成震林 (江蘇省灌南高級中學(xué) 222500)

在平時(shí)教學(xué)中，許多數(shù)學(xué)教師會穿插微專題教學(xué)，以重點(diǎn)突破某類問題． 但如果僅僅是將一些難題分類堆積，由教師集中講解，學(xué)生不能有效參與，也不能構(gòu)建完備的知識體系，這樣的微專題教學(xué)只能停留在形式上，教學(xué)效果并不理想． 微專題的生成不要受內(nèi)容章節(jié)和形式的限制，要打破各種束縛，從多種視角去切入和生成，幫助學(xué)生構(gòu)建完備的知識體系，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)． 我校比較重視數(shù)學(xué)微專題教學(xué)，也有多年的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，下面介紹我校常用的幾種生成數(shù)學(xué)微專題的方式．

1 由典型數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)切入的微專題

此類微專題的定位是高中數(shù)學(xué)中的基本數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)． 圍繞典型問題，研究這類問題的解題規(guī)律和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，在拓展提升中提煉出一般性的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和對應(yīng)的解決方法． 最后將包含典型數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的試題經(jīng)過改編和變式，打磨成微專題．

此類微專題的教學(xué)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生自己去體驗(yàn)，提煉出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和對應(yīng)的解決方法． 教師要引導(dǎo)學(xué)生自己去思考，主動去構(gòu)建，在探索嘗試中尋找解題方法，在抽象概括中提煉數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)． 這些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和對應(yīng)的解決方法不要直接告訴學(xué)生，因?yàn)榭斩吹恼f教，沒有學(xué)生自己真切的體驗(yàn)，教學(xué)效果甚微．

案例1基本不等式應(yīng)用——多元問題

例2已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值是．

變式 已知實(shí)數(shù)x,y,z，滿足x+y+z=1，x2+y2+z2=3，則z的最大值為．

例3已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=9，ab+bc+ca=24，則b的取值范圍是．

變式 已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=9，ab+bc+ca=24，則abc的取值范圍是．

鞏固練習(xí)：1.已知x,y,z均為正數(shù)，xyz(x+y+z)=1，求證：(x+y)(y+z)≥2.

設(shè)計(jì)意圖章建躍認(rèn)為，數(shù)學(xué)思想方法是具有普適意義的、遷移能力強(qiáng)的根本大法[1] 594，所以要讓學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和感悟數(shù)學(xué)思想中提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)． 本微專題以變式題組的形式出現(xiàn)，圍繞多元問題處理的主要方向——減元，以一條主線將這些題組聯(lián)系起來． 學(xué)生需要對這一數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)有清晰的認(rèn)識和整體的把握，才能靈活運(yùn)用，所以要由淺入深，層層推進(jìn)，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和對應(yīng)的處理方法，并感悟其中的數(shù)學(xué)思想．

小結(jié)此微專題是本人高三教學(xué)中的一節(jié)公開課所用材料． 對于數(shù)學(xué)中的典型結(jié)構(gòu)，有時(shí)學(xué)生缺乏深刻的認(rèn)識，更不能靈活運(yùn)用到綜合題的解題中去，所以要抓住這些典型的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)去切入和生成微專題． 圍繞數(shù)學(xué)中的典型結(jié)構(gòu)去生成微專題是我校數(shù)學(xué)微專題教學(xué)中經(jīng)常采用的形式，我校在高三教學(xué)和高一、高二的階段性復(fù)習(xí)教學(xué)中，都會穿插此類微專題的教學(xué)．

2 由高頻考點(diǎn)切入的微專題

為了全面提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，可以由高考題中的高頻考點(diǎn)切入，打磨成實(shí)用性和個(gè)性化的微專題． 高考題中的高頻考點(diǎn)往往折射出高中數(shù)學(xué)的核心知識，通過此類微專題的針對性訓(xùn)練，使學(xué)生掌握高中數(shù)學(xué)的基本思想和方法． 在教學(xué)中要讓學(xué)生自己去體驗(yàn)和感悟基本數(shù)學(xué)思想和方法，形成自己的知識經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)，并轉(zhuǎn)化為自己的經(jīng)驗(yàn)和習(xí)慣，學(xué)生才能真正掌握[2]192．

案例2導(dǎo)數(shù)應(yīng)用——不等式恒成立問題

(一)高考真題重現(xiàn)

1.已知函數(shù)f(x)=ex+e-x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)證明：f(x)是R上的偶函數(shù)；

(2)若關(guān)于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

2.已知函數(shù)f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).

(2)若01，函數(shù)g(x)=f(x)-2有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求ab的值．

(二)典型例題

(1)若函數(shù)f(x)的圖象在x=0處的切線與直線x+y=0垂直,求a的值；

(1)當(dāng)a=2時(shí),求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若不等式f(x)≥a對于x>0的一切值恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

3.已知函數(shù)f(x)=ex-e-x-2x.

(1)求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若不等式f(2x)-4bf(x)>0對于x>0的一切值恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

4.已知函數(shù)f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(1)求證:函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(1,e)上存在最大值;

設(shè)計(jì)意圖此微專題是我校一位骨干教師的高三公開課材料，課后本人和他就此微專題的生成視角和方法作了深入的交流． 此微專題生成的視角是高頻考點(diǎn)——不等式恒成立問題． 處理不等式恒成立問題的主要方法是構(gòu)造函數(shù)，在構(gòu)造函數(shù)時(shí)有直接構(gòu)造和分離參數(shù)兩種主要途徑，圍繞這兩種方法去打磨題組，通過不同背景的問題讓學(xué)生體驗(yàn)解題路徑選擇的重要性，并提高學(xué)生陌生環(huán)境下對這一基本方法的靈活運(yùn)用能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

小結(jié)高頻考點(diǎn)往往是高中數(shù)學(xué)的主干，是考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要載體． 圍繞高頻考點(diǎn)去切入和生成微專題具有較強(qiáng)的教學(xué)實(shí)效性，所以受到我校教師的特別青睞． 在階段性復(fù)習(xí)中，對于相同或相近的高頻考點(diǎn)，可將它們按照一定的主線去生成微專題，突出其中的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

3 由知識體系切入的微專題

數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性的學(xué)科特點(diǎn)，使得數(shù)學(xué)教學(xué)中強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)化策略更顯重要． 系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的知識遷移能力強(qiáng)，在新的認(rèn)知活動中能發(fā)揮積極、有效的作用[2]180． 此類微專題生成的視角要跨越章節(jié)界限，按照一條主線將零散的知識按照內(nèi)部的邏輯整合起來，讓學(xué)生參與知識體系的建構(gòu)過程． 學(xué)生只有經(jīng)歷了對知識的深加工過程，做到知識的結(jié)構(gòu)化、自動化和策略化，才能有效地用來創(chuàng)造性地解決問題[2]91．

案例3一道課本習(xí)題的研究與拓展

問題1已知圓C的方程為x2+y2=r2，求經(jīng)過圓上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線的方程. (蘇教版必修2第105-107頁)

變式1 已知圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，求經(jīng)過圓上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程.

變式2 已知圓C方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，求經(jīng)過圓上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程.

問題2比較切線方程與原方程，形式上有什么變化規(guī)律？

過拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程為.

變式3 已知圓C的方程為x2+y2=r2，若M(x0,y0)為圓外一點(diǎn)，會有怎樣的結(jié)論？

變式4 已知圓C的方程為x2+y2=r2，若M(x0,y0)為圓內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)M(x0,y0)作動弦AB,過A，B分別作圓的切線，設(shè)兩條切線的交點(diǎn)為P，求證：點(diǎn)P恒在一條定直線上運(yùn)動.

圖1

鏈接3 已知兩條直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都過點(diǎn)A(1,2)，求過兩點(diǎn)P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直線的方程. (蘇教版必修2第77頁)

鏈接4 已知圓C的方程為x2+y2=r2，直線l:ax+by=r2.

(1)當(dāng)點(diǎn)P(a,b)在圓C上時(shí)，l與C具有怎樣的位置關(guān)系？

(2)當(dāng)點(diǎn)P(a,b)在圓C外時(shí)，l與C具有怎樣的位置關(guān)系?(蘇教版必修2第106頁)

設(shè)計(jì)意圖此微專題是我縣名師領(lǐng)航團(tuán)隊(duì)活動中我校一位教師上的公開課材料． 我校數(shù)學(xué)教師平時(shí)注意對知識的拓展和提升，將可以組塊的知識通過一條主線聯(lián)系整合起來． 因?yàn)閿?shù)學(xué)能力是在獲得數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)技能的基礎(chǔ)上，通過廣泛遷移，不斷概括化、系統(tǒng)化，即類化而實(shí)現(xiàn)的[2]219，此類微專題承載著健全學(xué)生知識體系和提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的功能．

小結(jié)在我校數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)或者高三一輪復(fù)習(xí)中，此類微專題很有用武之地． 圍繞知識體系生成的微專題，可以通過相近知識的類比和聯(lián)系形成知識體系． 由此視角生成的微專題讓學(xué)生站在系統(tǒng)的高度去掌握和運(yùn)用知識，幫助學(xué)生挖掘知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生建立清晰、穩(wěn)定、可辨別的、遷移能力強(qiáng)的“數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)圖”． 使學(xué)生不僅理解知識及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，而且懂得知識間的邏輯關(guān)系、聯(lián)系方式[1]733．

4 由易錯(cuò)點(diǎn)切入的微專題

要全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，針對學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行補(bǔ)救也是行之有效的辦法． 學(xué)生的錯(cuò)誤可能是由概念理解的偏差或者不良的思維習(xí)慣所導(dǎo)致的，也可能是對數(shù)學(xué)的本質(zhì)缺乏深刻的理解．

通過課堂對話、批改作業(yè)、學(xué)生板演、個(gè)別輔導(dǎo)等多種形式進(jìn)行師生交流，找出學(xué)生知識的漏洞和思維的偏差，從而針對性地設(shè)置個(gè)性化的微專題． 例如，學(xué)生三角函數(shù)中的某類題目沒做好，找出學(xué)生沒做好的原因，如對誘導(dǎo)公式的連續(xù)使用不熟悉，就可以設(shè)計(jì)一個(gè)“誘導(dǎo)公式連續(xù)使用”的微專題． 又如，學(xué)生對解析幾何計(jì)算方法的選擇和優(yōu)化意識不強(qiáng)，可以針對性地生成一個(gè)“解析幾何計(jì)算方法的選擇和優(yōu)化”的微專題．

小結(jié)查漏補(bǔ)缺是教學(xué)中的常見術(shù)語，但在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何科學(xué)有效地落實(shí)，由易錯(cuò)點(diǎn)切入的微專題是非常有效的辦法． 我校數(shù)學(xué)教研組非常重視此類微專題的收集、整理和優(yōu)化，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)穿插使用，對于優(yōu)化學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)發(fā)揮了重要作用．

以上幾種微專題生成的視角雖然不同，但它們都是我校數(shù)學(xué)教學(xué)中生成的實(shí)用性強(qiáng)且具有個(gè)性化的微專題的重要方法． 多視角生成微專題是傳統(tǒng)教學(xué)的突破和創(chuàng)新，是對重難點(diǎn)內(nèi)容的強(qiáng)化和提升，更是我校在全面提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面的積極探索．