李彩娟 王玉磊 苑倩倩

【摘要】本文以“雙曲拋物面”的課堂教學(xué)為例，借助雨課堂教學(xué)平臺(tái)和Mathematica數(shù)學(xué)軟件等信息化技術(shù)手段，就解析幾何教學(xué)的有效途徑進(jìn)行了初步探究.

【關(guān)鍵詞】雙曲拋物面;雨課堂;Mathematica

【基金項(xiàng)目】2019年河南省高等教育教學(xué)改革研究與實(shí)踐項(xiàng)目：基于雨課堂的代數(shù)與幾何課程混合式教學(xué)模式研究與實(shí)踐（2019SJGLX504）;2019年信陽(yáng)學(xué)院教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目：基于雨課堂的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程混合式教學(xué)模式研究與實(shí)踐（2019YJG26）;2020年信陽(yáng)學(xué)院教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目：疫情防控背景下《數(shù)學(xué)分析》課程線上教學(xué)的探索與實(shí)踐研究（2020YJG025）;

2018年信陽(yáng)學(xué)院校級(jí)課題：幾類分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題解的存在性研究（2018LYB09）

一、“雙曲拋物面”在傳統(tǒng)教學(xué)中遇到的問(wèn)題

解析幾何是數(shù)學(xué)專業(yè)的“老三基”之一.傳統(tǒng)的解析幾何課堂教學(xué)最主要、最常見(jiàn)的教學(xué)模式是“滿堂灌”，在這種教學(xué)模式下，學(xué)生只能是知識(shí)的“搬運(yùn)工”，課堂教學(xué)不能真正地釋疑解惑.這種比較常見(jiàn)的教學(xué)模式主要體現(xiàn)為教師是教學(xué)活動(dòng)的主體，在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中擁有支配權(quán)和主導(dǎo)權(quán)，學(xué)生則是和主體相對(duì)立的客體，并沒(méi)有主動(dòng)參加教學(xué)活動(dòng)的興趣.所以，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力比較差，學(xué)習(xí)積極性不高，教師也不能及時(shí)掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，課堂教學(xué)效果不好.雙曲拋物面是解析幾何中最典型的一類二次曲面，是解析幾何課程中涉及的空間圖形之一，它的方程形式比較簡(jiǎn)單，所以我們可運(yùn)用平行截割法從方程入手去研究它的圖形.由雙曲拋物面的方程來(lái)研究它的幾何性質(zhì)并畫出圖形，正是解析幾何的基本思想“利用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題”的直接體現(xiàn).但是它的圖形比較復(fù)雜，如果采用傳統(tǒng)的手工作圖，圖形既不準(zhǔn)確也不直觀，不僅浪費(fèi)了有限的教學(xué)時(shí)間，而且對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求較高.所以，大多數(shù)學(xué)生談“雙曲拋物面”色變，在他們的心目中，“雙曲拋物面”是解析幾何的難點(diǎn).

二、基于“雨課堂+Mathematica”的課堂教學(xué)案例——雙曲拋物面

（一）使用雨課堂

作為一種智慧教學(xué)工具，雨課堂將前沿教育理念和互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)巧妙融合，科學(xué)地覆蓋了課前、課中、課后的每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，從課前預(yù)習(xí)、課堂互動(dòng)、課后作業(yè)等方面幫助教師采集課程數(shù)據(jù)，量化分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)教學(xué)，為傳統(tǒng)課堂教學(xué)缺少師生互動(dòng)提供了完美的解決方案.在雨課堂中，課堂教學(xué)互動(dòng)始終在線，教與學(xué)的能量最大限度地釋放，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣得以激發(fā)，教育教學(xué)效果達(dá)到最優(yōu).

1.課前準(zhǔn)備

教師根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)將豐富的教學(xué)資源插入課件，還可以在幻燈片中配以語(yǔ)音解說(shuō)，然后將這些課件通過(guò)雨課堂推送到學(xué)生的微信端.學(xué)生可以依據(jù)自己的時(shí)間靈活地進(jìn)行課前的自主預(yù)習(xí)，還可以在遇到問(wèn)題的內(nèi)容上點(diǎn)“不懂”，反饋預(yù)習(xí)效果.因此，教師能夠及時(shí)了解學(xué)生的預(yù)習(xí)情況，在課堂教學(xué)中做到有的放矢.

2.課堂教學(xué)

學(xué)生通過(guò)手機(jī)掃碼完成課堂簽到，極大地彌補(bǔ)了人工考勤費(fèi)時(shí)費(fèi)力、影響課堂教學(xué)進(jìn)度的不足.教師從日常生活中無(wú)處不在的幾何形體說(shuō)起，以多媒體展示我們經(jīng)常吃的薯片以及2012年倫敦奧運(yùn)會(huì)自行車館的屋頂?shù)?，它們的形狀都是雙曲拋物面，以此創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引出本節(jié)內(nèi)容.然后，教師給出雙曲拋物面的定義并提出問(wèn)題：雙曲拋物面方程能反映出哪些幾何性質(zhì)？我們又該如何得到雙曲拋物面的大致圖形？學(xué)生以小組討論的方式，思考由方程得到圖形的方法.

教師以“切黃瓜”為例形象說(shuō)明（如圖1）：每次刀切下去的時(shí)候，刀所在的平面和黃瓜截面的交線就是我們切出來(lái)的黃瓜片的邊界曲線，這是一條平面曲線，當(dāng)我們了解了所有黃瓜片的邊界曲線的形狀和變化趨勢(shì)后，整根黃瓜的形狀是不是就有了？這就是下面我們要用到的平行截割法：用一組平行平面去截割曲面，研究所得到的截痕曲線的變化趨勢(shì)，再推斷出曲面的大致形狀.教師讓學(xué)生以小組討論的方式，思考如何利用平行截割法得到雙曲拋物面的圖形.然后，教師通過(guò)雨課堂進(jìn)行點(diǎn)名，指定學(xué)生回答小組討論的結(jié)果，提高學(xué)生的課堂參與度.學(xué)生可以根據(jù)自己的觀點(diǎn)或?qū)?wèn)題的思考進(jìn)行圖文投稿，或?qū)⒆约旱囊蓡?wèn)發(fā)布彈幕.學(xué)生的所有回答會(huì)在大屏幕上以無(wú)記名的方式橫向滾動(dòng)顯示.教師也可以將學(xué)生發(fā)送的圖文內(nèi)容投放至大屏幕與全班學(xué)生共享.因?yàn)樵诖笃聊簧喜伙@示回答人的姓名，學(xué)生積極主動(dòng)，答案?jìng)€(gè)性鮮明，課堂氣氛活躍，師生互動(dòng)愉快輕松.這樣，教師能夠隨時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，實(shí)時(shí)調(diào)整課堂教學(xué)進(jìn)度.學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主動(dòng)者，學(xué)習(xí)積極性得以調(diào)動(dòng)，課堂學(xué)習(xí)效率大大提高，解析幾何課堂教學(xué)煥發(fā)出生機(jī)與活力.而且通過(guò)雨課堂，整個(gè)教學(xué)過(guò)程都可以記錄下來(lái)，學(xué)生對(duì)于課堂上沒(méi)有聽(tīng)懂的地方，可以課下觀看錄制的講解，再現(xiàn)教學(xué)過(guò)程.

3.課后分析

雨課堂會(huì)通過(guò)“云計(jì)算”向教師提供本節(jié)課全周期的數(shù)據(jù)分析，把所有的教學(xué)動(dòng)作以大數(shù)據(jù)的形式反饋給教師，實(shí)現(xiàn)了課堂數(shù)據(jù)采集的功能，教師從而能夠了解每一名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，更加全面、立體地對(duì)學(xué)生做出客觀的評(píng)價(jià).教師還可以根據(jù)課堂反饋制作課后復(fù)習(xí)課件，而后通過(guò)手機(jī)端雨課堂發(fā)布給學(xué)生，對(duì)學(xué)生進(jìn)行綜合考查和測(cè)評(píng)，鞏固本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容并進(jìn)行專業(yè)拓展.

（二）將Mathematica引入課堂

解析幾何課程中涉及大量的空間圖形，傳統(tǒng)的手工作圖很難讓學(xué)生對(duì)圖形有直觀的理解，尤其是像雙曲拋物面這種比較復(fù)雜的曲面.借助Mathematica強(qiáng)大的繪圖功能，教師可以將雙曲拋物面形象地呈現(xiàn)給學(xué)生，加深學(xué)生對(duì)雙曲拋物面的理解和對(duì)平行截割法的掌握.

在Mathematica的工作窗口輸入以下命令：

a=Table[Plot3D[x^2/9-y^2/16-z，{x，-3，3}，{y，-4，4}，PlotRange→{-1，1}]，{z，1，-1，-0.05}]

運(yùn)行后可以得到雙曲拋物面平行于xOy面的一系列截痕曲線，選取其中的兩幅圖片如圖2所示.

然后輸入命令：

ListAnimate[a]

運(yùn)行后就得到演示雙曲拋物面截痕曲線動(dòng)態(tài)變化過(guò)程的動(dòng)態(tài)圖.

同樣，在Mathematica的工作窗口輸入以下命令：

b=Table[Plot3D[x^2/9-y^2/16-z，{x，-5，5}，{z，-2，2}，PlotRange→{-1，1}]，{y，-6，6，0.3}]

運(yùn)行后可以得到雙曲拋物面平行于zOx面的一系列截痕曲線，選取其中的兩幅圖片如圖3所示.

然后輸入命令：

ListAnimate[b]

運(yùn)行后就得到演示雙曲拋物面截痕曲線動(dòng)態(tài)變化過(guò)程的動(dòng)態(tài)圖.

結(jié) 語(yǔ)

借助雨課堂可以較為全面地分析學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，教師可以隨時(shí)了解學(xué)生在聽(tīng)課過(guò)程中對(duì)知識(shí)的掌握情況，從而及時(shí)調(diào)整教學(xué)方案.每一名學(xué)生都可以參與解析幾何的課堂教學(xué)，每個(gè)人都是課堂的主人，學(xué)習(xí)在輕松愉快的氛圍中進(jìn)行，能極大地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，教學(xué)效果將顯著提高.Mathematica可以將抽象的、難以理解的空間圖形形象地展示出來(lái)，還可以演示曲線變化生成曲面的動(dòng)態(tài)過(guò)程，直觀性撲面而來(lái)，不僅讓抽象難懂的空間圖形易于被理解和掌握，而且極大地增強(qiáng)了解析幾何課堂的趣味性.因此，教師應(yīng)在雙曲拋物面的教學(xué)中積極運(yùn)用“雨課堂+Mathematica”.

【參考文獻(xiàn)】

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[3]范樂(lè)樂(lè)，鐘華，龍路英.“雨課堂”在高等數(shù)學(xué)課程大班教學(xué)中應(yīng)用[J].教育現(xiàn)代化，2018（53）：261-263.

[4]張婷.基于信息化的高職數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的探索與實(shí)踐：以“定積分的應(yīng)用”為例[J].中國(guó)新通信，2019（08）：166-167.