徐 飛 ,繆小冬，胡學(xué)敏

（1.鹽城工學(xué)院 汽車工程學(xué)院，鹽城 224051；2.南京工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，南京 210016）

0 引言

隨著產(chǎn)品結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)越來(lái)越復(fù)雜、使用環(huán)境越來(lái)越惡劣，其使用可靠性問(wèn)題已經(jīng)成為產(chǎn)品設(shè)計(jì)和制造過(guò)程中需要考慮的主要因素。因此，如何評(píng)估和提高產(chǎn)品的可靠性成為目前亟需解決的問(wèn)題。響應(yīng)譜和疲勞損傷等效技術(shù)被廣泛用于制定振動(dòng)加速試驗(yàn)譜，進(jìn)而評(píng)估產(chǎn)品在振動(dòng)環(huán)境下的潛在損傷和疲勞壽命[1]。Kelly首先提出了脈沖響應(yīng)不變數(shù)字濾波器法來(lái)處理沖擊信號(hào)[2]。為了減小脈沖響應(yīng)不變法引入的誤差，Smallwood提出了斜階躍響應(yīng)不變法來(lái)提高沖擊響應(yīng)譜（Shock Response Spectrum，SRS）的計(jì)算精度[3]。Ahlin給出了利用斜階躍響應(yīng)不變法計(jì)算SRS和疲勞損傷譜（Fatigue Damage Spectrum，F(xiàn)DS）的MATLAB程序[4，5]。Anders Brandt對(duì)比了脈沖響應(yīng)不變法、斜階躍響應(yīng)不變法和Runge-Kutta方法在線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中的計(jì)算結(jié)果，指出數(shù)字濾波器法在計(jì)算速度、解的穩(wěn)定性、動(dòng)力學(xué)范圍以及誤差的可控性方面都明顯優(yōu)于Runge-Kutta[6]。ISO18431-4給出了利用斜階躍響應(yīng)不變法計(jì)算SRS的具體過(guò)程，并分析了該方法引入的偏置誤差，指出該誤差只取決于采樣頻率[7]。Magnevall等人給出了利用斜階躍響應(yīng)不變法計(jì)算非線性力學(xué)系統(tǒng)強(qiáng)迫響應(yīng)的方法[8，9]。對(duì)于非線性系統(tǒng)辨識(shí)，陳友聲指出數(shù)字濾波器法比四階Runge-Kutta法更準(zhǔn)確[10]。近年來(lái)，利用斜階躍響應(yīng)不變法計(jì)算SRS[11～13]、極值響應(yīng)譜（Extreme Response Spectrum，ERS）和FDS[14～18]，從而評(píng)估振動(dòng)與沖擊環(huán)境及推導(dǎo)試驗(yàn)譜等已得到了廣泛的關(guān)注和應(yīng)用[19～23]。然而，現(xiàn)有斜階躍響應(yīng)不變法引入的誤差依然較大。為進(jìn)一步減小誤差，本文提出了基于數(shù)字濾波器卷積核模型的系統(tǒng)響應(yīng)誤差分析方法，在此基礎(chǔ)上對(duì)比了脈沖響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法、中心階躍響應(yīng)不變法、斜階躍響應(yīng)不變法及三點(diǎn)拉格朗日法引入的偏置誤差和相位誤差，并基于三點(diǎn)拉格朗日數(shù)字濾波器對(duì)FDS和ERS進(jìn)行了優(yōu)化分析，最后結(jié)合案例對(duì)上述過(guò)程進(jìn)行了闡述。

1 理論建模

1.1 基于數(shù)字濾波器的系統(tǒng)強(qiáng)迫響應(yīng)計(jì)算模型

對(duì)于時(shí)域信號(hào)，線性時(shí)不變力學(xué)系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)等于激勵(lì)信號(hào)與脈沖響應(yīng)信號(hào)的卷積：

其中，x（t）為響應(yīng)，f（t）為激勵(lì)，h（t）為脈沖響應(yīng)信號(hào)。對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單模擬系統(tǒng)：

其中s為拉普拉斯變量。該系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為：

由式(1)和(3)可得，對(duì)于離散信號(hào)：

其中，T為采樣時(shí)間。

由式(4)可知，x（nT+T）可由前一個(gè)時(shí)間步的響應(yīng)x（xT）和[nT，nT+T]之間的輸入求得，系統(tǒng)的影響取決于exp（-aT）。對(duì)[nT，nT+T]之間的激勵(lì)的近似插值方法定義了數(shù)字濾波器方法。本文分析的數(shù)字濾波器方法包括脈沖響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法、中心階躍響應(yīng)不變法、斜階躍響應(yīng)不變法以及三點(diǎn)拉格朗日法，如圖1所示。

圖1 不同數(shù)字濾波器法在[0,T]對(duì)激勵(lì)的近似插值

以脈沖響應(yīng)不變法為例，由式(4)可得：

由式(5)可得：

式(6)可轉(zhuǎn)換成如下數(shù)字濾波器形式：

其中，bi和aj為數(shù)字濾波器系數(shù)，Nb和Na為數(shù)字濾波器階數(shù)，其值取決于所采用的數(shù)字濾波器方法。

在此基礎(chǔ)上考慮一個(gè)Q輸入P輸出的多自由度線性力學(xué)系統(tǒng)，其系統(tǒng)傳遞函數(shù)可表示為模態(tài)模型：

其中，Nm為模態(tài)階數(shù)，[Rr]P×Q和Pr分別為系統(tǒng)第r階模態(tài)的留數(shù)矩陣和極點(diǎn)，上標(biāo)?表示復(fù)共軛。

由式(6)和式(8)可知，對(duì)于q點(diǎn)輸入p點(diǎn)輸出的多自由度系統(tǒng)的每一階模態(tài)，其基于脈沖響應(yīng)不變法的z域頻響函數(shù)可表示為：

再結(jié)合式(7)可知，利用任何一種數(shù)字濾波器可將多自由度系統(tǒng)在q點(diǎn)輸入下p點(diǎn)的強(qiáng)迫響應(yīng)表示為：

因此，構(gòu)造出不同數(shù)字濾波器的系數(shù)即可求解多自由度系統(tǒng)在任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫響應(yīng)。此外，由于所有采樣系統(tǒng)均含有混疊效應(yīng)，響應(yīng)信號(hào)混疊后的頻譜Xa（f）等于理論頻譜X（f）與其經(jīng)過(guò)頻移后的頻譜的疊加：

其中，Nal表示需要考慮的經(jīng)過(guò)頻移后的頻譜的個(gè)數(shù)。

1.2 基于卷積核的響應(yīng)誤差分析

各種數(shù)字濾波器方法對(duì)于輸入信號(hào)在單位采樣時(shí)間內(nèi)的插值近似都可看成是時(shí)域激勵(lì)信號(hào)與各濾波器卷積核的卷積，該卷積對(duì)應(yīng)于頻域的乘積。不同數(shù)字濾波器方法的卷積核及其傅里葉變換如下：

1）脈沖響應(yīng)不變法：

2）階躍響應(yīng)不變法：

3）中心階躍響應(yīng)不變法：

4）斜階躍響應(yīng)不變法：

5）三點(diǎn)拉格朗日法：

由式(13)、式(15)、式(17)、式(19)及式(21)可知，五種濾波器方法的偏置誤差（%）和相位誤差分別為：

1.3 基于數(shù)字濾波器法的FDS和ERS模型

響應(yīng)譜常被用于評(píng)估振動(dòng)環(huán)境、對(duì)比振動(dòng)量級(jí)以及推導(dǎo)試驗(yàn)譜。最常見(jiàn)的振動(dòng)響應(yīng)譜包括FDS和ERS。FDS本質(zhì)上描述了一系列單自由度系統(tǒng)對(duì)同一個(gè)加速度激勵(lì)的響應(yīng)，各個(gè)單自由度系統(tǒng)的響應(yīng)被轉(zhuǎn)換成一定時(shí)間內(nèi)的疲勞損傷并與其共振頻率形成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，如圖2所示。

圖2 FDS計(jì)算流程

在輸入加速度x(t)下，一個(gè)共振頻率為fn，阻尼比為ζ的單自由度系統(tǒng)的加速度輸出xa可利用1.1節(jié)介紹的數(shù)字濾波器求解：

其中，a和b為所采用的數(shù)字濾波器的系數(shù)，filter為MATLAB函數(shù)。

在時(shí)域計(jì)算FDS時(shí)利用雨流計(jì)數(shù)法對(duì)各應(yīng)力水平下的循環(huán)次數(shù)進(jìn)行計(jì)數(shù)，然后結(jié)合S-N曲線和Miner準(zhǔn)則計(jì)算疲勞損傷量（本文假設(shè)應(yīng)力與加速度成正比）：

其中，ni表示在應(yīng)力Si下的循環(huán)次數(shù)，p為所考慮的應(yīng)力量級(jí)數(shù)，Ni為應(yīng)力Si下的疲勞壽命，b為疲勞指數(shù)，D為時(shí)域總損傷。

ERS和FDS類似，不同之處在于ERS表示各單自由度系統(tǒng)的最大響應(yīng)值與其共振頻率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即：

2 仿真案例

2.1 基于數(shù)字濾波器的響應(yīng)誤差對(duì)比

以一個(gè)單自由度系統(tǒng)為例，詳細(xì)對(duì)比不同數(shù)字濾波器法對(duì)混疊誤差的減少作用以及引入的偏置和相位誤差。單自由度系統(tǒng)參數(shù)如下：m=1kg，c=6N·s/m，k=10kN/m，采樣頻率fs=80Hz。對(duì)系統(tǒng)施加單位脈沖激勵(lì)，對(duì)比理論頻響函數(shù)（Frequency Response Function，F(xiàn)RF）和由采樣導(dǎo)致的混疊后的FRF，如圖3所示。

圖3 理論與濕疊后的FRF

圖4給出了各卷積核的傅里葉變換。從圖4可以看出，脈沖響應(yīng)不變法的卷積核的傅里葉變換為1，因此不能有效減小混疊效應(yīng)；階躍響應(yīng)不變法和中心階躍響應(yīng)不變法的卷積核的傅里葉變換幅值相等，在不考慮相位的情況下對(duì)混疊效應(yīng)的減小程度是一樣的；三點(diǎn)拉格朗日法能夠最大程度上減小混疊效應(yīng)。

圖4 不同卷積核的傅里葉變換

圖5對(duì)比了理論FRF和采用數(shù)字濾波器方法得到的FRF。從圖5可以看出，這五種數(shù)字濾波器方法得到的FRF都偏離了理論FRF。其中，結(jié)合圖4可以看出，脈沖響應(yīng)不變法的FRF偏離理論FRF并不是由于引入了偏置誤差，而是混疊引起的。其他方法均引入了偏置誤差，且偏置誤差隨著信號(hào)最高頻率和采樣率之比的增大而增大，如圖6所示。從圖6可以看出，當(dāng)采樣頻率大于信號(hào)最高頻率的10倍以上時(shí)，數(shù)字濾波器法的偏置誤差均小于5%，其中三點(diǎn)拉格朗日法偏置誤差最小并接近0。

圖5 FRF的理論值和數(shù)字濾波器求解值

圖6 偏置誤差對(duì)比

圖7給出了不同數(shù)字濾波器方法引入的相位誤差。從圖7可以看出，脈沖響應(yīng)不變法，中心階躍響應(yīng)不變法以及斜階躍響應(yīng)不變法沒(méi)有相位誤差，階躍響應(yīng)不變法和三點(diǎn)拉格朗日法的相位誤差隨著信號(hào)最高頻率和采樣率之比的增大而增大，當(dāng)采樣頻率大于信號(hào)最高頻率的10倍以上時(shí)，除階躍響應(yīng)不變法外其他濾波器法的相位誤差均接近0。以拉格朗日濾波器為例，圖8對(duì)比了理論FRF，利用數(shù)字濾波器得到的FRF以及利用卷積核和混疊得到的FRF。從圖8可以看出，利用數(shù)字濾波器得到的FRF以及利用卷積核和混疊得到的FRF完全吻合，表明卷積核可完全解釋數(shù)字濾波器引入的誤差。

圖7 相位誤差對(duì)比

圖8 拉格朗日數(shù)字濾波器方法卷積核的驗(yàn)證

2.2 基于數(shù)字濾波器的響應(yīng)譜優(yōu)化分析

假設(shè)激勵(lì)加速度信號(hào)為x（t），持續(xù)時(shí)間為60s，頻率范圍2Hz～40Hz，功率譜密度為0.01g2/Hz。令質(zhì)量因子Q=10，疲勞指數(shù)b=4，分別基于斜階躍響應(yīng)不變法和三點(diǎn)拉格朗日法計(jì)算位移FDS和ERS。為對(duì)比不同采樣頻率下兩種濾波器計(jì)算結(jié)果，分別令采樣頻率為激勵(lì)信號(hào)最大頻率的2、4、6、10倍，結(jié)果如圖9和圖10所示。

圖9 遞增采樣頻率下基于斜階躍響應(yīng)不變法與拉格朗日法計(jì)算的FDS

圖10 遞增采樣頻率下基于斜階躍響應(yīng)不變法與拉格朗日法計(jì)算的ERS

從圖9和圖10可以看出，利用兩種數(shù)字濾波器方法得到的FDS和ERS隨著采樣頻率的增大而趨于收斂；在給定采樣頻率下，共振頻率越大，利用拉格朗日法得到的FDS和ERS越準(zhǔn)確；即使采樣頻率達(dá)到10倍的激勵(lì)信號(hào)最大頻率，利用拉格朗日法得到的FDS和ERS依然比斜階躍響應(yīng)不變法更準(zhǔn)確。

利用兩種數(shù)字濾波器法計(jì)算得到的FDS和ERS的相對(duì)誤差最大值與采樣頻率的關(guān)系如圖11所示。從圖11可以看出，隨著采樣頻率的增大，利用兩種濾波器得到的FDS和ERS相對(duì)誤差減小；當(dāng)采樣頻率為激勵(lì)最高頻率（40Hz）的10倍時(shí)，F(xiàn)DS誤差超過(guò)10%，ERS誤差在2%到3%之間；當(dāng)采樣頻率約為激勵(lì)最高頻率的15倍時(shí)，F(xiàn)DS誤差小于5%；ERS誤差明顯小于FDS誤差。

圖11 基于斜階躍響應(yīng)不變法與拉格朗日法計(jì)算的FDS和ERS相對(duì)誤差

3 結(jié)語(yǔ)

本文詳細(xì)對(duì)比了脈沖響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法、中心階躍響應(yīng)不變法、斜階躍響應(yīng)不變法以及三點(diǎn)拉格朗日法引入的偏置誤差及相位誤差，并基于三點(diǎn)拉格朗日數(shù)字濾波器對(duì)FDS和ERS進(jìn)行了優(yōu)化分析。結(jié)論如下：

1）脈沖響應(yīng)不變法不能有效減小混疊效應(yīng)，因此不推薦使用。其他四種數(shù)字濾波器方法可有效減小混疊效應(yīng)，且三點(diǎn)拉格朗日法能夠在最大程度上減小混疊效應(yīng)；

2）采樣頻率大于激勵(lì)信號(hào)最高頻率10倍以上時(shí)，各濾波器偏置誤差均小于5%，其中三點(diǎn)拉格朗日法偏置誤差最小且接近0；

3）當(dāng)采樣頻率大于激勵(lì)最高頻率的10倍以上時(shí)，除階躍響應(yīng)不變法外其他濾波器法的相位誤差均等于或接近0；

4）即使采樣頻率大于激勵(lì)最高頻率10倍以上，相比斜階躍響應(yīng)不變法，利用三點(diǎn)拉格朗日法計(jì)算得到的FDS和ERS依然更加準(zhǔn)確，且FDS精度提高10%以上；

綜上所述，三點(diǎn)拉格朗日法引入的誤差最小，應(yīng)該取代目前常用的斜階躍響應(yīng)不變法用于線性力學(xué)系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)和振動(dòng)響應(yīng)譜計(jì)算，以提高試驗(yàn)譜推導(dǎo)和振動(dòng)臺(tái)閉環(huán)控制精度。下一步將繼續(xù)研究三點(diǎn)拉格朗日法在超高斯隨機(jī)振動(dòng)和非線性系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)方面的應(yīng)用。