首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(100048) 覃淋

1 引言

近年來,隨著對數(shù)學(xué)的本質(zhì)認(rèn)識的不斷深化,不管是數(shù)學(xué)家或是數(shù)學(xué)教育工作者,都越來越認(rèn)同“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分”.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017)》從基本理念、課程目標(biāo)、實(shí)施建議等方面對“數(shù)學(xué)文化”作了明確要求,強(qiáng)調(diào)要將數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)中.通過在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中滲透數(shù)學(xué)文化,讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,認(rèn)識數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)和人類社會發(fā)展中的所起的重要作用,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識和感悟數(shù)學(xué)的文化價值,提升人文素養(yǎng)及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[1].

考查近年來的高考試卷,可以發(fā)現(xiàn)每套試題都在有意識地滲透數(shù)學(xué)文化,主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)應(yīng)用三個方面[2].以數(shù)學(xué)文化作為試題背景已成為高考命題的新亮點(diǎn)和新趨勢.數(shù)學(xué)文化作為數(shù)學(xué)的重要組成部分,對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)起著重要作用.這類試題具有其它一般數(shù)學(xué)試題難以比擬的文化價值、教育價值以及科學(xué)價值,數(shù)學(xué)文化試題的意義和價值超越了試題本身.比如:2017年全國卷II 理科第3 題以我國明代程大位的數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中的古算詩題為素材考查等比數(shù)列求和公式,2018年全國卷I 理科第10 題以“希波克拉底定理”為背景考查幾何概型,2019年全國卷III 文理科第21 題和浙江卷第21 題都以阿基米德《方法論》中的相關(guān)命題為背景考查解析幾何的相關(guān)內(nèi)容.

數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)文化的重要組成部分,對學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)起著重要作用.高考作為指揮棒,將數(shù)學(xué)史融入高考數(shù)學(xué)試題能進(jìn)一步發(fā)揮其育人的功能.數(shù)學(xué)史作為高考數(shù)學(xué)試題的命題背景,主要包括數(shù)學(xué)家生平、數(shù)學(xué)史上的標(biāo)志性事件、數(shù)學(xué)名著、數(shù)學(xué)名題、數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)圖形以及數(shù)學(xué)史上論爭等.本文對2019年全國13 套(文、理科)高考數(shù)學(xué)試卷中數(shù)學(xué)史試題進(jìn)行分類、統(tǒng)計(jì),對命題特點(diǎn)進(jìn)行分析.一方面為以后高考命題者編制出素材更加豐富、題型更加新穎的試題提供啟發(fā);另一方面,為教師更合理地使用教材中的數(shù)學(xué)史料進(jìn)行教學(xué)提供可借鑒的方法.

2 高考數(shù)學(xué)史試題評析

2019年全國共13 套高考數(shù)學(xué)試卷:全國卷I(文理)、全國卷II(文理)、全國卷III(文理)、北京卷(文理)、天津卷(文理)、浙江卷、江蘇卷和上海卷.對13 套試題中的數(shù)學(xué)史試題進(jìn)行統(tǒng)計(jì),6 道數(shù)學(xué)史試題的基本情況如表1所示.

表1:2019年高考試卷中的數(shù)學(xué)史試題

13 套試卷中共有6 道數(shù)學(xué)史試題,其中全國卷I、全國卷III、浙江卷各兩道,北京卷、上海卷、全國卷II、江蘇卷和天津卷均沒有.可以發(fā)現(xiàn):第一,從題型看,題目類型豐富,有選擇題、解答題和證明題;第二,從史料涉及領(lǐng)域看,涉及了代數(shù)、不等式、解析幾何、立體幾何和概率等;第三,從史料涉及內(nèi)容看,包括黃金分割、均值不等式、阿基米德方法論、柯西不等式、祖暅原理等數(shù)學(xué)史.

13 套試卷中的數(shù)學(xué)史試題的命題來源有三種:(1)以數(shù)學(xué)史上著名問題或定理為背景;(2)以中國古代數(shù)學(xué)家的研究成果為背景;(3)以國外數(shù)學(xué)家的研究成果為背景.下面分別來說明.

2.1 以數(shù)學(xué)史上著名問題或定理為背景

評析2019年6月7日數(shù)學(xué)考試結(jié)束不久,此題便引發(fā)了廣泛討論.此題以古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出的黃金分割為背景設(shè)置題目,出乎廣大考生和教師的意料之外.此題以著名雕塑“斷臂維納斯”為載體,探討人體黃金分割之美,將美育融入數(shù)學(xué)教育之中,很好地將數(shù)學(xué)與其它學(xué)科聯(lián)系起來了.

“將已知線段分割為兩部分,使其中一部分是全線段與另一部分的比例中項(xiàng).”就是所謂的黃金分割問題,這種分割有許多不同的名稱.通常稱之為“黃金分割(golded section)”,又稱為“中外比”、“中末比”.黃金分割和正五邊形、正十邊形以及五角星的作圖有著密切關(guān)系.“黃金分割”很有可能起源于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究正五邊形的作圖.關(guān)于中末比的系統(tǒng)研究,最早的可能是古希臘數(shù)學(xué)家歐多克斯(Eudoxus,約公元前400—前347).

黃金分割這一名稱出現(xiàn)很晚.意大利數(shù)學(xué)家帕喬利(Luca Pacioli,1445-1517)在其著作《神圣比例》(1509)中將中末比稱為“神圣比例”;天文學(xué)家開普勒(Johannes Kepler,1571-1630)在《宇宙之謎》(1596)中稱中末比為比例分割.最早在書中使用黃金分割名稱的是歐姆(Martin Ohm,1792-1872),在《純粹初等數(shù)學(xué)》第二版(1835)中使用了“goldene Schnitt(黃金分割)”.19世紀(jì)之后,黃金分割這一名稱逐漸通行.

關(guān)于黃金分割的系統(tǒng)論述,最早見于《幾何原本》.《原本》卷II 第11 題[3]:分已知線段為兩部分,使全線段與一小段構(gòu)成的矩形等于另一小線段上的正方形;卷IV 第10 題,卷VI 第30 題,卷XIII 第9 題都提到了黃金分割問題.

評析此題的命題背景包括均值不等式和柯西不等式.不等式主要研究數(shù)的不等關(guān)系,與數(shù)、式、方程、函數(shù)、數(shù)列以及三角等數(shù)學(xué)內(nèi)容有非常密切的關(guān)系,不等式的證明歷來也是高考的一個重點(diǎn).

均值不等式有著非常悠久的歷史,可以追溯到古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究過多種比例中項(xiàng),但他們沒有討論這些數(shù)之間的大小關(guān)系.阿基米德在《論球與柱體》中,在證明球的體積公式時,利用了如下結(jié)果:設(shè)α,β 是兩條已知線段,并且α＞β.在α 和β 之間插入兩條為等差中項(xiàng)的線段δ 和ε(即α,δ,ε,β 構(gòu)成等差數(shù)列),那么α3:δ3＜α:β.但沒有給出證明.

公元3世紀(jì)末,帕普斯(Pappus)在《數(shù)學(xué)匯編》中給出了圖1,利用此圖即可得到.

圖1

2.2 以中國古代數(shù)學(xué)家的研究成果為背景

例3.(浙江卷第4 題)祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r期的偉大的科學(xué)家,他提出“冪勢既同,則積不容異”稱為祖暅原理,利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體=Sh,其中S是柱體的底面積,h 是柱體的高.若某柱體的三視圖如右圖所示(單位:cm),則該柱體的體積(單位:cm3)是()

圖2

A.158 B.162 C.182 D.324

評析此題以南北朝大數(shù)學(xué)家祖暅(456-536)提出的“祖暅原理”為背景,考查由三視圖求面積、體積,考查直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).本題的關(guān)鍵是由三視圖還原幾何體,是一道容易題.

祖暅?zhǔn)俏覈糯鷤ゴ蟮臄?shù)學(xué)家、天文學(xué)家.他在劉徽提出的“牟合方蓋”的基礎(chǔ)上,提出了祖暅原理,求出“牟合方蓋”的體積,推導(dǎo)出了球的體積公式.關(guān)于祖暅認(rèn)真刻苦學(xué)習(xí)的事跡,《南史·祖沖之傳》中有記載:“……入神之妙,般、倕無以過也.當(dāng)其詣微之時,雷霆不能入.”

祖暅所取得的成就,并不是輕輕松松就得到的,而是長期思考,不斷學(xué)習(xí),站在巨人的肩膀上取得的.在教學(xué)中,通過對某些數(shù)學(xué)公式、定理、符號的歷史的介紹,可以激發(fā)學(xué)習(xí)動機(jī),展現(xiàn)數(shù)學(xué)人文性的一面,使數(shù)學(xué)不那么可怕,培養(yǎng)學(xué)生積極的情感態(tài)度和價值觀;了解數(shù)學(xué)家在創(chuàng)造數(shù)學(xué)的經(jīng)歷的曲折過程和錯誤,知道并非只有自己在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上有困難而感到有所安慰;幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)在社會中的作用等等.讓他們知道,數(shù)學(xué)作為人類的一項(xiàng)活動,是不斷向前發(fā)展的,并不是一出現(xiàn)就具有像教科書中那種完美的形式,而是一代又一代數(shù)學(xué)家艱苦奮斗的結(jié)果.

題目對祖暅取得的成就的介紹,體現(xiàn)了習(xí)總書記所強(qiáng)調(diào)的文化自信,可以在潛移默化中增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感.這種處理方式和2018年全國卷II理科卷第8 題是一樣的.實(shí)際上,把前面介紹“祖暅原理”的內(nèi)容去掉,把題目改為“若某柱體的三視圖如右圖所示,則該柱體的體積是多少? ”也不會影響學(xué)生解題,這里題目以附加的形式運(yùn)用數(shù)學(xué)史,史料內(nèi)容可以與題目分離[4].

圖3

2.3 以國外數(shù)學(xué)家的研究成果為背景

圖4

例5(浙江卷第21 題)如圖4,已知點(diǎn)F(1,0)為拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn),過點(diǎn)F 的直線交拋物線于A,B 兩點(diǎn),點(diǎn)C 在拋物線上,使得ΔABC 的重心G在x 軸上,直線AC 交x 軸于點(diǎn)Q,且Q 在點(diǎn)F 的右側(cè).記ΔAFG,ΔCQG 的面積分別為S1,S1.

(I)求p 的值及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

評析這兩題以阿基米德的《方法論》(The Method of Archimedes)和《求拋物弓形的體積》(Quadrature of the Parabola)中的相關(guān)內(nèi)容為背景,進(jìn)行改編重構(gòu),設(shè)置題目.考查拋物線、直線方程、重心性質(zhì)、函數(shù)最值、弦長公式以及三角形面積等基礎(chǔ)知識,綜合地考查了學(xué)生分析和解決問題的能力.同時考查數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).屬于中檔題.

實(shí)際上,考查歷年的高考數(shù)學(xué)試題,可以發(fā)現(xiàn)《方法論》中的“拋物弓形面積”是一個命題熱點(diǎn),幾乎每年都有以此為背景的考題.如江西卷22 題(2005),全國卷II 21 題(2006),江蘇理科19 題(2007),山東卷22 題(2008),江西卷21 題(2008),遼寧卷20 題(2013),浙江卷21 題(2018),浙江卷21題(2019).從題型上來看,均為解答題,屬于中等難度.而且,在教材上有與此類似的題目,人教A 版選修2-1 第二章“圓錐曲線與方程”的復(fù)習(xí)參考題B 組第3 題:如圖5,已知直線與拋物線y2=2px(p＞0)交于A,B 兩點(diǎn),且OA⊥OB,OD⊥AB 交AB 于點(diǎn)D,點(diǎn)D 的坐標(biāo)為(2,1),求p 的值.

圖5

高考數(shù)學(xué)試題的命制來源于教材又高于教材,這也為我們高三復(fù)習(xí)指明了方向——要關(guān)注教材,要重視教材,不要搞題海戰(zhàn)術(shù).今年的高考題和往年相比,大變樣,沒有按套路出牌,使得很多學(xué)生和老師覺得題目“很難”.這對那些背死書、走套路的學(xué)生來說,是比較難.

實(shí)際上,很往年相比,數(shù)學(xué)試題的難度反而降低了.雖然難度降低了,卻更靈活了,要求也更高了.正如李尚志教授所說:“考題靈活,將ABCD 的湯換成維納斯的頭和腳這樣的湯,把死記硬背的考生打蒙,把他們?nèi)雽W(xué)的門關(guān)窄一點(diǎn)甚至關(guān)死,讓他們除了吐槽暈倒和哭泣之外無計(jì)可施,讓那些潛心學(xué)習(xí)的考生不需要那么高的考分就能進(jìn)大學(xué).”這也會是今后高考改革堅(jiān)持的方向:從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向轉(zhuǎn)變,突出學(xué)科核心素養(yǎng),以數(shù)學(xué)知識為載體,將基礎(chǔ)性和創(chuàng)新性作為考查重點(diǎn),考查學(xué)生識別、分析和解決問題的能力.

這里試題背景是《方法論》中的命題1:拋物弓形的面積是其內(nèi)接三角形面積的4/3.《方法論》中有15 個命題,包含阿基米德計(jì)算許多圖形的面積和體積的方法、技巧等,阿基米德特別聲明這并不是嚴(yán)格證明[5]:“這些定理將來必須用幾何方法加以證明,因?yàn)橐陨戏椒ú凰阏嬲饬x上的證明.”而后在《求拋物弓形的體積》中給出了拋物弓形面積結(jié)果的幾何證明.證明思想是利用歐多克斯的窮竭法,即在弓形內(nèi)部作一系列的多邊形去逼近弓形,使弓形的面積與內(nèi)接多邊形的面積之差小于任一給定值,再用歸謬法證明.這里試題背景的意義與價值已超出了試題本身,將數(shù)學(xué)的理性精神表現(xiàn)得淋漓盡致.

例6(全國卷III 文理科第23 題)設(shè)x,y,z ∈R,且滿足x+y+z=1.證明:

(I)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;

評析此題的命題背景是柯西不等式,柯西不等式最初由柯西提出(1821),該不等式的積分形式是布尼亞科夫斯基在1859年提出的,施瓦茨在1888年給出了該不等式的積分形式的證明.柯西不等式有許多形式,如向量形式、三角形式、概率論形式、積分形式等,在許多數(shù)學(xué)分支有著廣泛的應(yīng)用.是高考數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)競賽命題的熱點(diǎn),如2013年湖南卷理科第10 題,2014年福建卷理科第21 題,2019年全國卷I 第23 題.人教A 版選修4-5 中介紹了柯西不等式.

試題解法(I)由柯西不等式,有

3 結(jié)論與建議

從數(shù)學(xué)史在2019年高考數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)的次數(shù)及史料內(nèi)容看,可以發(fā)現(xiàn)命題者都比較重視將數(shù)學(xué)史融入到試題中,融入方式也變得多種多樣,改變了以往單純的知識性考查.不管是從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度看,還是從教師教學(xué)的角度看,或是數(shù)學(xué)本身而言,數(shù)學(xué)史都是非常重要的,因?yàn)椤耙婚T科學(xué)的歷史就是這門科學(xué)本身”.為了使高考試題中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容更加豐富,更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)史的教育價值和文化價值,試卷中數(shù)學(xué)史試題的數(shù)量、史料內(nèi)容的選擇都有待改進(jìn).

第一,增加試卷中數(shù)學(xué)史試題的數(shù)量.從前面的統(tǒng)計(jì)可以看到,2019年全國共有13 套高考數(shù)學(xué)試卷,僅有6 道數(shù)學(xué)史試題.其中全國卷I、全國卷III、浙江卷各兩道,北京卷、上海卷、全國卷II、江蘇卷和天津卷均沒有.從這一點(diǎn)來說,命題者對數(shù)學(xué)史的重視程度還不夠.因此,可以考慮適當(dāng)增加試卷中數(shù)學(xué)史試題的數(shù)量,在高考試題中融入數(shù)學(xué)史,可以引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué).HPM 的教學(xué)實(shí)踐研究表明,數(shù)學(xué)史可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、增加學(xué)習(xí)動機(jī)、幫助學(xué)生理解重要的數(shù)學(xué)概念等教育價值.通過數(shù)學(xué)史的介紹,一方面可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心;另一方面,數(shù)學(xué)史展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識發(fā)生和發(fā)展的過程,可以幫助學(xué)生進(jìn)一步理解概念[6].

第二,進(jìn)一步加強(qiáng)不同學(xué)科之間的聯(lián)系.從上面的統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看到,6 道試題僅有1 道試題涉及了數(shù)學(xué)與其它學(xué)科之間的聯(lián)系.全國卷I 中的人體黃金分割很好地將美學(xué)與數(shù)學(xué)結(jié)合在一起,體現(xiàn)了美學(xué)中的數(shù)學(xué).實(shí)際上,數(shù)學(xué)的思想和方法已經(jīng)滲透到社會的方方面面,涉及到整個自然科學(xué)、社會科學(xué)、工程計(jì)算、管理、經(jīng)濟(jì)和文學(xué)領(lǐng)域.因此,在試題命制時,可以考慮將數(shù)學(xué)與物理、生物、歷史、音樂、體育、文學(xué)、哲學(xué)等學(xué)科聯(lián)系起來,使得不同學(xué)科之間的知識成為一個整體,這樣可以促進(jìn)學(xué)生更有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).

第三,高考數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)應(yīng)重視教材.由以上分析知,6 道數(shù)學(xué)史試題中,有2 道試題涉及均值不等式和柯西不等式,有2 道試題涉及阿基米德《方法論》和《求拋物弓形的面積》,還有一道試題涉及了祖暅原理.實(shí)際上,這里的6 道數(shù)學(xué)史試題中,除了全國卷I 黃金分割那道試題外,其余5 道試題所涉及的數(shù)學(xué)史在教材中都有體現(xiàn),這一方面說明了高考試題來源于教材,高于教材;另一方面也為高三復(fù)習(xí)指明了方向.