馮 倩，張 睿，李沛娟

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

0 引言

美國生態(tài)學(xué)家Lotka[1]和意大利數(shù)學(xué)家Volterra[2]提出了Lotka-Volterra模型，其形式為

(1)

其中，x(t)為食餌的種群密度，y(t)為捕食者的種群密度，a為食餌種群的內(nèi)稟增長率，b表示捕食者掠食食餌的能力，c表示食餌對捕食者的供養(yǎng)能力，k表示捕食者的死亡率，這里捕食者y僅以食餌x為生。作者對系統(tǒng)(1)進(jìn)行定性分析，討論了系統(tǒng)(1)平凡平衡點(diǎn)和正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。

1995年，李建華在系統(tǒng)(1)的基礎(chǔ)上考慮了兩種群的常數(shù)收獲率因素，討論了兩種群都具有常數(shù)收獲率的Volterra系統(tǒng)[3]

(2)

其中，a10表示食餌的內(nèi)稟增長率，a12表示捕食者掠食食餌的能力，a21表示食餌對捕食者的供養(yǎng)能力，a20表示捕食者的死亡率，F(xiàn)和G分別表示食餌和捕食者的常數(shù)收獲率。a10，a12，a20，a21均為正常數(shù)。在文獻(xiàn)[3]中，作者討論了系統(tǒng)平衡點(diǎn)的性質(zhì)和極限環(huán)的存在性與唯一性問題。

然而，人類對食物的捕獲率是不斷變化的，學(xué)者們開始重視線性收獲率對捕食系統(tǒng)的影響，并對此做出了進(jìn)一步的研究[4-6]。薛春艷等[6]討論了兩種群均具有線性收獲率的捕食者-食餌系統(tǒng)

(3)

由于實(shí)際的生態(tài)系統(tǒng)中，人類對食物的捕獲量不會隨著捕獲努力量和生物資源的增大而無限增大，因此，具有非線性收獲率的捕食系統(tǒng)引起越來越多的學(xué)者關(guān)注[7-10]。薛龍躍[10]研究了帶有非線性收獲率的捕食系統(tǒng)

(4)

本文將文獻(xiàn)[10]中的非線性收獲率

引入模型(1)中，討論捕食者及食餌種群均具有非線性收獲率的捕食者-食餌系統(tǒng)

(5)

1 平衡點(diǎn)的存在性

鑒于其生態(tài)意義，本文只在

上對系統(tǒng)(5)進(jìn)行討論。通過解方程組

可得到模型(5)的平衡點(diǎn):(1)平凡平衡點(diǎn)P1(0,0);(2)由于a>h，所以當(dāng)Nbk+Nbl+hl>al時，存在正平衡點(diǎn)P2(x2,y2)，其中

2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)(5)在任意平衡點(diǎn)(x,y)處的Jacobian矩陣為

定理1 平衡點(diǎn)P1(0,0)是鞍點(diǎn)。

證明將P1(0,0)代入J(x,y)中得到系統(tǒng)(5)在P1處的Jacobian矩陣為

其特征方程為(λ-a+h)(λ+k+l)=0,故特征根為

λ1=a-h>0，λ2=-(k+l)<0,

所以，P1(0,0)是鞍點(diǎn)。

接著考慮系統(tǒng)(5)的正平衡點(diǎn)P2(x2,y2)的穩(wěn)定性。將P2(x2,y2)代入J(x,y)中得到系統(tǒng)(5)在P2處的Jacobian矩陣為

其特征方程為

即

其中

令

則特征方程可表示為λ2-Tλ+D=0。令Δ=T2-4D,由文獻(xiàn)[11]可知下面的結(jié)論。

定理2 (1)若D>0且Δ<0，則當(dāng)T<0時，P2(x2,y2)為系統(tǒng)(5)穩(wěn)定的焦點(diǎn)；當(dāng)T>0時，P2(x2,y2)為系統(tǒng)(5)不穩(wěn)定的焦點(diǎn)。(2)若D>0且Δ>0，則當(dāng)T<0時，P2(x2,y2)為系統(tǒng)(5)穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)；當(dāng)T>0時，P2(x2,y2)為系統(tǒng)(5)不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)。(3)若D<0，則P2(x2,y2)為系統(tǒng)(5)的鞍點(diǎn)。

定理3 若D>0，則當(dāng)T<0時，平衡點(diǎn)P2全局漸近穩(wěn)定。

證明取Dulac函數(shù)B(x,y)=xmyn，由于

則

令

可得

根據(jù)定理2和Dulac判據(jù)[12]得平衡點(diǎn)P2是全局漸近穩(wěn)定的。證畢。

3 最優(yōu)收獲策略

根據(jù)文獻(xiàn)[13]，運(yùn)用Pontryagin最大值原理，討論如何控制最優(yōu)捕獲量M和N，才能使食餌和捕食者的數(shù)量既要盡可能大的滿足人類生活需求，還要讓生物種群保持可持續(xù)發(fā)展。捕撈食餌和捕食者的經(jīng)濟(jì)收益值為

其中，b1和b2分別為食餌和捕食者種群的單價，d1和d2分別為食餌和捕食者的單位捕撈成本，ε為年折扣率。則對該系統(tǒng)最優(yōu)收獲策略的分析就轉(zhuǎn)化為下面的最優(yōu)控制問題。

目標(biāo)函數(shù):

其中,M和N為控制變量，0≤M≤(M)max,0≤N≤(N)max。

構(gòu)建如下哈密頓函數(shù):

其中，λ1和λ2為伴隨變量，伴隨方程為

根據(jù)Pontryagin最大值原理[14]，最優(yōu)控制M,N要使哈密頓函數(shù)H取得最大值，則要求

即

易得

將λ1和λ2代入伴隨方程，可得

解上面方程組可得x=x*,y=y*即找到最優(yōu)捕撈平衡點(diǎn)為(x*,y*)故最優(yōu)捕獲努力量為

4 結(jié)論

本文研究了一類兩種群均具有非線性收獲率的捕食者-食餌系統(tǒng)，得到了系統(tǒng)各平衡點(diǎn)局部穩(wěn)定和全局穩(wěn)定的充分條件，又利用Pontryagin最大值原理得到了兩種群的最優(yōu)收獲策略，對生物資源的可持續(xù)利用有著重要意義。