成宏喬 (江蘇省無錫市僑誼實(shí)驗(yàn)中學(xué) 214000)

鐘 鳴 江蘇省無錫市西漳中學(xué) 214171)

我們與高校合作，結(jié)合學(xué)校的實(shí)際，提出打造“富有設(shè)計(jì)感的課堂”主張，提煉課堂教學(xué)范式，將教師教學(xué)意圖科學(xué)而流暢地滲透在教學(xué)過程之中． 在一次聽課調(diào)研中，執(zhí)教課題是“互逆命題”，這節(jié)課在課程標(biāo)準(zhǔn)中的要求不高，僅僅是“會(huì)識別兩個(gè)互逆的命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立；了解反例的作用，知道利用反例可以判斷一個(gè)命題是錯(cuò)誤的． ”[1]因此，教師在平時(shí)的教學(xué)中對這節(jié)課重視不夠，多是照本宣科． 調(diào)研組和數(shù)學(xué)學(xué)科組對前后兩次的課堂教學(xué)進(jìn)行對比，明確了概念教學(xué)的基本原則：“在課堂設(shè)計(jì)中凸顯素養(yǎng)與智慧”．

1 初次展示

環(huán)節(jié)1 目標(biāo)明示

上課伊始，教師展示了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：(1)通過具體實(shí)例，了解原命題及其逆命題的概念． 會(huì)識別兩個(gè)互逆命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立． (2)了解反例的作用，知道利用反例可以說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的． (3)在證明中，不斷發(fā)展合乎邏輯的思考、有條理的表達(dá)的能力．

環(huán)節(jié)2 溫故知新

教師通過4個(gè)問題：什么是命題？命題的構(gòu)成？如何判斷兩直線平行？平行線的性質(zhì)是什么？引導(dǎo)學(xué)生對命題的概念和構(gòu)成進(jìn)行回顧，并結(jié)合圖形復(fù)習(xí)了平行的知識．

環(huán)節(jié)3 概念生成

教師結(jié)合學(xué)生的回答，選擇了“同位角相等，兩直線平行”和“兩直線平行，同位角相等”進(jìn)行結(jié)構(gòu)對比，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題. ”[2]從而得到了“互逆命題”的概念，并強(qiáng)調(diào)了其中一個(gè)命題是另一個(gè)命題的逆命題(定義)．

環(huán)節(jié)4 練習(xí)鞏固

教師通過兩組練習(xí)鞏固本節(jié)課新授內(nèi)容．

練習(xí)1：下列各組命題是否為互逆命題？

練習(xí)2：說出下列命題的逆命題，并判斷它們是真命題還是假命題？

環(huán)節(jié)5 文化感悟

教師引導(dǎo)學(xué)生通過上一個(gè)環(huán)節(jié)明白，判斷一個(gè)命題是假命題，只需要舉個(gè)反例，并及時(shí)進(jìn)行練習(xí)．

練習(xí)3：舉反例說明下列命題是假命題.

練習(xí)講解結(jié)束后，教師帶領(lǐng)學(xué)生閱讀教材158頁“讀一讀”部分的《著名的反例》，了解歐拉用225+1是一個(gè)合數(shù)從而否定了費(fèi)馬的猜想(對于一切自然數(shù)n，22n+1都是質(zhì)數(shù))的故事．

環(huán)節(jié)6 總結(jié)成果

學(xué)生討論后總結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識概念、基本方法及解題的一些注意點(diǎn)． 授課教師適時(shí)點(diǎn)評． 在剩下不多的時(shí)間內(nèi)完成課本上其它練習(xí)后結(jié)束本節(jié)課的教學(xué)．

2 課例分析

本節(jié)課的設(shè)計(jì)較傳統(tǒng)． 傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，一般要經(jīng)歷“導(dǎo)入”“新課講授”“練習(xí)鞏固”“拓展延伸”“小結(jié)和作業(yè)布置”幾個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié). 實(shí)踐證明，這樣的模式下，學(xué)生跟著老師的安排學(xué)習(xí)，可以打好扎實(shí)的基礎(chǔ)，考試成績也不錯(cuò)． 但是學(xué)生的學(xué)習(xí)往往會(huì)陷入機(jī)械學(xué)習(xí)的泥淖，于創(chuàng)新、思辨、問題解決等能力的培養(yǎng)不利．

尤其在新知識生成階段，簡單的處理會(huì)抑制學(xué)生主動(dòng)地思考． 上述課例環(huán)節(jié)3中，老師只選擇了一對命題就引出了概念，較少的個(gè)例不利于學(xué)生概括和理解，學(xué)生需要注意力高度集中，結(jié)合教師呈現(xiàn)的內(nèi)容，自身抽象概括能力較好，才能概括出概念的本質(zhì)屬性. 所選的一對命題又恰好都是真命題，導(dǎo)致不少學(xué)生潛意識里認(rèn)為互逆命題只是兩個(gè)真命題，且會(huì)默認(rèn)原命題是真則逆命題必真． 這樣的學(xué)習(xí)是被動(dòng)的、機(jī)械的、容易產(chǎn)生誤區(qū)的．

于是，經(jīng)過深入探討交流后，確定本節(jié)課的重點(diǎn)是互逆命題的概念理解，并且要加強(qiáng)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系及數(shù)學(xué)文化的滲透．

3 再次呈現(xiàn)

環(huán)節(jié)1 情景引入

教師播放視頻《第一次數(shù)學(xué)危機(jī)》后提問：看完視頻，你能說出幾個(gè)命題嗎？

生1：如果一個(gè)數(shù)是有理數(shù)，那么它可以在數(shù)軸上表示出來．

……(學(xué)生說的都是正確的命題)

師：命題一定都是正確的嗎？

學(xué)生齊答：不是．

師：命題有的是正確的，也有的是錯(cuò)誤的． 我們把正確的命題稱為“真命題”，錯(cuò)誤的命題稱為“假命題”． 剛剛同學(xué)們說的命題是真命題還是假命題？

生3：都是真命題．

師：還有補(bǔ)充嗎？

生4：如果一個(gè)數(shù)可以在數(shù)軸上表示出來，那么它是有理數(shù)． 這是一個(gè)假命題．

說明情景的設(shè)置能提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)歷史、感受數(shù)學(xué)文化，同時(shí)從中提取信息、激活認(rèn)知、錨定學(xué)習(xí)的起點(diǎn)．通 過“設(shè)置情景”給出“初始問題”，通過“問題串”逐漸“知識生成”，這樣的授課方式能夠達(dá)成提升學(xué)生“學(xué)習(xí)能力”的目的． 授課教師的處理也比較智慧，因?yàn)閷W(xué)生回答的都是正確的命題，順勢講了真假命題的概念，既能糾正學(xué)生的認(rèn)識，還為后面學(xué)生的發(fā)言指明了方向，學(xué)生有意識地通過變換條件和結(jié)論，期待得到假命題．

環(huán)節(jié)2 新課講解

教師讓學(xué)生觀察這兩組命題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和真假性，談?wù)勛约旱南敕ǎ?一位學(xué)生迫不及待地回答：“如果兩組命題的題設(shè)和結(jié)論的位置發(fā)生變化，則命題的真假也發(fā)生變化． ”剛說完，自己就意識到好像不對，學(xué)生們也表示不同意．

師：有沒有不同的意見？

生：命題“兩直線平行，同位角相等”“同位角相等，兩直線平行”就都是正確的命題. (教師引導(dǎo)都是真命題)

師：很棒！這個(gè)例子舉得很好． 大家有沒有發(fā)現(xiàn)，我們要說明某種說法是不對，往往只要舉個(gè)例子就行． 那這個(gè)例子該如何舉？有訣竅嗎？

生：和前提條件一樣，和結(jié)果不同．

教師引導(dǎo)大家歸納出：要說明一個(gè)命題是假命題，舉的例子符合命題的條件，但不符合命題的結(jié)論. 這樣的方法叫“舉反例”．

師：如何說明命題“如果|a|=|b|，那么a=b”是假命題？

生：如a=3，b=-3，則滿足|a|=|b|，但a≠b，所以命題是假命題．

生：一個(gè)命題的條件是另一個(gè)命題的結(jié)論，另一個(gè)命題的結(jié)論又是這個(gè)命題的條件．

師：很好． “在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題就是‘互逆命題’，其中一個(gè)命題是另一個(gè)命題的逆命題． ”他們只有結(jié)構(gòu)上的變化，與命題本身的真假無關(guān)．

說明教師的專業(yè)素養(yǎng)除了理解數(shù)學(xué)、教材及學(xué)生外，還包括課程的實(shí)施、教法的處理等技術(shù)方面． 上述課例中，教師讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察”“發(fā)現(xiàn)”“表達(dá)”與“思辨”等環(huán)節(jié)，通過問題的解答，不僅順利完成了教學(xué)任務(wù)，還在“談話式”的平等交流中提升了學(xué)生的綜合能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平． 對比生硬的灌輸教學(xué)，自然流暢的課堂才是促進(jìn)學(xué)生健康成長的土壤，才是我們所追求的育人方式，在課堂設(shè)計(jì)中凸顯素養(yǎng)與智慧首先要求自然流暢．

環(huán)節(jié)3 總結(jié)提煉

課堂的最后階段，教師和同學(xué)們一起總結(jié)了今天所學(xué)的內(nèi)容，教師通過兩個(gè)問題(“互逆命題”是兩個(gè)命題之間的關(guān)系，是不是每個(gè)命題都有逆命題？如何說明一個(gè)命題是真命題還是假命題？)對知識進(jìn)行了梳理和鞏固． 并帶領(lǐng)學(xué)生閱讀教材158頁“讀一讀”部分的《著名的反例》.

說明教師是先掌握知識，再設(shè)置問題，而學(xué)生則是通過問題掌握知識，所以在總結(jié)階段教師所提問題決定了本節(jié)課的高度． 會(huì)說出一個(gè)已知命題的逆命題是每個(gè)學(xué)生都要掌握的，深化了對知識本質(zhì)的認(rèn)識，強(qiáng)化了逆向思維． 第二個(gè)問題則讓學(xué)生明白說明一個(gè)命題是真命題，需要推理和證明，學(xué)生的推理和抽象的素養(yǎng)得以培養(yǎng)；而說明一個(gè)命題是假命題舉一個(gè)反例即可，強(qiáng)化了方法的理解，這有助于學(xué)生思維品質(zhì)的提升． 最后教師介紹了《著名的反例》，是對課堂情景引入的一種呼應(yīng)，讓數(shù)學(xué)的思維和文化貫徹整節(jié)課．

4 教后反思

(1)概念教學(xué)要設(shè)計(jì)好內(nèi)容結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)課質(zhì)量的高低取決于設(shè)計(jì)，但到底要設(shè)計(jì)什么？怎么設(shè)計(jì)？值得我們?nèi)ド钏迹?設(shè)計(jì)整體布局、前后知識聯(lián)系、重難點(diǎn)突破和知識總結(jié)與提煉等，這樣的設(shè)計(jì)既需要對學(xué)情的了解、知識的理解，還需要明確要達(dá)成的目標(biāo)、授課的手段．

概念教學(xué)的課堂設(shè)計(jì)重心應(yīng)該是概念的理解，在課堂中以“知識學(xué)習(xí)”為明線、“素養(yǎng)提升”為暗線進(jìn)行課堂教學(xué)設(shè)計(jì)(如圖1)，讓學(xué)生在觀察真實(shí)有趣的情景中激發(fā)興趣、培養(yǎng)直覺；讓學(xué)生通過在大量數(shù)學(xué)元素中尋找類同點(diǎn)來培養(yǎng)思考習(xí)慣和判斷能力；讓學(xué)生在和諧的交流氛圍中表達(dá)思維、抽象概念． 這樣的設(shè)計(jì)才有利于學(xué)生“悟數(shù)學(xué)”，有利于培養(yǎng)學(xué)生的能力，這才是知識學(xué)習(xí)的真諦．

圖1

(2)教學(xué)設(shè)計(jì)要凸顯出專業(yè)素養(yǎng)

教師作為課堂教學(xué)的組織者、引導(dǎo)者、合作者，要在課堂上凸顯自己的專業(yè)能力． 評價(jià)教師的專業(yè)能力只要看教學(xué)過程是否流暢、內(nèi)容的組合是否合理以及學(xué)生的學(xué)習(xí)有沒有真正發(fā)生(即學(xué)生參與思考和表達(dá)程度如何)． 從最初課例的練習(xí)環(huán)節(jié)中有很多關(guān)于逆命題判斷與書寫的訓(xùn)練，到最終通過適當(dāng)?shù)淖兓霈F(xiàn)在知識情景引入中，既可以讓學(xué)生在大量的命題中發(fā)現(xiàn)互逆命題的存在，感受研究的必要性；還可以使學(xué)生明白，只要兩個(gè)命題具有形式上互換的結(jié)構(gòu)關(guān)系就能稱為互逆命題，與命題的真假無關(guān)． 這樣的處理能避免后面練習(xí)時(shí)的反復(fù)強(qiáng)調(diào)，同時(shí)概念出來后，理解真假命題概念、說明命題為假命題的方法也可以直接使用這些例題，可以省略后面不少環(huán)節(jié)，提升一節(jié)課流暢度、節(jié)奏感和有效性． 這樣的處理凸顯出教師“理解數(shù)學(xué)、理解教材、理解學(xué)生、理解教學(xué)”的專業(yè)素養(yǎng).

(3)教師的智慧要融入課堂設(shè)計(jì)

“一直被模仿，從未被超越”更應(yīng)該用來作為教學(xué)設(shè)計(jì)的終極追求． 課堂上，教學(xué)技術(shù)可以模仿，但不能超越的是課堂的靈魂——教師的個(gè)性與智慧． 我們既要在信息技術(shù)的應(yīng)用、黑板的利用等方面體現(xiàn)智慧，更要運(yùn)用教師本人的個(gè)性特點(diǎn)和利用好學(xué)生課堂的生成． 本課中，由于文字材料較多，如果缺少教師幽默的語言及適當(dāng)?shù)膭?dòng)作和表情，會(huì)讓學(xué)生感到教學(xué)內(nèi)容枯燥乏味；如果黑板上寫滿密密麻麻的文字，既不能突出教學(xué)重點(diǎn)，對知識的提煉和升華也起不了幫助作用． 在課堂上用好學(xué)生所總結(jié)的學(xué)習(xí)要點(diǎn)，借助于符號語言就能快速地寫成：命題“如果A，那么B． ”與命題“如果B，那么A． ”是互逆命題，既能節(jié)約時(shí)間，還能凸顯本質(zhì)． 對于不同層次的學(xué)生而言，理解文字概念是有一定差異的，生活化的輔助理解或數(shù)學(xué)文化的滲入會(huì)讓他們有不同層次的收獲． 這些都體現(xiàn)了融入到課堂設(shè)計(jì)中的教師智慧。

5 寫在最后

數(shù)學(xué)課堂中還有很多“不專業(yè)”語言描述，如寫一個(gè)已知命題的逆命題時(shí)先把這個(gè)命題“翻譯”成“如果……那么……”的形式，此處用“翻譯”明顯不對，應(yīng)該說成“改寫”；也不是把命題條件和結(jié)論的位置“相反”就行，而應(yīng)該描述為“互換”；用舉反例的方式不是“證明”命題是假命題，而是“判斷”……從平時(shí)觀察的情況來看，我們的數(shù)學(xué)課堂中類似的方面還有很多. 設(shè)計(jì)是通過規(guī)劃、計(jì)劃和合理的教學(xué)方式形成課堂教學(xué)方案，這是課前整體上的把控課堂，還需要課上在細(xì)節(jié)上的即時(shí)反應(yīng)和打磨，更需要課堂中教學(xué)語言上的精準(zhǔn)，讓教師的專業(yè)素養(yǎng)與個(gè)人智慧體現(xiàn)在課堂設(shè)計(jì)中才能讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)而有趣的魅力．