[摘要]運算教學的自然生成是促進教學師生關系和諧發(fā)展的原動力，運算教學的自然生成應該遵循運算的發(fā)生、發(fā)展、形成的數學規(guī)律.運算教學的過程應該是讓學生體會蘊含在運算中的數學思想和方法與數學活動經驗的過程，也是為了促進學生“四基”能力的形成，發(fā)展學生核心素養(yǎng)自然形成為目標的過程教學.

[關鍵詞]運算教學;自然形成;過程教學;“四基”能力;核心素養(yǎng)

作者簡介：張煒（1973-），本科學歷，中學高級教師，主要從事初中教學有效性研究工作

近期我校開展了“運算教學自然生成”為主題的“同課異構”的教師研訓活動，研訓的立意是促進我們一線教師能注重運算法則的自然生成，從而真正落實“以學為中心”的高效課堂.課題選用的是浙教版八年級下冊第二章的“S2.2一元二次方程的解法（1）”.筆者有幸聆聽并參與了課題的研討，我們聽后認為現在運算教學普遍存在節(jié)奏快、容量大、強度高、反復練的教學模式，這樣的教學模式造成了教師教得辛苦、學生學得吃力的不良現象，并且有悖于研訓的主題，怎樣才能在自然生成運算法則立意的主旨下，讓學生學得輕松，教師教得放心，實現教與學的和諧發(fā)展呢？筆者在經過教研組反復研討的指導下并經歷再次磨課的基礎上對于該課進行了重建，課后受到聽課師生的一致好評，大家普遍認為教學過程較好地詮釋了運算法則的自然生成的教學理念.下面將本節(jié)課的教學過程整理成文，并進行教學反思，以期與同仁共享.

教學過程

1.以退為進，追本因式分解的自然生成

師：我們用嘗試檢驗法認識了一元二次方程的解，今天我們沿著這條主線探索一元二次方程新的解法.

問題1：填表（表1）.判斷下列x的取值是否是方程x（x-3）=0的解，并說明理由

生1：我們認為，x=0，x=3是方程的解，根據表格數據可知，由方程根的檢驗方式，當x=0時，代入方程：左邊=0（0-3）=0，右邊=0，因為左邊=右邊，所以x=0是方程的解.（x=3同理，過程略）師：說得很好，你結合填表的結果用嘗試檢驗法獲得方程的解那么每次都用嘗試檢驗法生成相應的一元二次方程的解的過程簡便嗎？

生2：不簡便.

師：是的，數學是一個從煩瑣運算中尋求簡便，生成智慧的學科.你從嘗試檢驗求解的過程中有何發(fā)現？你是否有尋找求解的簡便方法呢？（提示：左邊的運算結果的變化趨勢與方程的解的聯系是怎樣的？）

生3：當左邊的結果趨于零的時候對應的x的值就是方程的解.

生4：當等號左邊的取值從正數變到負數的時候（或者從負數變到正數的時候）就是方程的解.

師：你們觀察得很正確，說明當元二次方程左邊是乘積形式，右邊為零時，用嘗試檢驗法的方式確定方程的解，其實就是當等式右邊為零，左邊取值出現了正負數轉折的地方.這也是方程解的“延生地”.當一元二次方程不是般形式，這種尋覓解的特征還適合嗎？譬如方程x（x-3）=4適合嗎？

生5：不適合，因為在實數范圍內乘積等于4的情形很多

師：這說明在實數范圍內只有乘積為零的結構取值是明確的.不過你們無形中開發(fā)出了一個快速獲得一元二次方程解的特征：左邊是乘積形式，右邊是零的結構.如果用A，B描述這個特征，我們稱其為AB=0型”那么“AB=-0

“型”的形式與獲得解的關系是怎樣的？確定方程的解的依據是什么呢？設計意圖通過嘗試檢驗法的基礎上尋覓因式分解法的“誕生地”.旨在強調因式分解法并不是無源之水，不是“天上掉下來個林妹妹”.其次，為什么要強調書寫的是一元二次方程的一般形式？這樣的限制是學生理解一般書寫時思考的“切入點”，如x（x-3）=4，倘若我們縮小解的取值范圍一求方程的整數解，當右邊不是零的時候將4進行分解后探索方程的解也不失為一個良策.將4進行分解時，方程左邊對應的乘積形式本身也是學生尋找解的特征的自然方式.強調一般形式的書寫特征，是因為我們的方程求解范國是實數，這樣書寫上的“苛刻”的要求只有在學生“碰壁”才會領悟.教師告知不如學生探知，教師反復提醒不如學生自我反省.因式分解的溯源過程是揭示因式分解法誕生的自然性：一是因式分解法解方程的生成是為了代替嘗試檢驗由繁到簡的過程;二是因式分解強調右邊是零、左邊是乘積的運算書寫是因為在確定AB=0時實數范圍內確定解的客觀需要.

2.合作學習，溯源教材導入材料的意義

師：看來，我們今天解決了“AB=0型”方程的解，那么AB=0這樣的形式在確定解的結構有何特點呢？帶著思考，我們解決下列問題.

問題2：若AB=0，下面的兩個結論正確嗎？

（1）A和B都為0，即A=0且B=0;（2）A和B中至少有一個為0，即A=0或B=0

生6：我們認為第二個結論是正確的.

師：這說明AB=0時，應為A=0或B

0這也是我們接下來尋找從AB=0到A

0或B=0確定的依據和格式，AB=0的下一步是A=0或B=0，中間的聯結詞一定是“或”.那么從AB=0的模型中，你能描述方程x（x-3）=0的求解過程嗎？

生7：x相當于A，x-3相當于B，其實就是=0或x-3=0.

師：你們都是這樣思考的嗎？

眾生：是的.

師：下面我們從這個變化過程中總結一下，“AB=0型”的一元二次方程與其一般形式在結構上的關系.

（1）AB==/A0，一元二次方程っ

B=0

一元一次方程，如x（x-3）=0→

一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），特殊形式：（mx+n）（Px+g）=0→mx+n=0或px+AB=0=A=m+n，B=px+q：ax+bx+c=0=（m+n）（px+9）=0：x-3=0=x（a3）=0

（2）借助AB=0，得到A=0或B=0的

模型過程，實現了借助因式分解將一元二次方程的求解過程轉化成一元一次方程的求解過程.

（3）因式分解是將一元二次方程化成“AB=0型”的重要渠道.

設計意圖因式分解法解一元二次方程，它的出現的意義是為了便于形成AB=0的模型，它帶來的降冪以及轉化的數學思想，這都是蘊含在方程形式變化中的內涵，這些抽象的內涵都是在學生不斷的視覺刺激中、從書寫外觀上的自我比較中、感受和體會的過程中，自然地生成.容不得教師直接去告知和代替.

3.模型主導，架設因式分解到解方程的橋梁

師：我們今天獲得的解的特征是方程AB=0的形式，AB=0又是一元二次方程在一般式的情形下因式分解形成的.

那么我們學過的因式分解法有哪些類型呢？以及考慮它們在使用時的順序是怎樣的？舉例說明.（允許研討、合作交流

生8：因式分解有：提取公因式法，如x2-x=c（x-1）;公式法一平方差公式，如2-1=（x-1）（x+1），完全平方公式如x士2x+1=（x士1）2等.它們在使用中的順序是先提取公因式法，然后是平方差公式法或完全平方公式法.

師：對的，通過舉例，你們描述了因式分解常用的方法及使用順序，下面請大家選擇恰當的因式分解法進行變形：（1）x2-3x;（2）25x2-16;（3）（3x-4）2-4x-3）2;（4）x-2V2x+2.

生9：我們認為第一個用提取公因式法：x2-3x=x（x-3）

第二個用平方差公式法：25x2-16=（5x）2-（4）=（5x-4）（5x+4）

第三個用整體思想和平方差公式法：（3x-4）2-（4x-3）2=[（3x-4）-（4.x-3）]·（3x-4）+（4x-3）];

第四個用完全平方公式法：x22V2

師：好的，說明你們已經從變化的外觀上發(fā)現因式分解的本質特征，下面我們把因式分解的特征總結一下（見圖1）設計意圖本節(jié)課的重點是落實如何用因式分解實現AB=0的變形.由于因式分解是七年級下冊學習的內容，相隔時間較長，本節(jié)的重點就是尋找形成AB=0的特殊變形.

因此，這就需要教師幫助學生將因式分解久遠的、碎片化的知識進行整合，幫助學生深挖細究因式分解的模型，為透徹理解因式分解形成“AB=0型”后求解埋下伏筆

4.變式拓展，領略因式分解求解方程的魅力

師：下面我們看看在方程中能否找到用因式分解變形成AB=0的形式.解下列方程：（1）x2-3x=0;（2）25x2=16：（3）（x-5）（3x-2）=10;（4）（3x-34）2=（4x-3）2;（5）x2=2V2x-2

設計意圖教材將因式分解解方程分為三個例題，分別代表了因式分解在一元ニ次方程的常用的基本結構與基本特征.第一個x2-3x=0是一般形式，提取公因式法就可以解決，低起點，易操作.第二個25x2=16將因式分解的變形的思維提高了一個高度，通過移項，再考慮平方差公式法因式分解，啟示學生化成一般式書寫的必要性.第三個和第四個都屬于含有括號類型的，需要先確認括號的處理方式，増加了因式分解的梯度：第三個存在方法易錯點，學生會出現（x-5）=2或（3x-2）=5的錯解等;第四個既可以將括號看作一個整體，轉化成平方差的形式進行因式分解來解方程.第五個的難度在于如何形成完全平方式，再加上系數是無理數，將2變形成（V2）2需要逆向思維，教材的編寫如果將這些題目分為三段式講解，先例1，再例2，然后再例3勢必會造成學習的疲勞.將三個例題放在一起，變成學生去尋找因式分解特征的“大會餐”

5.反例剖析，提升方程求解的深度思考

解方程：7x2=21x

師：小明的解法如下，他的解法對嗎？如果不對，請說明理由，并修改解：兩邊同時約去x，得7x=21，所以設計意圖通過糾錯，落實正反兩個層面化成AB=0的意義，糾錯能幫助學生在“做中學”落實因式分解的規(guī)范性，能幫助學生學會自我反省，自主進行知識的梳理，形成解題經驗的積累

6.概括歸納，自然生成解方程的理論

師：下面我們一起歸納一下利用因式分解法求解一元二次方程的解題步驟：

（1）若方程的右邊不是零，則先移項，使方程的右邊為零（化成一般形式）

（2）將方程的左邊因式分解（在整式范圍內因式分解）;

（3）根據若AB=-0，則A=0或B=0，將解一元二次方程轉化為解兩個一元次方程（降冪化歸方程）;

（4）口訣：右化零，左分解，兩因式各求解.

設計意圖通過解題后的總結、概括，幫助學生形成對于本節(jié)內容的重點和難點的知識點梳理，促進學生從解題中學會總結，學會歸納，形成自然的知識網絡.

7.拓展訓練，強化學生深刻思考的意識

用因式分解法解下列方程，并指出對應的因式分解方法：（1）4x2=12x;（2）9x2=（x-1）2;（3）（x-2）（2x-3）=4;（4）（x+2）2=2x+4：（5）x2-2V3x=-3.

設計意圖教材提供的素材往往是結果性的內容.為何具備這樣的素材？這樣的素材怎樣與學生的“最近發(fā)展區(qū)”實現無縫焊接？我們應具備換位思考，把自己作為“學生”融入教材導入素材的揣摩中，在精選的強化練習中，現固對于解方程原理的理解，從而幫助學生“精做題，做精題”，達到做一題、通片的高效.

8.課堂歸納，形成解方程的拓展思考

問題清單：

（1）你認為因式分解解一元二次方程的過程是怎樣的？

（2）你認為其中的數學思想方法是什么？

（3）你認為還可以繼續(xù)研究哪些關于一元二次方程解法的內容？

（4）你在學習中有哪些困惑和收獲？

設計意圖通過以問題清單的形式讓學生對于課題的學習過程進行教學重點的回顧反思，旨在幫助學生思維上形成思考的收尾和新知識上的延伸，促進學生在求解運算中實現基礎知識、基本技能、基本數學思想方法、基本數學活動經驗（簡稱“四基”）的歸納和概括，増強學生數學學習活動的針對性，學什么？怎么學？為什么學？促進學生從機械性做題到智慧性做題的蛻變

教學反思

1.堅持正確的自然觀引領，需要站在知識系統(tǒng)的高度思考美國著名數學教育家波利亞指出：“一個專心的認真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個有意義的但是不復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過道題，就像通過一道門，把學生引入一個完整的理論領域.”這就是說，教師始終要把貫徹“以學為中心”的四個維度作為開展方程求解教學的“切入點”第一個維度學生已經到了哪里？例如，本節(jié)課學生是在學習了一元二次方程及其解的概念的基礎上，從嘗試檢驗法求解到因式分解法求解的過程.本節(jié)課的學習也是學生從盲目性嘗試求解到針對性特殊求解的學習過程.第二個維度是學生應該到哪里去？本節(jié)課的課題是因式分解法解一元二次方程.其實質是希望學生在一元二次方程的一般式中尋找特殊解法，它也是為后續(xù)尋找元二次方程的通解通法做鋪墊.第三個維度是教師怎樣幫助學生到達哪里去《義務教育數學課程標準（2011年版）》強調學生是學習的主體，教師是學生學習的引導者與合作者.就本節(jié)課來說，教師幫助學生在方程環(huán)境中甄別關于x的因式分解特征，從而引導學生快速將方程形成AB=0的形式，梳理形成因式分解的結構就是教師急需花力氣的事情.所以本節(jié)課教師要做的更多的是幫助學生如何正確識別和使用因式分解法，而不是大量反復機械地操練、第四個維度是如何檢測學生有沒有到達那里？這需要教師精心設計問題素材，包括教材編寫素材的整合，因地制宜地由淺入深，針對性地做題訓練.這就需要教師透徹理解教材的編寫意圖，仔細揣摩教材中每個例題（包括習題）的編寫用意和蘊含的數學價值，為因式分解法在解方程中的自然生成做好鋪墊.

2.堅持正確的自然觀引領，需要注重過程與四基落實

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“新課標”）中指出，數學課程的內容應關注過程與結果的關系這就是說，教學過程本身也應該是教學內容的重要組成部分.譬如本節(jié)課學生不僅會正確運用因式分解法解“AB=0型”的一元二次方程，而且能夠理解為什么會運用因式分解法去解，以及怎樣オ能選用合適的因式分解法在方程中進行因式分解.這些都是應該給學生明確的體驗過程.除此之外，在新課標中的教學目標中提到學生在義務教育階段的教學目標應該落實學生學習基礎知識、基本技能、基本方法與基本數學活動經驗.這就是說，落實到本節(jié)課的教學，不能只停留在讓學生會做幾道題，會按照因式分解法解幾個方程的知識與技能上;還需要教師做好引導者，幫助學生體會蘊含在解方程的過程中的化歸思想，不能將課堂滿堂灌變成滿堂做，學生在“做中學”'實現“精練悟”，在教師的引領下通過交流合作實現經驗的導富濟貧”

3.堅持正確的自然觀引領，需要注重為學生長遠發(fā)展謀利

新課標中指出，學生要有充分的時間與空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證的過程.這就是說方程的解法教學中還有更重要的東西，解法的形成過程的經歷以及蘊含在解法形成過程中的數學思想方法和解題經驗的獲得.例如，多數教師在本節(jié)課導入開頭語是“我們今天學習因式分解法解一元次方程，下面請看因式分解法解一元次方程的概念……”.其實這樣的“開門見山”的導入方式，本質是缺乏課題學習必要性的揭示過程，它直接抹殺了學生認識課題學習意義的知情權，忽視了揭示課題編寫意圖及學習意義的自然性.在這樣沒有深刻理解課題的“數學味”的情形下，學生對于學習的內容也是困惑不已，學習的效果就如同囫圇吞棗，糊里糊涂.正如，很多學生在課下抱怨，上課都能聽懂，但是下課遇到題目就不會做了.究其原因，是教師沒有讓學生充分經歷認識方程的解法的發(fā)生、發(fā)展過程，而是重點在解法的反復訓練上.當題目變化，學生就會陷入束手無策的境遇.又如，本節(jié)課的重點是認識因式分解法求解“AB=0型”的方程.

由于因式分解的類型頗多，教材編寫分為三個例題和三個層次，在第一個例題中包含兩個題型，分別是提取公因式和平方差;第二個例題是括號題型，分別是去括號以及將括號看作整體兩個類別;第三個例題是系數為無理數的完全平方公式題型.很多教師的方式是采用推磨式講一道例題，強化一種模型.這種方式其實都是教師的思維辨析過程，對于學生來說，難度是在眾說紛紜的方程中辨析出因式分解模型特征，并靈活自如地進行因式分解，從而將一元二次方程轉化成“AB=0型”的特征，最終實現求解.所以教學的中心應該放在重溫因式分解，并且在方程的環(huán)境中結合等式的性質提煉出因式分解的特征.所以通過代表性的因式分解為學生在后續(xù)的例題中發(fā)現、辨析因式分解才是王道，通過因式分解回顧由代數式到方程，實現學生由現象看本質的數學活動，正如“授人以魚，不如授之以漁”.教師對思考的過程都包辦，表面上是好事，提高了上課的節(jié)奏，其實對于培養(yǎng)學生的深度思維，這種做法是越俎代庖，學生變成不會思考，只會盲目刷題、機械做題的“書果子”，一旦題型變了就變得束手無策.

總之，我們在自然觀的引領中實現運算教學不能盲目陷入題海戰(zhàn)術，不能盲從于刷題來實現學生“核心素養(yǎng)”的落實，在今天我們呼吁減負高效的課堂，更應該關注課堂學習內容的自然生成，在運算法則自然形成的主線下，首先教學精細化、透徹化，在課堂中讓學生學得輕松、學得明白，做一題通一片，自然學習的學習效率也會大大提升，高效課堂的夢想也會兌現