李雪，周長城*，于曰偉，張云山，歐學(xué)昊

(1.山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院， 山東 淄博 255000；2.山東汽車彈簧廠淄博有限公司， 山東 淄博 255000)

0 引言

隨著汽車輕量化政策的實施，少片變截面鋼板彈簧已經(jīng)廣泛應(yīng)用到汽車上。實際車輛為了滿足懸架剛度的設(shè)計要求，通常所采用的少片變截面鋼板彈簧的拋物線段的坐標(biāo)原點不在力的作用點上，而是與力的作用點存在一定的坐標(biāo)偏移量，即少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧。據(jù)所查文獻(xiàn)可知，先前對少片變截面鋼板彈簧的撓度、剛度及應(yīng)力的解析計算一直未給出可靠的解析計算公式，均未考慮到拋物線段坐標(biāo)偏移量及其影響，因此，設(shè)計值與實際值存在較大偏差，難以滿足少片變截面板簧數(shù)字化設(shè)計和生產(chǎn)的要求。

目前，國內(nèi)外大多采用有限元仿真分析法、多體動力學(xué)仿真分析法和試驗法等對少片變截面鋼板彈簧的力學(xué)特性進(jìn)行研究[1-3]。其中，葉南海等[4]通過建立有限元模型，利用ANSYS仿真與實驗結(jié)果對比，分析了摩擦因數(shù)對少片變截面鋼板彈簧剛度以及應(yīng)力的影響；呂新飛和莫立庸等[5]利用Solidworks、ANSYS軟件對鋼板彈簧進(jìn)行有限元分析，得到鋼板彈簧在不同工作狀況下的應(yīng)力分布狀況；唐應(yīng)時和柴天等[6]利用有限元法對鋼板彈簧的預(yù)應(yīng)力進(jìn)行計算，并通過調(diào)整各片板簧的自由弧高和自由曲率半徑對各片板簧的預(yù)應(yīng)力進(jìn)行調(diào)整，提高了板簧的使用壽命；文獻(xiàn)[7-9]基于解析計算和ANSYS仿真分析，對少片變截面鋼板彈簧的剛度及應(yīng)力特性進(jìn)行了相關(guān)研究；文獻(xiàn)[10-13]采用CAE建模仿真和板簧臺架試驗，對少片變截面鋼板彈簧的力學(xué)特性進(jìn)行了對比分析。然而，上述研究方法都是基于少片變截面鋼板彈簧的拋物線段的坐標(biāo)原點在力的作用點的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，均沒有考慮拋物線段坐標(biāo)偏移量的影響。對于存在坐標(biāo)偏移量的非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧尚沒有準(zhǔn)確可靠的剛度以及應(yīng)力的解析計算方法，不能為少片變截面鋼板彈簧的智能化生產(chǎn)提供可靠的理論支撐，也阻礙了鋼板彈簧產(chǎn)業(yè)的智能化升級進(jìn)程。

本文根據(jù)單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的力學(xué)模型，利用莫爾積分，建立了變形、剛度的解析計算公式，并分析了坐標(biāo)偏移量x0對板簧結(jié)構(gòu)及力學(xué)特性的影響；在此基礎(chǔ)上，根據(jù)少片簧與各片板簧之間的剛度與載荷及應(yīng)力之間的關(guān)系，建立了少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的變形、剛度和應(yīng)力的解析計算公式。最后，通過實例，進(jìn)行了仿真驗證和實驗驗證。

1 單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的剛度及應(yīng)力的解析計算

1.1 單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的結(jié)構(gòu)以及力學(xué)模型

將單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的一半等效為懸臂梁，在卷耳中心位置施加垂向載荷，與車軸固定連接的位置為固定端約束，忽略卷耳部分，端部的起始點為非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的卷耳中心。由于板簧的端部厚度變化較小，將其近似看作等厚的平直段，端部的有效長度取卷耳中心到拋物線端部的跨度。由于鋼板彈簧中間平直段受U型螺栓夾緊的影響，在計算時，取其長度的一半作為有效長度。基于以上假設(shè)，建立單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧一半對稱結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型，如圖1所示。

圖1 單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧一半對稱結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型Fig.1 Half of the mechanical model of the symmetrical structure of the single-chip nonstandard parabolic tapered leaf spring

圖1中，板簧的根部到自由端的總長度為L，端部平直段的長度為l1，板簧拋物線段根部到自由端的長度為l2，根部平直段長度為l3，l3的長度取決于車軸的安裝尺寸；根部平直段的厚度為h2，端部平直段的厚度為h1，拋物線段厚度比為β，其中β=h1/h2；板簧的寬度為b，彈性模量為E。在板簧的自由端施加集中力F，其大小為整簧承受載荷的一半。

① 拋物線段在理論坐標(biāo)下的坐標(biāo)偏移量x0

以板簧的自由端O為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系，拋物線段的理論坐標(biāo)原點為OT，板簧自由端O與拋物線段的理論坐標(biāo)原點OT之間的距離為拋物線段的坐標(biāo)偏移量x0。利用在理論坐標(biāo)系OT下，拋物線段的根部和端部到理論坐標(biāo)原點的距離l2+x0和l1+x0之間的關(guān)系，可得拋物線段的坐標(biāo)偏移量x0為

(1)

② 拋物線段在原坐標(biāo)x位置的厚度h(x)

根據(jù)拋物線段根部厚度h2、拋物線段的根部到板簧自由端的長度l2、端部平直段的長度l1及坐標(biāo)偏移量x0，可建立板簧拋物線段在原坐標(biāo)下的厚度h(x)表達(dá)式，即

(2)

1.2 單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧變形及剛度的解析計算

根據(jù)單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧一半對稱結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型，利用莫爾積分可知，板簧在端部集中力F作用下的端部撓度可表示為

(3)

對式(3)進(jìn)行積分運(yùn)算并整理，可得單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧端部撓度的解析計算式為

(4)

式中，GD為單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的端部撓度系數(shù)，且

由式(4)可知單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的剛度為

(5)

1.3 單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧應(yīng)力的解析計算

根據(jù)圖1所示的單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧一半對稱結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型，當(dāng)板簧端部受到集中力作用時，由材料力學(xué)可知，板簧在任意x位置處的應(yīng)力為

(6)

式中，M(x)為板簧任意x位置處承受的彎矩，且M(x)=Fx；W(x)為任意x位置處的抗彎截面系數(shù)，W(x)=bh2(x)/6，h(x)為不同位置x處板簧的厚度。

因此，整理式(6)，可得單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧在任意x位置處的應(yīng)力解析計算式為

(7)

2 單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧拋物線段坐標(biāo)偏移量x0的影響分析

由式(2)、式(4)、式(5)和式(7)可知，拋物線段的坐標(biāo)偏移量對板簧的厚度、剛度、變形及應(yīng)力有重要影響。以某單片變截面板簧為例，分析拋物線段坐標(biāo)偏移量x0對板簧自身結(jié)構(gòu)和力學(xué)特性的影響規(guī)律。其原始結(jié)構(gòu)參數(shù)為：板簧寬度b=80 mm，作用長度L=550 mm，根部平直段的長度l3=50 mm，拋物線段的根部至自由端的長度l2=500 mm，板簧的根部厚度為h2=20 mm，拋物線段的厚度比為β=0.4。板簧端部所受集中力F=1 000 N，彈性模量E=206 GPa。

2.1 坐標(biāo)偏移量x0對拋物線段厚度的影響分析

根據(jù)單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的厚度表達(dá)式，繪制不同坐標(biāo)偏移量x0下板簧厚度隨位置的變化規(guī)律曲線，如圖2所示。

圖2 不同坐標(biāo)偏移量x0下板簧厚度的變化規(guī)律曲線Fig.2 Thickness curve of the leaf spring under different coordinate offsets x0

分析圖2可知，當(dāng)作用長度L，寬度b，根部平直段長度l3以及根部厚度h2確定時，坐標(biāo)偏移量x0對于板簧的根部平直段和端部平直段的厚度沒有影響；當(dāng)x0越大，同一位置處，板簧拋物線段的厚度越大，其中x0對于近端部的拋物線段的厚度影響最大；除此之外，隨x0增大板簧端部區(qū)間長度減小，拋物線段區(qū)間長度增大。

2.2 坐標(biāo)偏移量x0對板簧剛度和撓度的影響分析

當(dāng)坐標(biāo)偏移量x0在一定范圍內(nèi)變化時，其對板簧剛度和板簧撓度均產(chǎn)生一定影響。根據(jù)單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧剛度、撓度的解析計算式，分別繪制板簧剛度、撓度隨坐標(biāo)偏移量x0的變化規(guī)律曲線，分別如圖3、圖4所示。

據(jù)圖3、圖4可知，當(dāng)其他參數(shù)相同時，坐標(biāo)偏移量x0對板簧的剛度和撓度均有重要影響。其中，板簧的剛度隨著坐標(biāo)偏移量x0的增大而增大，且整體呈現(xiàn)非線性變化；板簧的撓度隨著坐標(biāo)偏移量x0的增大而減小，整體也呈現(xiàn)非線性變化。

圖3 板簧剛度隨坐標(biāo)偏移量x0的變化規(guī)律曲線Fig.3 Stiffness curve of the leaf spring with coordinate offset x0

圖4 板簧撓度隨坐標(biāo)偏移量x0的變化規(guī)律曲線Fig.4 Deflection curve ofthe leaf spring with coordinate offset x0

2.3 坐標(biāo)偏移量x0對板簧應(yīng)力特性的影響分析

根據(jù)單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的應(yīng)力計算式，利用Matlab軟件繪制不同坐標(biāo)偏移量x0下應(yīng)力隨位置的變化規(guī)律曲線，如圖5所示。

由圖5可知，單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的應(yīng)力，在其端部平直段和根部平直段，隨長度x的增大呈線性增大趨勢；當(dāng)x0=0時，板簧拋物線段呈等應(yīng)力變化，最大應(yīng)力出現(xiàn)在在板簧根部；當(dāng)x0>0時，拋物線段不再呈現(xiàn)等應(yīng)力變化，而是隨長度x的增大而增大且總體上呈現(xiàn)非線性變化，且隨著x0增大，其端部平直段區(qū)間長度減小，拋物線段區(qū)間長度增加，最大應(yīng)力出現(xiàn)在板簧根部。而當(dāng)x0<0時，拋物線段的應(yīng)力，隨長度x的增大而減小且總體上呈現(xiàn)非線性變化，且隨著x0增大，其端部平直段區(qū)間長度減小，拋物線段區(qū)間長度增加，最大應(yīng)力出現(xiàn)在板簧的根部或者拋物線段的端部處，這與x0的取值有關(guān)。

圖5 不同坐標(biāo)偏移量x0下應(yīng)力隨位置的變化規(guī)律曲線Fig.5 Stress curve with position under different coordinate offset x0

根據(jù)其應(yīng)力計算式，繪制拋物線段和根部平直段的最大應(yīng)力隨坐標(biāo)偏移量x0的變化規(guī)律曲線，如圖6所示，其中，虛線代表板簧根部平直段的最大應(yīng)力，實線代表板簧拋物線段的最大應(yīng)力。

圖6 板簧的最大應(yīng)力隨坐標(biāo)偏移量x0的變化規(guī)律曲線

根據(jù)圖6可知，板簧拋物線段的最大應(yīng)力隨著x0的增大而減小，且整體呈現(xiàn)線性變化。當(dāng)板簧拋物線段最大應(yīng)力與根部的最大應(yīng)力相等，即σ2max=σ3max時，此時拋物線段的坐標(biāo)偏移量為

因此，當(dāng)x0x00時，其最大應(yīng)力出現(xiàn)在板簧根部，即x=L處；當(dāng)坐標(biāo)偏移量x0=x00時，非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的拋物線段與根部平直段的最大應(yīng)力相等，此時x=l1、x=L處均為該板簧的最大應(yīng)力位置。

3 少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧剛度及應(yīng)力的解析計算

3.1 少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧剛度及撓度的解析計算

少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧是由單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧疊加而成，其一半對稱結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型如圖7所示。板簧的片數(shù)為n，一般2≤n≤5，板簧的寬度為b，彈性模量為E，各片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的端部厚度為hi1，根部厚度為hi2，拋物線段的厚度比βi=hi1/hi2板簧的根部到自由端的總長度為L。端部平直段的長度為li1，l2為拋物線段根部到自由端的長度，l3為根部平直段的長度，各片板簧拋物線段的坐標(biāo)偏移量為xi0=(l2βi2-li1)/(1-βi2)，板簧端點集中力為F。

圖7 少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧一半對稱結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型Fig.7 Half of the mechanical model of the symmetrical structure of the few-chip nonstandard parabolic tapered leaf spring

由式(5)可知，少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧各片的剛度為

(8)

式中，GDi為各片板簧的端部撓度系數(shù)，即

因此，少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的總剛度可表示為

(9)

根據(jù)撓度與剛度的關(guān)系式，可求得少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧端部的變形為

(10)

由各片板簧承擔(dān)的載荷之和等于總載荷，端部變形等于總變形，易求得各片板簧承擔(dān)的載荷為

(11)

3.2 少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧應(yīng)力的解析計算

根據(jù)少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧各片的剛度和載荷之間關(guān)系，由式(7)和式(11)，可得各片板簧任意x位置處的應(yīng)力解析計算式為

(12)

4 實例計算與ANSYS仿真驗證

4.1 實例參數(shù)

已知某款車型前懸架板簧的片數(shù)為n=3，板簧寬度b=80 mm，彈性模量E=206 GPa。板簧的作用長度L=550 mm，根部平直段的長度l3=50 mm，拋物線段的根部至自由端的長度l2=500 mm，端部平直段的長度分別為l11=110 mm、l21=l31=90 mm。板簧根部平直段的厚度為hi2=15 mm，端部平直段的厚度分別為h11=7.5 mm、h21=h31=6 mm；各片板簧拋物線段的厚度比分別為β1=7.5/15=0.5、β2=β3=6/15=0.4；板簧端部所受的集中載荷為F=8 250 N。

4.2 實例計算

圖8 第1片板簧應(yīng)力變化曲線圖Fig.8 Stress curve of the first leaf spring

圖9 第2、3片板簧應(yīng)力變化曲線圖Fig.9 Stress curve of the second, third leaf spring

由圖8可知，首片板簧的最大應(yīng)力出現(xiàn)在根部，即首片板簧在車橋上的固定位置，其最大應(yīng)力為546.99 MPa。由圖9可知，第2、3片板簧的最大應(yīng)力應(yīng)力出現(xiàn)在x=90 mm處，即拋物線段的端部，且其最大應(yīng)力為510 MPa。

4.3 ANSYS仿真驗證

根據(jù)計算實例中板簧的結(jié)構(gòu)參數(shù)、彈性模量和載荷，利用ANSYS軟件建立其三維模型并對其變形和最大應(yīng)力進(jìn)行仿真計算，所得到的少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的變形仿真云圖和各片板簧的應(yīng)力仿真云圖，分別如圖10、圖11所示。

圖10 少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的變形仿真云圖Fig.10 Deflection simulation cloud diagram of the few-chip nonstandard parabolic tapered leaf spring

(a) 第1片板簧

由圖10、圖11可知，仿真得到的少片簧的最大撓度值為55.55 mm，其剛度值為297.02 N/mm；首片板簧的最大應(yīng)力為546.89 MPa，第2、3片板簧的最大應(yīng)力為510 MPa，與解析計算值的相對偏差分別為0.7 %，0.7 %，2.3 %和1.9 %。結(jié)果表明，所建立的少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的撓度、剛度及應(yīng)力解析計算公式及方法是正確的。

4.4 試驗驗證

為進(jìn)一步驗證所建立的非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的撓度及剛度解析計算方法的可信性，進(jìn)行了試驗驗證。所用設(shè)備為濟(jì)南時代試金集團(tuán)生產(chǎn)的TYE-W400I微機(jī)控制液壓式彈簧壓力試驗機(jī)，如圖12所示。該設(shè)備可自動進(jìn)行試驗數(shù)據(jù)的采集與處理，并通過微機(jī)顯示屏直接輸出板簧試驗力、板簧變形量及板簧特性曲線。利用該設(shè)備對板簧進(jìn)行加載-卸載撓度特性試驗。其中板簧片間已做好潤滑，板簧已用騎馬螺栓夾緊，所加載的最大載荷為10 500 N。對該板簧樣機(jī)加載和卸載的撓度數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合處理，得到該少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的實驗剛度值為283.1 N/mm，與解析計算值相比，相對偏差為4.2 %。結(jié)果進(jìn)一步表明所建立的少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的撓度及剛度的解析計算公式及方法是可靠的。

圖12 少片簧加載-卸載試驗平臺Fig 12 Loading-unloading test platform of the few-chip leaf spring

5 結(jié)語

本文通過對非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧力學(xué)特性的理論分析、實例計算及仿真和實驗驗證，可知：

① 根據(jù)非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的結(jié)構(gòu)參數(shù)，可對板簧拋物線段的坐標(biāo)偏移量x0及不同位置x處的板簧厚度h(x)進(jìn)行解析計算。

② 根據(jù)非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的力學(xué)模型，利用莫爾積分，可建立非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的撓度和剛度的解析計算式，可實現(xiàn)對其撓度和剛度進(jìn)行解析計算。

③ 根據(jù)少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的各片端部所受載荷與剛度的關(guān)系，建立少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧在任意位置處的應(yīng)力計算公式。

④ 當(dāng)板簧跨度、寬度、根部平直段長度以及根部厚度確定時，不同拋物線段坐標(biāo)偏移量x0，對板簧拋物線段在任意x位置處的厚度、剛度和應(yīng)力均有重要影響。

⑤ 仿真結(jié)果表明，少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的變形解析計算值及最大應(yīng)力解析計算值與其相對應(yīng)的仿真值均相吻合，相對偏差均在2.3 %以內(nèi)。所建立少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的變形及應(yīng)力計算公式是準(zhǔn)確的。少片簧的剛度測試結(jié)果與解析值吻合，相對偏差在4.2 %以內(nèi)。對比結(jié)果進(jìn)一步表明，所建立的撓度和剛度的解析計算方法是可靠的。

本文所建立的非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧力學(xué)特性的解析計算方法，可得到準(zhǔn)確的剛度計算值和板簧任意位置處的應(yīng)力值，為少片變截面鋼板彈簧的設(shè)計、剛度匹配和應(yīng)力校核等提供了可靠的技術(shù)基礎(chǔ)，也為懸架系統(tǒng)的零部件現(xiàn)代化設(shè)計及特性仿真提供了理論參考。