些變化，從觀察這些現(xiàn)象的變化中獲取新知識(shí)或驗(yàn)證知識(shí)的教學(xué)方法。在科學(xué)學(xué)科的教學(xué)中，實(shí)驗(yàn)是一種重要的方法。

（8）啟發(fā)法。啟發(fā)教學(xué)可以由一問(wèn)一答、一講一練的形式來(lái)體現(xiàn);也可以通過(guò)教師的生動(dòng)講述使學(xué)生產(chǎn)生聯(lián)想，留下深刻印象而實(shí)現(xiàn)。啟發(fā)性是一種對(duì)各種教學(xué)方法和教學(xué)活動(dòng)都具有指導(dǎo)意義的教學(xué)思想，啟發(fā)式教學(xué)法就是貫徹啟發(fā)性教學(xué)思想的教學(xué)法。

（9）實(shí)習(xí)法。實(shí)習(xí)法就是教師根據(jù)教學(xué)的要求，在校內(nèi)外組織學(xué)生開(kāi)展實(shí)際的學(xué)習(xí)操作活動(dòng)，將書(shū)本知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際的一種教學(xué)方法。這種方法能很好地體現(xiàn)理論與實(shí)際相結(jié)合的精神，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，特別是實(shí)際操作本領(lǐng)具有重要意義。

（實(shí)習(xí)法，在自然科學(xué)各門(mén)學(xué)科和職業(yè)教育中占有重要的地位。這種方法和實(shí)驗(yàn)方法比較起來(lái)，雖有很多類(lèi)似的地方，但它在讓學(xué)生獲得直接知識(shí)，驗(yàn)證和鞏固所學(xué)的書(shū)本知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生從事實(shí)際工作的技能和技巧等方面有著特殊的作用。）

學(xué)生常用的學(xué)習(xí)方法有：觀察法、學(xué)思結(jié)合法、讀寫(xiě)結(jié)合法、學(xué)練結(jié)合法、合作探究法、發(fā)現(xiàn)法、質(zhì)疑法等。

教師對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，主要可以從學(xué)習(xí)計(jì)劃、預(yù)習(xí)、聽(tīng)課、復(fù)習(xí)、作業(yè)、考試、檢查、總結(jié)、課外學(xué)習(xí)等方面進(jìn)行指導(dǎo)。

教學(xué)有法，但無(wú)定法。上好一堂課，并不是單獨(dú)采用某一方法，而是根據(jù)知識(shí)特點(diǎn)和學(xué)生特點(diǎn)，采用多種方法進(jìn)行教學(xué)。“教”必須通過(guò)“學(xué)”才得以實(shí)現(xiàn)，教學(xué)方式的最終目的是轉(zhuǎn)化為適切與有效的學(xué)生學(xué)習(xí)方式，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)方式的主動(dòng)化和多樣性，并表現(xiàn)為學(xué)生學(xué)習(xí)策略水平的提高。

本課“三角形的中位線”的教學(xué)過(guò)程有五個(gè)環(huán)節(jié)：第一，通過(guò)問(wèn)題的創(chuàng)設(shè)，老師用啟發(fā)法引導(dǎo)學(xué)生用觀察法、質(zhì)疑法和發(fā)現(xiàn)法引出本堂課課題。第二，探究定義環(huán)節(jié)，教師用啟發(fā)法、讀書(shū)指導(dǎo)法、談?wù)摲?、演示法，學(xué)生用學(xué)思結(jié)合法鞏固對(duì)中位線概念的理解。第三，探究性質(zhì)環(huán)節(jié)，教師用啟發(fā)法、演示法、實(shí)驗(yàn)法、課堂討論法、談?wù)摲?，學(xué)生用合作探究法得出添加輔助線的方法，把三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形進(jìn)行證明。在這個(gè)過(guò)程中，教師課堂講授精練、清晰和富有條理性，給學(xué)生充分思考的時(shí)間，關(guān)注了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，還采用表格的方式幫助學(xué)生掌握教學(xué)內(nèi)容。這些都說(shuō)明了教法上的適宜性。第四，學(xué)以致用環(huán)節(jié)，主要以教師的練習(xí)法、學(xué)生的學(xué)練結(jié)合法來(lái)深化理解三角形中位線知識(shí)，強(qiáng)化三角形中位線定理的應(yīng)用。最后的總結(jié)提升環(huán)節(jié)，以學(xué)思結(jié)合法更好地使知識(shí)系統(tǒng)化、條理化。在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，老師了解多種教學(xué)方法的特性和運(yùn)用特點(diǎn)，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的需要靈活多變，說(shuō)明教法的適宜性和多樣性。

總體來(lái)說(shuō)，本節(jié)課遵循以教師為主導(dǎo)、以學(xué)生為主體、以探究為主線的教學(xué)原則。義務(wù)教育大綱明確指出：“教學(xué)過(guò)程也是學(xué)生的認(rèn)識(shí)過(guò)程，只有學(xué)生積極地參與教學(xué)活動(dòng)，才能收到良好的效果。教師應(yīng)著眼于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性?！备鶕?jù)學(xué)生的年齡、性格、心理特征，教師采用多種教學(xué)方法來(lái)調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，學(xué)生在自主探索與合作交流的基礎(chǔ)上提高學(xué)習(xí)興趣、增強(qiáng)信心、培養(yǎng)和發(fā)展能力。

（主持人：方芳）“教學(xué)有法，但無(wú)定法，貴在得法，智在用法。”第四小組從教法和學(xué)法兩方面對(duì)此課例進(jìn)行了研究，讓我們認(rèn)識(shí)到在教學(xué)中要靈活運(yùn)用教法和學(xué)法，要善于架起文本與學(xué)生之間的橋梁，將學(xué)法有效地融入教法之中，使課堂煥發(fā)生機(jī)。接下來(lái)，我們請(qǐng)第五小組展示、分享他們的對(duì)于這節(jié)課的教學(xué)方法的研究。

（童衛(wèi)華發(fā)言）我們將從如下四個(gè)方面對(duì)本教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行評(píng)價(jià)。

（一）創(chuàng)設(shè)情境——妙

本教學(xué)設(shè)計(jì)采用了實(shí)際問(wèn)題——測(cè)量位于池塘兩端AB的距離，發(fā)現(xiàn)直接測(cè)量不方便。另一位同學(xué)給出了測(cè)量方法。

首先，以生活實(shí)際引入課題。這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。同時(shí)，落實(shí)了數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)培養(yǎng)要求。

其次，引而不發(fā)，以疑激趣。題中給了方法，但沒(méi)有給出具體的結(jié)論。測(cè)量出了MN的長(zhǎng)，怎么就能知道AB的長(zhǎng)呢？這里既包含了轉(zhuǎn)化，又蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)猜想：它們之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？同時(shí)結(jié)合圖形，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

再次，提供變式，數(shù)學(xué)生長(zhǎng)。數(shù)學(xué)教學(xué)離不開(kāi)變式的教學(xué)。在導(dǎo)入中，如果將題中的M，N是中點(diǎn)變式成CM= ? CA，CN= ? CB;CM= ? ?CA，CN= ? ?CB，是否也能測(cè)量出AB的長(zhǎng)度？為今后平行線截線段成比例定理、相似三角形的判定做好了鋪墊，使空間與圖形的學(xué)習(xí)內(nèi)容更能“前后一致，邏輯連貫”?？梢钥闯觯瑒?chuàng)設(shè)情境部分構(gòu)思精妙。

（二）探索定義——準(zhǔn)

數(shù)學(xué)幾何教學(xué)離不開(kāi)概念的教學(xué)。從情境中，學(xué)生得到了中位線的印象。教師結(jié)合書(shū)本給出了中位線的定義之后，又通過(guò)以下三個(gè)問(wèn)題組成問(wèn)題串：三角形有幾條中位線？中位線怎么理解？中位線與中線有什么區(qū)別？這些問(wèn)題層層深入，有助于學(xué)生精準(zhǔn)理解概念。同時(shí)，在邏輯上與三角形的其他三條重要線段（角平分線，高線，中線）完美對(duì)應(yīng)。這樣既培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的學(xué)習(xí)習(xí)慣，又發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。

（三）探索性質(zhì)猜想部分——實(shí)

在明確了中位線的概念后，著手探究中位線的性質(zhì)，教師通過(guò)觀察演示、測(cè)量數(shù)據(jù)、動(dòng)畫(huà)演示三個(gè)環(huán)節(jié)，完成數(shù)學(xué)猜想——三角形中位線的性質(zhì)。三個(gè)環(huán)節(jié)，環(huán)環(huán)相扣，逐步深入。

通過(guò)觀察演示，學(xué)生初步得到中位線與第三邊的關(guān)系。觀察演示環(huán)節(jié)發(fā)展了學(xué)生幾何直觀的核心素養(yǎng)，為之后的測(cè)量數(shù)據(jù)做好了鋪墊。動(dòng)手測(cè)量環(huán)節(jié)，采取小組合作匯報(bào)的形式，分工明確，完成幾個(gè)特例的實(shí)際測(cè)量。在測(cè)量中，教師充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性、參與性，培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手能力，進(jìn)一步明確了中位線的性質(zhì)。最后是動(dòng)畫(huà)演示，通過(guò)幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)演示，演練了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，實(shí)現(xiàn)了由少數(shù)特例猜想到大多數(shù)歸納（不完全歸納法）的思維跨越。在動(dòng)畫(huà)演示過(guò)程中，出現(xiàn)了許許多多的三角形，將其中兩個(gè)三角形拼在一起，組成了作業(yè)以及測(cè)試、考試中出現(xiàn)的圖例，豐富了學(xué)生認(rèn)知。整個(gè)探索過(guò)程充分、有實(shí)效，數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)得到落實(shí)。

（四）探索性質(zhì)證明部分——巧

通過(guò)猜想環(huán)節(jié)，學(xué)生明確了三角形的中位線與第三邊之間既有數(shù)量關(guān)系，又有位置關(guān)系。那么，在學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，既有位置關(guān)系又有數(shù)量關(guān)系的模型非平行四邊形莫屬。如何將三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形呢？教師煞費(fèi)苦心，精心鋪墊，通過(guò)剪一剪、拼一拼，把三角形紙片剪拼成平行四邊形，在拼圖中尋找靈感，找到突破口——旋轉(zhuǎn)。拼剪與證明相呼應(yīng)，設(shè)計(jì)精巧，突破教學(xué)難點(diǎn)的同時(shí)，落實(shí)了邏輯推理的核心素養(yǎng)培養(yǎng)要求。在證明后，及時(shí)小結(jié)：在解決平行四邊形的問(wèn)題時(shí)，通?？梢赃B接對(duì)角線轉(zhuǎn)化為兩個(gè)全等的三角形進(jìn)行解決;現(xiàn)在研究三角形也可以把它轉(zhuǎn)化成四邊形來(lái)研究，從而實(shí)現(xiàn)圖形之間完美的轉(zhuǎn)化。數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想得到進(jìn)一步的體現(xiàn)。

（五）學(xué)以致用——美

首先是圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言完美地結(jié)合在一起，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，明確了符號(hào)語(yǔ)言的表述，規(guī)范了學(xué)生的幾何表達(dá)。這樣的教學(xué)符合八年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，使其由具體形象思維發(fā)展為抽象邏輯思維。在此發(fā)展過(guò)程中，教師的示范必不可少。

其次，按照“理解—掌握—運(yùn)用”的邏輯順序，設(shè)置了三個(gè)梯度的習(xí)題，深化理解三角形中位線知識(shí)，強(qiáng)化三角形中位線定理的應(yīng)用，讓學(xué)生體會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的樂(lè)趣與成功感 。

總之，本堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)，情境導(dǎo)入設(shè)計(jì)巧妙，探索過(guò)程注重實(shí)效，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和身心發(fā)展規(guī)律，兼顧知識(shí)的上下結(jié)構(gòu);同時(shí)，處處蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（主持人：方芳）感謝第五小組的分享。評(píng)價(jià)的主要目的是為了全面了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程，激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)和改進(jìn)教師教學(xué)，建立評(píng)價(jià)主體多元化和評(píng)價(jià)方法多樣化的評(píng)價(jià)體系，以學(xué)促教。

通過(guò)研討，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生從數(shù)學(xué)角度去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)事實(shí)，做出分析和評(píng)價(jià)。我們的教學(xué)要注重培養(yǎng)支撐學(xué)生終身發(fā)展的能力、適應(yīng)時(shí)代要求的關(guān)鍵能力，在培養(yǎng)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的過(guò)程中，強(qiáng)化學(xué)生的關(guān)鍵能力培養(yǎng)。借助此課例研究，我們今后的教學(xué)可從目標(biāo)、內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、方法、評(píng)價(jià)五個(gè)方面去考慮，并指導(dǎo)我們的教學(xué)。

參考文獻(xiàn)：

[1]張雪萍.讓數(shù)學(xué)與生活比翼齊飛：探討小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)生活化情境的創(chuàng)設(shè)[J].學(xué)周刊，2019（15）.

（責(zé)任編輯：奚春皓）