佛山市第一中學(528000) 陳豪

中山大學數(shù)學學院(510275) 陳弈龍

在新高考中,數(shù)列大題出現(xiàn)在第一道解答題的位置,更多的是關注基本方法、基本思想,其中裂項相消法與錯位相減法成為求前n 項和的最基本的兩類方法,2020年全國I 卷,III 卷第17 題均為基于數(shù)列通項公式:an=(an+b)·qn的求和問題,an是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的乘積.此類問題通常采用錯位相減法來求和,然而錯位相減法容易出錯,而這次公比還為負,數(shù)學生更容易出錯.考生此處失分較多,下文我們將專門研究這類數(shù)列的四種求和方法.

一、原題呈現(xiàn)

例1(2020年高考全國I 卷理科第17 題)設{an}是公比不為1 的等比數(shù)列,a1為a2,a3的等差中項.

(1)求{an}的公比;

(2)若a1=1,求數(shù)列{nan}的前項和.

二、解法匯總

1 錯位相減法

2 待定系數(shù)法

3 冪級數(shù)法

4 構(gòu)造法

三、解法理論探索

1 錯位相減法一般過程

2 利用待定系數(shù)法求an=(an+b)·qn前n 項和

3 冪級數(shù)法求an=(an+b)·qn前n 項和

4 構(gòu)造法求an=(an+b)·qn前n 項和

評析新課標重視基本方法基本能力,錯位相減法為此類題的通法,能夠較好地訓練學生的計算能力與規(guī)范能力,傳統(tǒng)方法老師講過幾十遍學生依然做不好[1],待定系數(shù)法則需要知道公式結(jié)果才行,特別適合選擇填空的小題或者用來檢驗錯位相減法的結(jié)果是否對,冪級數(shù)法則要將an=(an+b)·qn拆分為兩個冪級數(shù)求和,需要看成函數(shù)利用導數(shù)來求和,高三總復習學生可以接受,構(gòu)造法實質(zhì)是化歸成等比數(shù)列能夠很好地鍛煉學生的思維,高一學生也可以掌握.

四、練習補充

1.(2020 高考全國III 卷理科)設數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=3an-4n.

(1)計算a2,a3猜想{an}的通項公式并加以證明;

(2)求數(shù)列{2nan}的前n 項和Sn.

2.(2011年高考遼寧卷)已知等差數(shù)列{an} 滿足a2=0,a6+a8=-10.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;

3.(2010年高考新課標卷)設數(shù)列{an} 滿足a1=2,an+1-an=3·22n-1.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;

(2)令bn=nan,求數(shù)列{bn}的前n 項和Sn.

五、推廣與應用

評析從例1,例2 中也顯然可以看出,待定系數(shù)法、冪級數(shù)法和構(gòu)造法都要比錯位相減法更加地簡潔且不易出錯,構(gòu)造法的計算量比錯位相減與冪級數(shù)法是要小.而待定系數(shù)法由于課本沒有相應的定理與結(jié)論,所以對于選擇填空題可以優(yōu)先選取,對于低次的求和問題,它來的最快;對于大題中遇到這類問題,可以考慮用待定系數(shù)法進行檢驗,當通項公式為高次時,傳統(tǒng)的錯位相減法要多次才可以,這時候可以分成若干個冪級數(shù)求和更方便.