周靜

在整個(gè)初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，推理占據(jù)了重要地位，不論是公式的推導(dǎo)、結(jié)論的得出，還是定理的證明，都離不開推理?！皥D形與幾何”是整個(gè)數(shù)學(xué)課程體系的重要內(nèi)容，也是培養(yǎng)學(xué)生推理能力和邏輯思維必不可少的載體。本文通過對人教版義務(wù)教育教科書的深入研讀，結(jié)合初中幾何課堂教學(xué)的實(shí)踐，總結(jié)了培養(yǎng)學(xué)生幾何推理能力的三種有效方法。

一、數(shù)學(xué)語言——形成幾何推理

在幾何教學(xué)中，數(shù)學(xué)語言表現(xiàn)為文字語言、符號語言和圖形語言，它們是數(shù)學(xué)思維和交流必不可少的工具。讓學(xué)生認(rèn)識三種語言并掌握三種語言的轉(zhuǎn)化，是培養(yǎng)學(xué)生幾何推理能力的重要基礎(chǔ)。

在平面幾何的入門階段，教師要引導(dǎo)學(xué)生初步學(xué)習(xí)幾何語言，特別要弄清一些詞（如“經(jīng)過”“有”“只有”等）的意義，懂得一些幾何語言的意義，能畫出圖形表示這些語言，還要逐漸學(xué)會(huì)用正確的幾何語言說出一些幾何事實(shí)。教學(xué)“直線、射線、線段”時(shí)，教師可以這樣引導(dǎo)。

師（出示圖1）：大家已經(jīng)學(xué)會(huì)了用文字語言和符號語言來表示直線、射線和線段，你們能嘗試描述下圖中的組合圖形嗎？

生1：（1）中，直線a經(jīng)過點(diǎn)P。

師：還可以怎樣說？

生2：點(diǎn)P在直線a上。

師：“直線a經(jīng)過點(diǎn)P”和“點(diǎn)P在直線a上”，兩者有區(qū)別嗎？

生3：前一種說的是線的位置，直線經(jīng)過點(diǎn)，后一種說的是點(diǎn)的位置，點(diǎn)在直線上。

師：大家用這兩種方式分別描述一下其他三幅圖。

生4：（2）中，點(diǎn)E在直線b外，或直線b不經(jīng)過點(diǎn)E。

生5：（3）中，點(diǎn)C在直線AB外，或直線AB不經(jīng)過點(diǎn)C。

生6：（4）中，點(diǎn)F既在直線l上，也在直線n上，或者說成，直線l和直線n都經(jīng)過點(diǎn)F。

師：（4）也可以說成直線l與直線n相交于點(diǎn)F。同學(xué)們已經(jīng)掌握了將圖形語言轉(zhuǎn)化為文字語言的方法，我們再試試將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言。（1）點(diǎn)A在直線EF外;（2）直線a經(jīng)過點(diǎn)N;（3）直線l、直線m、直線n交于一點(diǎn)O;（4）點(diǎn)P是線段CD與線段PQ的交點(diǎn)。

生7：我是這樣表示的，如圖2所示。

幾何語言和生活語言有很大的區(qū)別，在日常教學(xué)中，教師對每一個(gè)幾何術(shù)語都必須認(rèn)真講解，尤其要注意幾何語言的表達(dá)和板書要規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn)，以起到良好的示范作用。

二、幾何直觀——建構(gòu)幾何推理

幾何直觀是指借助圖形來進(jìn)行數(shù)學(xué)想象和思考。從實(shí)質(zhì)上來說，它其實(shí)是先通過直觀的圖形產(chǎn)生感觀上的初始認(rèn)識，然后展開充分想象，使抽象的形式具體化，最后形成邏輯推理。通過幾何直觀可以促進(jìn)知識由未知向已知的轉(zhuǎn)化，緩解學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的心理障礙，激發(fā)他們學(xué)習(xí)幾何的興趣。在“等邊三角形”的教學(xué)中，教師設(shè)計(jì)了以下三個(gè)環(huán)節(jié)。

環(huán)節(jié)一：認(rèn)識等邊三角形。

（1）幾何畫板軟件演示等腰△ABC的頂點(diǎn)A沿對稱軸運(yùn)動(dòng)的過程，同時(shí)顯示出AB，AC，BC的長度值，讓學(xué)生觀察是否存在某個(gè)點(diǎn)A的位置，使得△ABC的三邊都相等（見圖3）。

（2）三邊都相等的三角形是等邊三角形。通過動(dòng)畫演示，學(xué)生可以感受到等邊三角形與等腰三角形的聯(lián)系和區(qū)別，等邊三角形是特殊的等腰三角形。

環(huán)節(jié)二：探究等邊三角形的性質(zhì)。

（1）學(xué)生分小組通過畫圖、測量等方式探索等邊三角形的性質(zhì)。

（2）學(xué)生得出結(jié)論后，教師引導(dǎo)學(xué)生從邊、角、重要線段、對稱性四個(gè)方面進(jìn)行梳理，并用表格呈現(xiàn)。

環(huán)節(jié)三：探究等邊三角形的判定。

（1）類比在探索全等三角形判定方法時(shí)用到的作圖實(shí)驗(yàn)，學(xué)生借助圓規(guī)、量角器、直尺等工具，嘗試用不同方法畫等邊三角形。

（2）小組交流后全班展示，比一比哪個(gè)小組畫等邊三角形的方法多。

（3）教師用幾何畫板軟件展示學(xué)生的幾種典型畫法，并由這些畫法探索等邊三角形的判定定理。（見圖4、圖5、圖6）。

（4）師生共同歸納出等邊三角形的判定定理。

學(xué)生在前一節(jié)課剛學(xué)習(xí)了等腰三角形的相關(guān)知識，很容易類比等腰三角形的研究思路來學(xué)習(xí)等邊三角形。本節(jié)課從觀察等腰三角形的圖形演變?nèi)胧郑寣W(xué)生在運(yùn)動(dòng)變化中自然而然地發(fā)現(xiàn)等邊三角形與等腰三角形之間的關(guān)系。

三、關(guān)鍵問題——發(fā)展幾何推理

幾何推理必須講究推理的過程和依據(jù)，要有前因后果，要根據(jù)一定的方法及概念之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，使學(xué)生形成有序思維，發(fā)展邏輯推理能力。教學(xué)“線段的垂直平分線的性質(zhì)”時(shí)，教師是這樣引導(dǎo)的。

師（出示圖7）：已知線段AB，除線段AB的中點(diǎn)C外，線段的對稱軸上是否還存在其他的點(diǎn)到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離相等呢？找一找，有多少個(gè)？

生1：在l上任意取一點(diǎn)，通過直尺測量、圓規(guī)測距、對折重合等方法發(fā)現(xiàn)這點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，對稱軸l上的點(diǎn)到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離都相等，這樣的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)。

師：將上述結(jié)論中的端點(diǎn)改成線段上的任意點(diǎn)，結(jié)論還成立嗎？

生2：把端點(diǎn)換成這條線段上的任意一對對稱點(diǎn)，結(jié)論是成立的，如果不是對稱點(diǎn)就不成立。

師：當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上時(shí)，結(jié)論成立，如果點(diǎn)P不在線段AB的垂直平分線上，結(jié)論還成立嗎？

生3：如果點(diǎn)P不在線段AB的垂直平分線上，PA不等于PB，結(jié)論不成立。

師：也就是說，只有當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上時(shí)，才有PA等于PB。那么反過來，當(dāng)滿足PA=PB時(shí)，點(diǎn)P在哪里？

生4：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上。

師：所以，到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)一定在這條線段的垂直平分線上。

……

在設(shè)計(jì)本課時(shí)，教師首先思考了一個(gè)問題：前面的知識與本節(jié)課的知識存在什么樣的邏輯關(guān)系？對這個(gè)問題的思考實(shí)質(zhì)就是對本節(jié)課教學(xué)起點(diǎn)的思考。學(xué)習(xí)過程中，隨著課程內(nèi)容的不斷加深，對學(xué)生抽象思維能力和邏輯思維能力的要求也越來越高，教師要關(guān)注學(xué)生對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的理解，給學(xué)生充足的時(shí)間去感受邏輯的魅力，幫助學(xué)生形成推理的意識，享受到思考的樂趣，將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落實(shí)到課堂教學(xué)中，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的育人價(jià)值。

（作者單位：宜昌市西陵區(qū)教育科學(xué)研究院）

責(zé)任編輯? 張敏

推理能力的培養(yǎng)應(yīng)該貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中。推理一般分為合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果;演繹推理是從已有的事實(shí)和確定的規(guī)則出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算。本期，我們著眼于課堂教學(xué)，從核心素養(yǎng)下的幾何推理、推理能力培養(yǎng)的具體方法和典型素材等角度，探討學(xué)生推理能力的培養(yǎng)。