錢桂榮 (江蘇省錫山高級中學(xué) 214174)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(下稱新課標(biāo))指出：數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的其他五個要素構(gòu)成一個有機(jī)整體，它們既相互獨(dú)立，又相互交融． 在數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的形成過程中，要使學(xué)生能夠理解運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計運(yùn)算程序，求得正確運(yùn)算結(jié)果，以此進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力． 下面結(jié)合本人的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)剬で筇嵘龑W(xué)生運(yùn)算能力的途徑和方法．

1 明確運(yùn)算對象，把握運(yùn)算的指向性

新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)運(yùn)算是在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上進(jìn)行的． 在課堂教學(xué)中，通過理解運(yùn)算對象的內(nèi)容、運(yùn)算對象的背景、運(yùn)算對象所在的知識體系，多角度觀察，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算對象的多元表征，并廣泛聯(lián)系相關(guān)知識，引導(dǎo)學(xué)生對已知與未知條件進(jìn)行合理推斷，揭示因果關(guān)系 (由因?qū)Ч驁?zhí)果索因)，牢固掌握并靈活運(yùn)用概念中所表現(xiàn)出的數(shù)量化、符號化的內(nèi)涵，明確運(yùn)算對象，把握運(yùn)算的指向性．

明確運(yùn)算對象要求我們從多個視角審視運(yùn)算對象：已知條件是什么？已知條件中的對象與所求對象有怎樣的聯(lián)系？從數(shù)量或圖形角度看，它們有何內(nèi)在聯(lián)系？從數(shù)量的角度看，對應(yīng)的數(shù)量、代數(shù)式、不等式、方程等是什么？從圖形的角度看，圖形由哪些基本的幾何元素組成，這些幾何元素之間有怎樣的位置和數(shù)量關(guān)系？這些問題在運(yùn)算一開始都要考慮清楚，做到運(yùn)算指向正確、任務(wù)明確．

2 準(zhǔn)確運(yùn)用運(yùn)算法則，把握運(yùn)算的合理性

數(shù)學(xué)運(yùn)算最基本的要求是準(zhǔn)確運(yùn)算，提升運(yùn)算能力的關(guān)鍵在于整體把握概念的實(shí)質(zhì)、深刻揭示運(yùn)算的本質(zhì)，理解算理，遵循運(yùn)算的基本法則．

本題容易采用下面的錯誤解法：

從上面例子可以看出，學(xué)生在運(yùn)算中出現(xiàn)的錯誤從本質(zhì)上說是對一些公式、定理、法則的本質(zhì)掌握不夠清楚，要提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性，必須狠抓算法、算理的正確使用， 避免盲目套用公式法則而導(dǎo)致解題失誤．

3 突出運(yùn)算思路的尋找，把握運(yùn)算的準(zhǔn)確性

探究運(yùn)算思路是在理解運(yùn)算對象、運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上，確定運(yùn)算的具體指向，尋求運(yùn)算的條理和頭緒，是對數(shù)學(xué)運(yùn)算的進(jìn)一步推進(jìn)． 運(yùn)算思路合理與否，將決定運(yùn)算的簡與繁，甚至成與敗，思路一旦確定，后面的工作便迎刃而解． 因此，探究運(yùn)算思路是數(shù)學(xué)運(yùn)算中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，通常也是最為困難的．

尋求運(yùn)算思路時我們不妨可以借助波利亞的《怎樣解題》中提供的各種途徑：探尋包含在問題中的所有概念、公式、定理與方法，能不能利用它？聯(lián)想與現(xiàn)在的問題有關(guān)且已解決的問題，考慮能不能利用或模仿它？仔細(xì)推敲每個條件或努力挖掘出隱含條件，嘗試對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸，正難則反． 如不能解決問題，能否找出一個更易著手的有關(guān)問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？一個更普遍的問題？

4 注重運(yùn)算方法運(yùn)用，把握運(yùn)算的簡捷性

運(yùn)算速度是運(yùn)算能力的重要標(biāo)志，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)在準(zhǔn)確運(yùn)算的前提下算得快，而要想算得快，就必須做到基本運(yùn)算熟練，運(yùn)算方法合理，運(yùn)算途徑簡便． 同一個問題往往可用不同的思路和方法去解決，方法選擇得越合理，運(yùn)算速度也就會越快． 有些數(shù)學(xué)問題可根據(jù)題目的已知條件，利用有關(guān)概念、性質(zhì)、法則進(jìn)行簡化運(yùn)算，從而提高運(yùn)算速度．

圖1

分析2 由于直線l過橢圓的右焦點(diǎn)，所以AF,BF都是橢圓的焦半徑，因此可以考慮用橢圓的第二定義，通過數(shù)形結(jié)合來求解．

圖2

上面兩種解法中，第一種解法(即代數(shù)方法)是解決此類問題的通法，推理清晰嚴(yán)密，通過逐步消元求解，體現(xiàn)了解析幾何的一般解題方法，但這種方法有一定的運(yùn)算量． 第二種解法(即幾何方法)，過程比較簡單，運(yùn)算量很小，不易失誤． 然而當(dāng)改變條件，直線不經(jīng)過焦點(diǎn)，此時AF,BF不是焦半徑了，幾何方法就不適合了，只能用通法(代數(shù)方法)來求解．

5 講究運(yùn)算的程序設(shè)計，把握運(yùn)算的邏輯性

運(yùn)算程序是對運(yùn)算思路的具體落實(shí)，合理的運(yùn)算程序設(shè)計是建立在對問題本質(zhì)的思考之上的，它使運(yùn)算按部就班地展開，易于駕馭，這對繁雜的運(yùn)算尤為必要． 因此，應(yīng)重視程序的設(shè)計，并相對“固化”一些常見且重要的運(yùn)算程序，便于學(xué)生掌握．

③-④，得an=(1+S2)qn-3(q-1)(n≥3)． 接下來只要求出q，即可得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，只需要再用賦值法求出前幾項(xiàng)即可．

由⑤⑥得a3=4，a4=8，從而q=2． 所以an=(1+S2)qn-3(q-1)=2n-1(n≥3)． 由于a1=1，a2=2也滿足上式，故an=2n-1(n∈N*)．

在上述問題的解決過程中，先由條件對正整數(shù)m,n任意變化時，等式恒成立，可先固定一個量m，然后得出Sn+1與S2n關(guān)系，再由n和n-1對應(yīng)的兩個等式成立，兩邊對應(yīng)相除，得出{1+Sn}(n≥2)成等比數(shù)列，得到式子后再由an=Sn+1-Sn求得an(n≥3)關(guān)于n的關(guān)系式，最后對條件多次賦值求出數(shù)列前四項(xiàng)，這樣既求出了公比，也說明n=1，n=2時也滿足求出的當(dāng)n≥3時的關(guān)系式，從而得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 這些運(yùn)算步驟都是數(shù)列問題的常用運(yùn)算程序．

6 追求運(yùn)算結(jié)果正確，把握運(yùn)算的規(guī)范性

求得正確的運(yùn)算結(jié)果，是進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的最終目的，處理不好，會前功盡棄． 運(yùn)算技能必須通過長期的限時限量的訓(xùn)練才能得到提高． 由于高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容多、任務(wù)重，而一些“煩瑣”的運(yùn)算很費(fèi)時，在教學(xué)中教師要精心備課，在關(guān)鍵運(yùn)算點(diǎn)上要舍得花時間，對求解過程中學(xué)生可能忽視的知識與方法、運(yùn)算的程序與要點(diǎn)、或者可能產(chǎn)生的錯誤，以及計算時可能會遇到的障礙等，要進(jìn)行全面的考察或預(yù)估，并在教學(xué)時重點(diǎn)加以關(guān)注． 在運(yùn)算訓(xùn)練中，應(yīng)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)基本運(yùn)算、規(guī)范運(yùn)算，這是提高運(yùn)算準(zhǔn)確率的基礎(chǔ). 在教學(xué)過程中充分讓學(xué)生參與一些數(shù)與式的運(yùn)算過程，如在學(xué)習(xí)解不等式、三角恒等變換及圓錐曲線時，要有意識地安排一些運(yùn)算量較大的問題，以培養(yǎng)學(xué)生不怕繁難運(yùn)算的意志品質(zhì)，并對典型的運(yùn)算障礙與錯誤經(jīng)常進(jìn)行剖析，促使學(xué)生在經(jīng)常性的運(yùn)算過程中提高熟練程度和準(zhǔn)確率．

運(yùn)算能力不能脫離具體的數(shù)學(xué)知識而孤立存在，也不能離開其他核心素養(yǎng)而獨(dú)立發(fā)展． 它與觀察能力、記憶能力、表達(dá)能力、理解能力以及思維能力等諸多因素互相滲透、協(xié)調(diào)發(fā)展． 培養(yǎng)與提高學(xué)生的運(yùn)算能力是一項(xiàng)復(fù)雜的系統(tǒng)工程，要貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，要有計劃、有目標(biāo)、有意識地運(yùn)用科學(xué)的方法進(jìn)行長期的滲透和培養(yǎng)，使學(xué)生逐步領(lǐng)悟運(yùn)算能力的實(shí)質(zhì)，進(jìn)而逐步提升思維能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．