佛山市南海石門中學(xué)(528248) 劉依舒

教育部考試中心提出的“一核四層四翼”高考評價(jià)體系中的“四層”明確表示,“關(guān)鍵能力”和“學(xué)科素養(yǎng)”的考查,要把握兩個(gè)字,“思”和“廣”.思,就是對每一道試題,要多想:考查知識是什么? 解答思路有幾個(gè)? 同類試題見過沒? 答案組織順暢嗎? 廣,就是廣泛涉獵學(xué)科相關(guān)內(nèi)容:除了教材、各種優(yōu)質(zhì)試題,還有相關(guān)讀物,學(xué)科領(lǐng)域最新進(jìn)展.函數(shù)導(dǎo)數(shù)一向是考生棘手的問題,如何令考生有步驟可寫,有分可拿,是眾多一線教師矚目的問題.本文對2020年高考全國I 卷理科第21 題的解法進(jìn)行分析,結(jié)合考試大綱與新高考的動向,參考一輪復(fù)習(xí)資料的習(xí)題,提出函數(shù)恒成立求參數(shù)取值范圍問題的備考策略.

一、提出問題

二、解法分析

(一)構(gòu)造函數(shù)法

(二)端點(diǎn)效應(yīng)

圖1

端點(diǎn)效應(yīng)有時(shí)候還需要二階導(dǎo)去判斷凹凸性,這一部分內(nèi)容課本上并沒有涉及,出題人并不希望學(xué)生使用“高觀點(diǎn)”的做法去解題(如洛必達(dá)法則等),對學(xué)生要求高,這些都不利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).而且這也不是解決該類問題的通性通法,在一輪復(fù)習(xí)中可以引用,但不值得大力提倡.于是,我們引用“分離參數(shù)法”對該題進(jìn)行研究.

(三)分離參數(shù)法

(四)數(shù)形結(jié)合法

圖2

該種解法中,本質(zhì)上還是分離參數(shù),由于直線性質(zhì)較曲線性質(zhì)易于研究,我們讓參數(shù)留在一次函數(shù)中,達(dá)到“定曲動直”的效果.且這樣的分離,這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)易于研究.

上述提到2017年全國Ⅱ卷函數(shù)導(dǎo)數(shù)題可以用端點(diǎn)效應(yīng)解決,筆者也試了下數(shù)形結(jié)合的方法,如下:

例1(2017年高考全國Ⅱ卷)設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.當(dāng)x ≥0 時(shí),f(x)≤ax+1,求a 的取值范圍.

解f(x)圖像如圖3所示.y=ax+1 為過(0,1)的直線,要當(dāng)x ≥0 時(shí)使得f(x)≤ax+1恒成立,只需把相切的臨界斜率a0求出來,a ≥ a0即可.f(0)=1,即y=ax+1 與f(x)在(0,1)相切即可.f′(x)=(1-2x-x2)ex,a0=f′(0)=1.所以a ≥1.

圖3

后續(xù)還要有嚴(yán)密的代數(shù)推理否定a ＜1,但由此看來,這種解法大大節(jié)省了考生計(jì)算的時(shí)間,降低了解題的難度.也不比端點(diǎn)效應(yīng)法來得困難.

筆者在對學(xué)生一輪復(fù)習(xí)資料進(jìn)行研究后發(fā)現(xiàn),對函數(shù)恒成立求參數(shù)取值范圍的題目大部分都可以使用上述的數(shù)形結(jié)合的辦法進(jìn)行解決,下面引用兩例說明:

例2(2020年石家莊市高三一檢)已知函數(shù)f(x)=axex-(a+1)(2x-1).第二問:當(dāng)x＞0 時(shí),函數(shù)f(x)≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a 的取值范圍.

解 當(dāng)x=1 時(shí),f(1)=ae-(a+1)(2-1)≥0 恒成立,把一個(gè)x 值代入,先把a(bǔ) 的范圍縮小,方便后面的式子變形.)

f(x)可變形為 xex≥為過定點(diǎn)的直線.要使曲線h(x)恒在直線g(x)的上方,只需把相切的臨界斜率求出來,即可.解得.

圖4

例3已知函數(shù)第二問:若函數(shù)f(x)在上無零點(diǎn),求a 的取值范圍.

解f(x)在上無零點(diǎn)等價(jià)于2 ln x=0 在上無實(shí)根,也等價(jià)于h(x)與g(x)在上無交點(diǎn),其中h(x)=(2-a)(x-1),g(x)=2 ln x.h(x)是過定點(diǎn)(1,0),斜率為k=(2-a)的直線,g(x)是確定的曲線.

圖5

三、總結(jié)提升

羅增儒教授在《數(shù)學(xué)解題關(guān)鍵環(huán)節(jié)的確定與教學(xué)設(shè)計(jì)》[2]中指出,數(shù)學(xué)教師必須具備將解題能力轉(zhuǎn)化為他的教學(xué)能力,對此,他需要特別關(guān)注學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)問題思路的某些關(guān)鍵環(huán)節(jié)時(shí)學(xué)生的心理環(huán)節(jié)及其過渡性中介生成,從而設(shè)計(jì)教學(xué)過程循循善誘,引導(dǎo)學(xué)生依靠自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的力量,重新萌生這種思路的關(guān)鍵環(huán)節(jié).所以筆者認(rèn)為,在一輪復(fù)習(xí)中滲透函數(shù)導(dǎo)數(shù)的做題思想與方法非常重要,不能就題論題,我們應(yīng)當(dāng)通過教學(xué)活動幫助學(xué)生學(xué)會思考,面對函數(shù)導(dǎo)數(shù)題,在深入審題的基礎(chǔ)上,必要時(shí)可回歸基本初等函數(shù)及其簡單組合的常見函數(shù),將較為復(fù)雜的函數(shù)分而視之,指導(dǎo)學(xué)生直觀思想立意要領(lǐng),運(yùn)用思想引領(lǐng)方法,讓數(shù)學(xué)問題變得可視化,“橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同”,站在更寬廣的領(lǐng)域思考問題,方能達(dá)到更高的境界.